通信原理 课件 1-绪论、2-确知信号、通信原理 课件 3-随机过程基础

通信的概念及通信系统的组成通信系统分类与通信方式信息及其度量

通信系统主要性能指标

第一章绪论通信----信息的传输与交换通信的概念

目的：传输含有信息的消息。消息：信息的某种物理形式，如文字、数据和语言、图像等。信息：消息中包含的有意义的内容。信号：消息的表现形式。2噪声源发送器接收器

信源信宿

信道(发送端)(接收端)1、通信系统的一般模型通信系统的组成3模拟通信系统模型2、模拟通信系统模型已调信号或频带信号或窄带信号基带信号或调制信号--原始电信号4两种重要变换消息←→原始电信号（基带信号）调制信号（基带信号）←→已调信号（频带信号）第五章已调信号有三个基本特征：携带有信息；适合在信道中传输；信号的频谱具有带通形式(中心频率远离零频，带宽远小于载频)。已调信号又称带通信号或频带信号。实际通信系统中可能还有滤波、放大、天线辐射、控制等过程。由于调制与解调两种变换对信号的变化起决定性作用，而其他过程对信号不会发生质的变化，只是对信号进行了放大或改善了信号特性，因而被认为是理想的而不予讨论。5模拟通信系统模型6⑴模拟信号数字化传输系统模型3、数字通信系统模型第十章7⑵数字基带传输系统模型第六章8七章七章七章七、八章四章一、二、三章--通信基础九章：数字系统最佳接收⑶数字带通传输系统模型十章十一章9优点抗干扰能力强，可再生而消除噪声积累；差错可控；易于使用现代数字信号处理技术；易于加密；信息综合传输。缺点占据更宽的系统频带；对同步要求高；系统设备复杂等。与模拟通信相比，数字通信有何优缺点？10通信的概念及通信系统的组成通信系统分类与通信方式信息及其度量

通信系统主要性能指标

第一章绪论通信系统分类按通信业务分类：电报、电话、数据、图像通信系统等；按是否经过调制分类：基带传输系统和带通(频带或调制)传输系统;按信号特征分类：模拟通信系统和数字通信系统；按传输媒介分类：有线通信系统和无线通信系统；按信号复用方式分类：频分复用、时分复用、码分复用系统；按工作波段分类：长波、中波、短波、微波、光波通信；按同步方式分类：同步通信和异步通信；按通信网形式划分：点与点之间的通信、多点之间通信。12常见的调制方式表调制方式用途连续波调制模拟调制线性调制常规双边带调制广播抑制载波双边带调幅立体声广播单边带调幅SSB载波通信、无线电台、数传残留边带调幅VSB电视广播、数传、传真非线性调制频率调制FM微波中继、卫星通信、广播相位调制PM中间调制方式数字调制幅度键控ASK数据传输频移键控FSK数据传输13

调制方式

用途脉冲调制数字调制相位键控PSK、DPSK、QPSK、QDPSK数据传输、数字微波、空间通信新型数字调制QAM、MSK数字微波、空间通信脉冲模拟调制脉幅调制PAM中间调制方式、遥测脉宽调制PDM(PWM)中间调制方式脉位调制PPM遥测、光纤传输脉冲数字调制脉码调制PCM市话、卫星、空间通信增量调制DM军用、民用电话差分脉码调制DPCM电视电话、图像编码其他语言编码方式ADPCM、APC、LPC中低速数字电话14频率范围波长符号传输媒质用途3Hz~30kHz104~108m甚低频VLF有线线对,长波无线电音频、电话、远程导航、水下通信30~300kHz103~104m低频LF有线线对,长波无线电导航、信标、电力线通信300kHz~3MHz102~103m中频MF同轴电缆,短波无线电调幅广播、移动陆地通信、业余无线电3~30MHz10~102m高频HF同轴电缆,短波无线电移动无线电话、短波广播定点军用通信、业余无线电30~300MHz1~10m甚高频VHF同轴电缆,米波无线电电视、调频广播、空中管制、车辆、通信、导航

