平稳过程基础教程

第四章平稳过程主要内容平稳过程(严平稳与宽平稳)的定义平稳过程相关函数及其性质平稳过程的各态历经性平稳过程的谱分析平稳过程是一类统计特性不随时间而发生改变的随机过程.在在通讯、雷达等领域的随机信号处理中有广泛应用.作业：1、2、4、6、9,13、14、18（1）（3）、19（2）（4）、

平稳过程的定义定义5.1.1设X={Xt,t∈T}是随机过程,如果对任意的则称X是严平稳过程.

例5.1.1设N={Nt,t≥0}是参数为λ

的泊松过程，对任意固定的常数a>0,令则随机过程X={Xt,t≥0}是一个严平稳过程.验证：注意到X的一维分布函数与时间t无关.

二维分布函数与仅与时间间隔有关.例5.1.2设X={Xt,t∈T}是严平稳过程，且X的二阶矩存在，则X的均值函数是常数,相关函数是时间间隔的函数.用定义判断一个过程的严平稳性是困难的.在理论与应用上多的是宽平稳过程.则称X为宽平稳过程.简称平稳过程.定义5.1.2设X={Xt,t∈T}是二阶矩随机过程,如果因此X是平稳过程.平稳过程举例例5.1.4设X={Xt,t≥0}是只取±1两个值的随机过程,其符号的改变次数是一参数为λ的泊松过程N={Nt,t≥0},且对任意的t≥0,P(Xt=－1)=P(Xt=1)=1/2.则称X为随机电报信号过程.验证X是平稳过程.例5.1.6

设{An,n=1,2,…N}和{Bn,n=1,2,…N}是两列实值随机变量序列.且例5.1.7

设{Zn,n=0,1,2,…是一列复值随机变量序列.且严平稳过程不一定是宽平稳过程.宽平稳过程也不一定是严平稳过程.注意：但具有二阶矩的严平稳过程一定是宽平稳过程.宽平稳的正态过程一定是严平稳过程.例5.1.8设X={Xt,t∈T}是宽平稳过程，如果X还是正态过程,则X={Xt,t∈T}一定是严平稳过程.{Xt,t∈T}的有限维特征函数所以X是严平稳过程例（补）设Y={Yt,t≥0}是正态过程.且例设是参数为的布朗运动，令其中为常数，试证明：是严平稳过程.

因此，是宽平稳过程.

所以为n维正态随机变量，因此是正态过程.所以是严平稳过程.平稳过程相关函数及其性质常用相关函数描述平稳过程的统计特性.本节主要内容相关函数的性质相关函数的应用互相关函数

称定义在概率空间二阶矩的随机变量的全体所组成的集合上的具有为二阶矩变量空间．预备知识则对任意的复数a,b有

事实上有施瓦兹不等式定理5.2.1

设X={Xt,t∈T}是平稳过程,则其相关函数有性质:证明特别若{Xt,t∈T}是周期平稳过程,即则其相关函数也是周期函数,且周期相同也为T0.在实际应用中，有平稳过程相关函数的可能图形在工程实际的应用中，经常将相关函数标准化为——相关系数易知相关系数满足：利用相关系数可以确定一个重要的临界值——相关时间二阶矩过程均方极限与连续相关函数还可以用于讨论平稳过程的均方微积分设X={Xt,t∈T}是二阶矩过程,t0∈T,

若则称X在t0处均方连续.

若对任意的t∈T,在t处均方连续,则称X在T上均方连续均方连续定理5.2.2

平稳过程X={Xt,t∈T}均方连续的充要条件是X的相关函数RX(τ)在τ=0处连续.

充分性由均方连续的定义X={Xt,t∈T}均方连续.必要性：若X均方连续.则有由X均方连续性例5.2.3RX(τ)的连续函数由

RX(τ)在τ=0处的连续性确定.

互相关函数及其性质定义5.2.1

设X={Xt,t∈T}和Y={Yt,t∈T}是平稳过程.对任意的s,t∈T,称则称X和Y为联合平稳的平稳过程.联合平稳过程X和Y的互相关系数为.例5.2.4设X={Xt,t∈T},Y={Yt,t∈T}是联合平稳的平稳过程.则其互相关函数RXY(s,t)有如下性质证明(1)(2)

(3)

易知也有若X和Y为实联合平稳的平稳过程，则其互相关函数RXY(s,t)满足联合平稳过程X和Y的互协方差函数CXY(s,t)也满足练习：各态历经性的直观解释是平稳过程的每一个样本轨道几乎必须经历它所具有的各种状态.平稳过程的各态历经性本节内容：各态历经性定义各态历经性判断各态历经性应用定义5.3.1设X={Xt,-∞<t<+∞}是平稳过程,若均方极限则称<Xt>为平稳过程X在(-∞,+∞)上的时间平均.各态历经的定义则称<XtXt+τ>为平稳过程X在(-∞,+∞)上的时间相关函数.若对任意固定的∈R,均方极限注意：对参数集为t≥0的平稳过程X={Xt,t≥0}.时间平均时间相关函数(1)若以概率1有