通信波段与常用传输媒质

15频率范围波长符号传输媒质用途300MHz~3GHz10~100cm特高频UHF

波导,分米波无线电微波接力、卫星和空间通信、雷达3~30GHz1~10cm超高频SHF

波导,厘米波无线电微波接力、卫星和空间通信、雷达30~300GHz1~10mm极高频EHF

波导,毫米波无线电雷达、微波接力、射电天文学107~108GHz3×10-5~3×10-4cm紫外可见光红外光纤,激光空间传播光通信16指通信双方之间的工作方式和信号传输方式。分为：单工：消息只能单方向传输，占用一个信道；半双工：消息双向传输，占用一个信道；全双工：消息双向传输，占用二个信道。通信方式(a)单工；(b)半双工；(c)全双工17通信的概念及通信系统的组成通信系统分类与通信方式信息及其度量

通信系统主要性能指标

第一章绪论信息及其度量信号是随时间变化的物理量，是消息的载体，是消息的表现形式。消息是有待传输的文字、数据和语言、图像等，是信号的内容。信息是消息中包含的有意义的内容；是消息的不确定性的度量；是消息的统计特性的定量描述。任何信源产生的输出都是随机的，也就是说，信源输出是用统计方法来定性的。对接收者来说，只有消息中不确定的内容才构成信息；否则，信源输出已确切知晓，就没有必要再传输它了。因此，信息含量就是对消息中这种不确定性的度量。19信源输出信号取值具有不确定性，是随机信号；根据其取值是模拟量还是数字量，分为模拟随机信号和数字随机信号；信源根据其输出信号取值是模拟量还是数字量分为模拟信源和数字信源；数字信源输出数字随机信号，取值是离散的数字量，只取有限的几个值，其不确定性通常用概率描述。模拟信源输出模拟随机信号，取值是模拟量，是连续的，有无穷多个值，其不确定性通常用概率密度函数描述。数字信源取值离散，通常取值个数是2的幂次。N进制信源，取值有N种状态，可以是{1,2，...，N}，记为N个符号。首先，让我们从常识的角度来感觉三条消息：①太阳从东方升起；②太阳比往日大两倍；③太阳将从西方升起。第一条几乎没有带来任何信息，第二条带来了大量信息，第三条带来的信息多于第二条。究其原因，第一事件是一个必然事件，人们不足为奇；第三事件几乎不可能发生，它使人感到惊奇和意外，也就是说，它带来更多的信息。因此，信息含量是与惊奇这一因素相关联的，这是不确定性或不可预测性的结果。越是不可预测的事件，越会使人感到惊奇，带来的信息越多。21信息量：是衡量信息多少的量，用I表示。I与P密切相关，P越小，I就越大。I与P(x)之间的关系规律：信息量是概率的函数，即：I=f［P(x)］P(x)越小，I越大；反之，I越小，且

P(x)→1时，I→0P(x)→0时，I→∞若干个互相独立事件构成的消息，所含信息量等于各独立事件信息量之和，也就是说，信息具有相加性，即

I［P(x1)P(x2)…］=I［P(x1)］+I［P(x2)］+…综上，I与P(x)关系：22信息量的单位与对数底数a有关：

a=2时，信息量的单位为比特(bit)；

a=e时，信息量的单位为奈特(nit)；

a=10时，信息量的单位为哈特莱。目前广泛使用的单位为比特：23设二进制离散信源，以相等的概率(P(0)=P(1)=1/2)发送数字0或1，则信源每个输出数字“0”或“1”的信息量为：

I(0)=I(1)=-log2(1/2)=log22=1(bit)可见，传送等概率的二进制波形之一（P=1/2）的信息量为1比特。同理，传送等概率的四进制波形之一（P=1/4）的信息量为2比特，对于M进制离散信源，M=2K，M个波形独立等概率(P=1/M)发送，则传送M进制波形之一的信息量为

I=-log2(1/M)=log2M=K(bit)24设离散信源是一个由n个符号xi(i=1,2,3,…,n)组成的符号集，每个符号出现的概率为P(xi)，且有P(xi)=1；则x1,x2,…,xn

所包含的信息量分别为：-log2P(x1),-log2P(x2)，…，-log2P(xn)于是，每个符号所含信息量的统计平均值为H(x)=P(x1)[-log2P(x1)]+P(x2)[-log2P(x2)]+…+P(xn)]log2P(xn)]H同热力学中的熵形式一样，故称它为信源熵，其单位为bit/符号。信源熵：平均每符号所含的信息量25信源熵的最大值设二进制离散信源{0，1}，发送数字0的概率为P，则信源熵为：H(x)=P［-log2P］+(1-P)［-log2(1-P)］H(x)是概率P的函数，如图：当P=0或P=1时，该信源发出的消息是确定的，不提供任何信息，H(x)=0。当P=1/2时，说明选择任一种符号的可能性均等，没有任何倾向，其不确定性最大，此时信源提供最多的信息，信源熵最大。26当信源中M个符号独立等概出现时，P(x1)=P(x2)=…=P(xm)=1/M，且M=2K，此时：H(x)=P(x1)[-log2P(x1)]+P(x2)[-log2P(x2)]+…+P(xM)]log2P(xM)]=M×(1/M)×log2M=log2M=K(bit)此时信源熵取得最大值，即：独立等概信源，信源熵取得最大值。27n个符号构成的消息，其信息量总和为：

或：

例1.1-1离散信源由0,1,2,3四个符号组成，出现的概率分别为3/8,1/4,1/4,1/8，且每个符号的出现都是独立的。试求消息201020130213001203210100321010023102002010312032100120210的信息量。解:此消息中，0出现23次，1出现14次，2出现13次，3出现7次，共有57个符号，故该消息的信息量为:I=nH(x)ni为消息中xi出现的次数。28每个符号的算术平均信息量为若用熵的概念来计算，得可见，两种算法的结果有一定误差，原因是统计数据不是足够长，当统计数据很长时，二者接近，用熵的概念来计算比较方便，例如：I=n×H(x)=57×1.906=108.642(bit)29通信的概念及通信系统的组成通信系统分类与通信方式信息及其度量

通信系统主要性能指标

第一章绪论通信系统的主要性能指标

通信的任务是快速、准确地传递信息，评价一个通信系统优劣的主要性能指标是系统的有效性和可靠性。有效性：传输信息的速度；可靠性：接收信息的准确程度。这两个问题相互矛盾而又相对统一，通常可以进行互换。模拟通信系统数字通信系统有效性系统带宽信息速率或码元速率或η可靠性解调器的输出信噪比误码率有效性和可靠性的度量：31码元速率RB（简称传码率，又称符号速率）--单位时间内传输码元的数目，单位是波特（Baud），简记为B。码元也称为符号或字母，码元的持续时间T称为码元长度、码周期或码元时间。码元速率与进制数无关，只与码元长度T有关：32信息速率Rb：简称传信率，又称比特率等。--单位时间内传输的信息量（比特数），单位是比特/秒，可记为bit/s，或b/s，或bps。码元速率和信息速率的关系：Rb=RB·H(x)(b/s)33对于M进制信源，等概传输时，熵有最大值log2M，信息速率也达到最大，即

Rb=（Rb）max=RBlog2M(b/s)可见，二进制的码元速率和信息速率在数量上相等，有时简称它们为数码率。即：在二进制中有：Rb=RB例如：码元速率为1200B，采用八进制（M=8）时，Rb=3600b/s