<Xt>=mX(t)则称平稳过程X的均值具有各态历经性.(2)若对任意的τ∈R,以概率1有

<XtXt+τ

>=RX(τ)则称平稳过程X的相关函数具有各态历经性.定义5.3.2设X={Xt,-∞<t<+∞}是平稳过程.若X的均值函数和相关函数均具有各态历经性，则称平稳过程X具有各态历经性.解解各态历经性的判定定理5.3.1设X={Xt,-∞<t<+∞}是平稳过程,则的均值函数具有各态历经性的充要条件是证明由定义X的均值具有各态历经性的充要条件是上式成立的充要条件是再由模的定义所以X的均值具有各态历经性的充要条件是若X是实平稳过程,则均值各态历经性的充要条件是注意：对t≥0的平稳过程X={Xt,t≥0},均值各态历经性的充要条件是当X还为实平稳过程,则相应结论为解所以X的均值具有各态历经性.解则X的均值具有各态历经性.定理5.3.2设平稳过程X={Xt,-∞<t<+∞}的协方差函数满足证明所以X的均值具有各态历经性.所以X的均值具有各态历经性.相关函数各态历经性的判定设X={Xt,-∞<t<+∞}是平稳过程,令所以X的相关函数各态历经性的讨论转为对过程Y={Yt,-∞<t<+∞}的均值各态历经性的讨论.这时还要求Y是平稳过程.定理5.3.3

设X={Xt,-∞<t<+∞},以及对任意固定的τ,

Y={Yt,-∞<t<+∞}均为平稳过程,则X的相关函数具有各态历经性的充要条件是证明由均值各态历经性的充要条件注意：设X={Xt,t∈R},以及对任意固定的τ,Y={Yt,t∈R},均为实平稳过程,则X的相关函数具有各态历经性的充要条

件是对t≥0的平稳过程X相关函数具有各态历经性的充要条件是当X为实平稳过程,相关函数具有各态历经性的充要条件是例5.3.5设X={Xt,t∈R},为实平稳零均值的正态过程,若则X的相关函数具有各态历经性.证明各态历经性的应用例5.3.6设X={Xt,t≥0}为各态历经的平稳过程,x(t)为其一个样本函数，则有以下估计式在无线电、通信技术等领域的一些问题中,通常需要分析平稳过程的频域结构.平稳过程的功率谱密度为此引入平稳过程的功率谱密度定义5.4.1设X={Xt,-∞<t<+∞}是平稳过程,记一些预备知识能量型信号—总能量有限的信号设能量型信号x(t)在(-∞,+∞)上绝对可积，则x(t)的Fouier变换存在，或说x(t)存在频谱，即信号通常有能量型和功率型即信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分.对总能量无限的信号—功率型信号x(t)，转为讨论其平均功率：相应的是否也有一个能计算平均功率的谱密度？为此构造一个截尾函数:定义5.4.1设X={Xt,-∞<t<+∞}是平稳过程,记定理5.4.1

设平稳过程X={Xt-∞<t<+∞}的相关函数RX(τ)绝对可积,则有上式表明相关函数和谱密度是一对傅里叶变换对.上两式也称为维纳-辛钦公式.由定理5.4.1知道若平稳过程X={Xt-∞<t<+∞}的相关函数RX(τ)绝对可积,则有傅里叶变换实现了时域与频域的转换.谱密度的性质平稳过程的谱密度有以下性质：（1）谱密度是非负实函数.（2）实平稳过程的谱密度是非负实偶函数.事实上，对实平稳过程,平均功率说明平均功率可以用谱密度曲线下的总面积来计算.说明谱密度的零频率分量等于相关函数曲线下的总面积.●

线性性质●

位移性质●

微分性质谱密度的计算以维纳-辛钦公式为基本公式,并结合Fourier变换的性质等进行相关的计算.Fourier变换的性质例5.4.1设平稳过程X={Xt,t≥0}的相关函数为试计算X的谱密度.例5.4.2设X={Xt,-∞<t<+∞}为零均值的实的正交增量过程，且满足令验证Y={Yt,-∞<t<+∞}为平稳过程，并计算Y的谱密度.例5.4.3.

设平稳过程X的功率谱密度为计算X的平均功率.例5.4.4.

已知平稳过程的功率谱密度为计算相关函数.例5.4.6.

已知平稳过程的相关函数求其谱密度.则以下级数收敛，平稳序列谱密度的相应概念和结论设平稳序列X={Xn,n=0,±1,…}的相关函数绝对收敛，即例5.4.8

设X={Xn,n=0,±1,…}为纯随机序列,即有验证序列Y={Yn,n=0,±1,…}为平稳序列，并计算其谱密度.设X={Xt,-∞<t<+∞},Y={Yt,-∞<t<+∞}是联合平稳的平稳过程,则X和Y的互功率谱密度(简称互谱密度)为其中互谱密度及其性质互谱密度的性质则(1)联合平稳的平稳过程X={Xt,-∞<t<+∞}和Y={Yt,-∞<t<+∞}的互相关函数绝对可积:若X和Y是实联合平稳的平稳过程,则SXY(ω)的

实部为偶函数,虚部为奇函数.同理证明另一个.例5.4.9

设X={Xt,-∞<t<+∞},Y={Yt,-∞<t<+∞}是联合平稳的平稳过程,X和Y的谱密度与互谱密度分别为SX(ω),SY(ω),SXY(ω).令Zt=Xt+Yt,-∞<t<+∞试求Z={Zt,-∞<t<+∞}的谱密度.平稳过程的谱分解平稳过程相关函数的谱分解平稳过程的谱分解(了解)平稳过程的谱分解定理5.5.1设X={Xt,-∞<t<+∞}是均方连续的平稳过程,则其相关函数可以表示为所以是某个随机变量W的特征函数,即存在分布函数G(ω),使称函数FX(ω)为平稳过程X的谱函数.为平稳过程X相关函数的谱展开式或谱分解式.注意：如果平稳过程的相关函数绝对可积，则谱函数FX(ω)可微，且有FꞋX(ω)=SX(ω)，因此也有：设X={Xn,n=0,±1,±2,…}是平稳时间序列,则其相关函数可以表示为对平稳序列有相类似的结果.称FX(ω)为平稳序列X的谱函数.谱密度SX(ω)