采用二进制（M=2）时，Rb=1200b/s34频带利用率η真正衡量数字通信系统传输效率的应当是单位频带内的码元传输速率：B为信号带宽，单位为赫兹Hz（注意:不能取弧度/每秒）。单位频带内的信息传输速率：35误码率Pe：指码元在传输系统中被传错的概率，即误信率Pb：指发生差错的比特数在传输总比特数中所占的比例，即衡量数字通信系统可靠性的指标是差错率，常用误码率和误信率表示。36例1.1-2某信息源的符号集由A、B、C、D组成，设每一符号独立出现，其出现的概率分别为1/4，1/8，1/8，1/2。⑴求该信源的信源熵；⑵若信源以1000Baud传送信息，则该信源的信息速率是多少？码元宽度是多少？传送1小时的信息量是多少？⑶传送1小时可能达到的最大信息量是多少？解题思路：⑴信源熵公式：⑵信息速率与码速率关系：Rb=RB·H(x)(b/s)码元宽度与码速率关系：RB=1/T信息量与信息速率关系：I=t×Rb⑶求最大信息量即求最大信息速率(Rb)max=RB·(H(x))max=RB·log2M等概时H(x)取得极大值37⑴信源熵：

=(1/4)×log24+2×

(1/8)×log28+(1/2)×log22

=(1/4)×2+(1/4)×3+(1/2)×1=1.75bit/symbol⑵Rb=RB·H(x)=1000×1.75=1750(b/s)

码元宽度T=1/RB=1/1000=1msI=t×Rb=3600×1750=6300000bit⑶(Rb)max=RB·(H(x))max=RB·log2M=1000·log24=2000(b/s)Imax=t×(Rb)max=t×RB×log2M=3600×1000×log24=7200000bit38第二章确知信号2.1确知信号的定义和类型2.2确知信号的频域性质--能量谱和功率谱2.3确知信号的时域性质--自相关函数40取值在任何时间都是确定的或可预知的信号。是确定信号？是随机信号？--本章主要研究内容确知信号的定义随机信号随参信号确知信号例：随相2FSK信号：例：确知2FSK信号：41能量信号：能量有限的信号。一般非周期信号属于能量信号。功率信号：功率为有限值的信号。一般周期信号等属于功率信号。确知信号的类型能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于

任何信号不可能既是能量信号又是功率信号，只能是其中之一

第二章确知信号2.1确知信号的定义和类型2.2确知信号的频域性质--能量谱和功率谱2.3确知信号的时域性质--自相关函数43以非周期信号s(t)为例，其傅立叶变换为S(f)由帕塞瓦尔(Parseval)定理

将|S(f)|2定义为能量谱密度：则：——能量谱密度的积分等于能量G(f)=|S(f)|2能量信号的能量谱密度44常用非周期信号--单位门函数--矩形--的傅立叶变换：例1.1-1求矩形脉冲信号的能量谱密度和能量G(f)=|S(f)|2能量谱密度能量45将信号s(t)截短为sT(t)，-T/2<t<T/2，sT(t)是一个能量信号，可以用傅里叶变换求出其能量谱密度|ST(t)|2，由巴塞伐尔定理有

定义信号的功率谱密度P(f)，即则：功率——功率等于功率谱密度的积分功率信号的功率谱密度46周期信号的功率谱密度：令T等于信号的周期T0

，于是有

由周期函数的帕塞瓦尔(Parseval)定理: |Cn|2

－第n次谐波的功率利用

函数可将上式表示为

上式中的被积因子就是此信号的功率谱密度P(f)，即Cn--傅立叶级数的系数47非周期信号--矩形脉冲信号的频谱已经求出：0T-Tt

1s(t)例1.1-2求周期矩形脉冲信号的功率谱密度和功率周期化后即为s(t)，周期化Cn与非周期前的频谱间的关系式：代入：得：48C1=C-1=A/2；n≠1时，Cn=0；s(t)=Acos2

f0t=(A/2)[e-j2

f0t+ej2

f0t]例1.1-3求周期正弦信号的功率谱密度和功率=

49方法二：求余弦波的频谱密度和傅立叶级数。设一个余弦波的表示式为s(t)=Acos2

f0t，则其频谱密度S(w)=A

[(w+w0)+[(w-w0)]上式可以改写为周期信号的傅立叶变换公式：比较(1)(2)得：f0－f00(b)频谱密度t(a)波形C1=C-1=A/2；n≠1时，Cn=0；(1)(2)第二章确知信号2.1确知信号的定义和类型2.2确知信号的频域性质--能量谱和功率谱2.3确知信号的时域性质--自相关函数51定义：

能量信号的自相关函数性质：自相关函数R(

)和时间t无关，只和时间差

有关。当

=0时，R(0)等于信号的能量：R(

)是

的偶函数自相关函数R(

)和其能量谱密度G(f)是一对傅里叶变换对：52定义：

功率信号的自相关函数性质：自相关函数R(

)和时间t无关，只和时间差

有关。当

=0时，R(0)等于信号的功率：R(

)是

的偶函数自相关函数R(

)和其功率谱密度P(f)是一对傅里叶变换对：53互相关函数和自相关函数示意图54先求功率谱密度，然后对功率谱密度作傅里叶变换，即可求出其自相关函数。例1.1-3中已求得功率谱密度：例1.1-4求周期正弦信号的自相关函数和功率=

55常用傅立叶变换公式：=

f(t)F(w)双边指数衰减信号

第三章随机过程3.1随机过程的基本概念3.2典型随机过程56随机变量：表示随机实验结果的一个变量，叫随机变量。用大写字母X、Y、…等表示随机变量，用小写字母x、y、…等，表示随机变量的取值。连续型随机变量：X的可能取值为整个区间的任意值。如接收机输出电压噪声。离散型随机变量：X的可能取值为有限值。如掷殺子。随机变量57在实际问题中，往往研究X≦xi的概率比研究x=xi的概率更有意义。随机变量X的取值不超过x的概率P(X≦x)为X的（概率）分布函数。记为F(x)=P(X≦x)。设离散随机变量X可能取值有6个,x1～x6,且x1﹤…﹤x6,概率表：Xx1x2x3x4x5x6P(xi)1/121/121/61/31/61/6分布函数58如取x=x3,即F(x3)=P(X≦x3)=P(x1)+P(x2)+P(x3)=1/12+1/12+1/6=1/3①x﹤x1时，F(x)=P(X≦x﹤x1)=0。②x1≦x﹤x2时，F(x)=P(X≦x)=P(x1)=1/12③x2≦x﹤x3时，F(x)=P(X≦x)=P(x1)+P(x2)=1/12+1/12=1/6④x3≦x﹤x4时，F(x)=P(X≦x)=P(x1)+P(x2)+P(x3)==1/12+1/12+1/6=1/3⑤x4≦x﹤x5时，F(x)=P(X≦x)=P(x1)+P(x2)+P(x3)+P(x4)=1/12+1/12+1/6+1/3=2/3⑥x5≦x﹤

x6时，F(x)=P(X≦x)=P(x1)+…+P(x5)=2/3+1/12=5/6。⑦x6≦x时，F(x)=P(X≦x)=P(x1)+…+P(x6)=5/6+1/6=1。分布函数：F(x)=P(X≦x)。F(x)是关于x的函数。F(x)性质：0≦F(x)≦1F(-∞)=0，F(∞)=1F(x)单调增，即：若x1≦

x2，则F(x1)≦F(x2)F(x)右连续。连续随机变量的分布函数F(x)波形：59若F(x)是连续的，一阶导数存在，则定义为随机变量x的概率密度函数f(x)。概率密度函数f(x)f(x)的性质：①非负，即f(x)≧0②F(x)=P(X≦x)=(因为f(x)为F(x)的导数)③④P(x1≦x≦x2)=P(x≦x2)－P(x≦x1)=60二维分布函数：两个随机变量X、Y，其可能取值为x、y，将两个事件(X≦x)和(Y≦y)同时出现的概率定义为二维随机变量X、Y的二维（联合概率）分布函数，F(X,Y)。即F(X,Y)=P(X≦x,Y≦y)概率密度函数：若二维分布函数F(X,Y)是连续的，且二阶混合偏导数存在，则定义为二维概率密度函数，记为f(x,y)。显然：多维随机变量：如二维61f(x,y)的性质：①f(x,y)≧0②③④⑤若f(x,y)=f(x)f(y),则称X、Y相互统计独立。若X、Y相互统计独立，则f(x,y)=f(x)f(y)62⑴数学期望：随机变量X的统计平均值。

…………X为连续随机变量

…………X为离散随机变量性质：①E[a]=a（a为常数）②E[ax]=aE[x]③E[X±Y]=E[X]±E[Y]（X、Y均为随机变量）④随机变量X的函数g(x)的期望为：随机变量的数字特征63④随机变量X的函数g(x)的期望为

…………X为连续随机变量

…X为离散随机变量64⑵原点矩

n阶原点矩：2阶原点矩：为X的均方值。1阶原点矩：为X的期望。⑶中心矩n阶中心矩：E[(x-mx)n]=1阶中心矩：E[(x-mx)1]=E[x]-E[mx]=mx-mx=0652阶中心矩：方差

=D[x]=

E[(x-mx)2]==E[x2-2mxx+mx2]=E[x2]-2mx2+mx2

=E[x2]-mx2

=E[x2]-E2[x]均方值-均值的平方2阶中心矩称为“方差”，用或D(x)表示。反映随机变量X相对于统计平均值mx的分散程度。性质：①D[x]=E[x2]-E2[x]②D[a]=E[a2]-E2[a]=0③D[ax]=E[a2x2]-E2[ax]=a2{

E[x2]-E2[x]}=

a2D[x]④D[X±Y]=D[X]+D[Y]±2CXY66⑷联合矩联合原点矩：E[XnYk]称为两个随机变量X和Y的联合原点矩，反映X和Y的关联程度。当n=k=1时，E[XY]称为互相关函数或相关矩。联合中心矩：

E{(X-E[X])n(Y-E[Y])k}

当n=k=1时，E{(X-E[X])(Y-E[Y])}=CXY…协方差E{(X-E[X])(Y-E[Y])}=E{(XY-Ymx-Xmy+mxmy)}=E[XY]-E[X]E[Y]=RXY－mxmy∴CXY=RXY－mxmy当CXY=0时，称X与Y不相关。此时：E[XY]=E[X]E[Y]67X与Y不相关时：①CXY=E[XY]-E[X]E[Y]=0②RXY=E[XY]=E[X]E[Y]③D[X±Y]=D[X]+D[Y]⑸统计独立与不相关：是两个不同的概念。若两随机变量统计独立，则它们必然是不相关的。若f(x,y)=f(x)f(y),则称X、Y相互统计独立。也满足：RXY=E[XY]=E[X]E[Y]及CXY=rxy=0若X与Y不相关，不一定统计独立。不相关的充要条件为：CXY=rxy=0…协方差为068例3.1-1随机过程X(t)取离散值2，5，8，概率分别为0.5、0.2、0.3，求该随机过程的方差。

=26.2－4.42=6.84=2×P(2)+5×P(5)+8×P(8)=2×0.5+5×0.2+8×0.3=4.4=22×0.5+52×0.2+82×0.3=26.2D(X)=E(X2)－E2(X)69θ在区间（-π～π）均匀分布，则θ的概率密度函数为f(θ)=1/2π,-π<θ<π；

0,θ取其它值时。θ的均值：θ的均方值：θ的方差：例3.1-2已知随机变量θ在区间（-π～π）均匀分布。求θ和2sinθ的均值和方差。702sinθ的均值：2sinθ的均方值：或：2sinθ的方差：θ均匀分布时，其三角函数的均值为071

3.1随机过程的基本概念1.随机变量的统计特性2.随机过程的统计特性随机过程的定义随机变量的特点是：在每次实验的结果中，以一定的概率取某个事先未知、然而是确定的数值。（如等概的0、1码）当试验的结果取值不再是确定的数值，而是随时间随机变化的，这时就由一个随机变量演化成了一个随机过程。我们把随时间变化的随机变量称为随机过程ξ(t)

。随机过程的基本特点是:它是t的函数。73x(t)X1X2Xnxn(t1)x1(tn)x2(tn)x1(t1)x2(t1)xn(tn)t1t2tnt观察接收机输出的噪声电压，第1、2、…、n次观测分别得到x1(t)、x2(t)、…、xn(t)波形。每次观测得到的波形都不相同，n足够大时，也找不到两个完全相同的波形。这些可能的x1(t)、x2(t)、…、xn(t)的集合就构成了随机过程X(t)。随机过程x(t)随机变量74样本函数的总体

75随机过程严格定义：设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每一次试验都有一个时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t),x2(t)，…,xn(t)，…}就构成一随机过程，记作ξ(t)。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。76x1(t)、x2(t)、…、xn(t)都是确定的时间的函数，称它们为随机过程的样本或实现。在一次试验中，随机过程必取一个样本，但究竟取哪个样本，则带有随机性。当t固定在某一时刻t1时，各个样本的取值为x1(t1)、x2(t1)、…、xn(t1)，是确定的，这时随机过程x(t)就是一般意义下的随机变量x(t1)或记为X1。同样，当t取t2,t3，…，tn时，随机过程就是一簇随机变量X2、X3、…、Xn。而这一簇随机变量是随时间t变化的--为随机过程。77若只取一个时刻t1，对应一个随机变量X1，这时的随机过程就是一维随机过程。概率密度函数为f(x1;t1)，分布函数F(x1;t1)。若取两个时刻t1和t2,对应两个随机变量X1、X2，这时的随机过程就是二维随机过程。概率密度函数为f(x1,x2;t1,t2)，分布函数为F(x1,x2;t1,t2)。随机过程的基本特征：是t的函数，在任一时刻t上是一个随机变量。可以把随机过程看成依赖时间参数的一簇随机变量。随机过程的两重性：具有随机变量和时间函数的特点。使我们可以用与描述随机变量相似的方法，来描述随机过程的统计特性。78

一维：

随机过程ξ(t)在任一时刻t1上的取值是一维随机变量ξ(t1)

随机过程ξ(t)的一维分布函数:随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率P［ξ(t1)≤x1］，简记为F1(x1,t1)，即：F1(x1,t1)=P［ξ(t1)≤x1］如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，即有则称f(x1,t1)为ξ(t)的一维概率密度函数。随机过程的分布函数和概率密度函数显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。79二维：任给两个时刻t1,t2∈T，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成一个二元随机变量{ξ(t1),ξ(t2)}，称F2(x1,x2;t1,t2)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2｝为随机过程ξ(t)的二维分布函数。如果存在则称f(x1,x2;t1,t2)为ξ(t)的二维概率密度函数。80n维：显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。811.数学期望设随机过程ξ(t)在任意给定时刻t1的取值ξ(t1)是一个随机变量，其一维概率密度函数为f1(x1,t1)，则ξ(t1)的数学期望为随机过程的数字特征

分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。这里t1是任取的，可以把t1直接写为t,x1改为x,上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t):82ξ(t)黑线：ξ(t)的样本

a(t)橙线：ξ(t)的a(t)ta(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心83均方值：2.方差:（随机变量：D[x]=E[x2]-E2[x]）随机过程：D［ξ(t)］=E{[ξ(t)-a(t)]2}

=E{[ξ2(t)]}–[a(t)]2D［ξ(t)］常记为σ2(t)。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。方差表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度84