第36讲 综合法求空间角与距离-2027届高考数学一轮复习（含答案）

第36讲综合法求空间角与距离-2027届高考数学一轮复习知识整合体系重构激活思维1．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A．eq\f(5π,12) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD和平面BB1D1D所成的二面角的正弦值为()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(10),4) D．eq\f(\r(6),4)3．已知P是边长为a的正三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为____________．4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝eq\r(2)，则BD1与平面ADD1A1所成角的大小是____________；异面直线AA1与BD1所成角的大小是___________．聚焦知识1．直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在____________所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)范围：___________．2．二面角(1)从一条直线出发的__________所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作__________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(2)二面角的平面角α的范围：___________；平面与平面的夹角的取值范围：____________．3．空间距离(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．(3)两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．题型突破思维拓展点面距例1如图，已知圆柱OO1的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是圆O1上异于点C，D的任意一点．(1)求证：平面ACP⊥平面ADP；(2)若O1P⊥CD，求点D到平面ACP的距离．求点面距离的方法有：(1)定义法：关键找点在面上的投影(可借助面面垂直)；(2)等体积法：点面距离看成三棱锥的高，利用三棱锥变换顶点，体积不变构造方程求解．变式1如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，平面APC⊥平面PCD．(1)求证：CD⊥平面PAC；(2)若AB＝PA＝eq\f(3,5)BC＝3，E为PD的中点，求PB到平面AEC的距离．线面角例2(1)在如图所示的几何体中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2，则PA与平面PBD所成角的大小为___________．(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD．若PA＝a，则直线PB与平面PCD所成的角的大小为_____________．综合法求线面夹角的方法：(1)通过找线面角的平面角，在直角三角形中利用正、余弦定理进行求解；(2)寻找点面距，构造多面体，利用等体积法求出点面距，在相应三角形中求得需要的参数，进而得到线面夹角的正弦值或余弦值．变式2如图，在四棱锥P－ABCD中，AB＝2CD＝2AP＝2PD＝4，PA⊥PD，AB⊥BC，AB∥CD，E为PB的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)若平面PAD⊥底面ABCD，求直线CE与底面ABCD所成角的正切值．二面角视角1定义法例3－1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．(1)求二面角A－B1C－A1的余弦值；(2)求平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的正切值．根据二面角的定义，过棱上一点分别在两个半平面内作(找)棱的垂线，得到二面角的平面角．视角2三垂线法例3－2如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝eq\r(3)．(1)若AD⊥PB，求证：AD∥平面PBC；(2)若AD⊥DC，且二面角A－CP－D的正弦值为eq\f(\r(42),7)，求AD．结合三垂线定理计算二面角的方法：如图，已知二面角α－c－β，在平面α内找一合适的点A，作AO⊥β于点O，过A作AB⊥c(c是公共棱)于点B，则BO为斜线AB在平面β内的射影，∠ABO为二面角α－c－β的平面角．视角3投影法例3－3如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝3，AB＝2，D为BC的中点，点E在棱BB1上，BE＝2EB1．(1)求证：C1E⊥平面ADE；(2)求平面AEC1与平面ABC夹角的余弦值．若平面α内多边形面积为S原，其在平面β上射影图形面积为S射，两平面所成锐二面角为θ，则cosθ＝eq\f(S射,S原)．配套精练一、单项选择题1．已知线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成角为()A．30° B．45°C．60° D．120°2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1－AB－C的正切值为()A．1 B．2C．eq\f(\r(,2),2) D．eq\r(,2)3．在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA的长为eq\r(3)，则点S到平面ABC的距离是()A．1 B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(1,2)4．已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1的体积为eq\f(52\r(2),3)，AB＝6，A1B1＝2，则B1C与平面ABCD所成角的正切值为()A．eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(3\r(10),10) D．eq\f(2\r(5),5)二、多项选择题5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则()A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°6．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且点O到平面PAC的距离为eq\f(\r(2),2)，则()A．该圆锥的体积为3πB．直线OP与平面PAC所成的角为45°C．二面角P－AC－O为45°D．直线PA与BC所成的角为60°三、填空题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC上靠近B的三等分点，则直线D1E与平面BCC1B1所成角的正弦值为____________．8．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，PC与平面ABC所成角的大小为60°，则PC＝_____________．9．如图，△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则钝二面角A－BD－C的余弦值为____________．四、解答题10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D为棱PB的中点，∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝AC＝2PA＝2．(1)求二面角P－BC－A的余弦值；(2)求直线PC与平面ADC所成角的正弦值．如图，在四棱锥P－ABCD中，△ABC是正三角形，DA＝DC，PA＝PC，BD⊥PA．(1)求证：平面PAC⊥平面ABCD．(2)设AB＝2eq\r(3)，若点P，A，B，C，D均在球O的球面上，且点O在平面ABCD内．①求四棱锥P－ABCD的体积；②求平面PAB与平面PCB夹角的余弦值．参考答案激活思维1．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(B)A．eq\f(5π,12) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,6)【解析】如图，因为AA1⊥底面A1B1C1，所以∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角．因为平面ABC∥平面A1B1C1，所以∠APA1为PA与平面ABC所成角．因为S△A1B1C1＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2＝eq\f(3\r(3),4)，所以V三棱柱＝AA1·S△A1B1C1＝eq\f(3\r(3),4)AA1＝eq\f(9,4)，解得AA1＝eq\r(3)．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，所以A1P＝eq\f(2,3)A1D＝1．在Rt△AA1P中，tan∠APA1＝eq\f(AA1,A1P)＝eq\r(3)，所以∠APA1＝eq\f(π,3)．2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD和平面BB1D1D所成的二面角的正弦值为(A)A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(10),4) D．eq\f(\r(6),4)【解析】设正方体的棱长为a，连接A1C1交B1D1于点O1，设O为BD的中点．连接OO1，如图所示．由正方体的性质可得OO1⊥BD，A1D＝A1B＝eq\r(2)a．因为O为BD的中点，所以A1O⊥BD，所以∠A1OO1是平面A1BD和平面BB1D1D所成二面角的平面角．因为BO＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)a，所以A1O＝eq\r(A1B2－BO2)＝eq\r(2a2－\f(1,2)a2)＝eq\f(\r(6),2)a．又A1O1＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)a，所以在Rt△A1OO1中，sin∠A1OO1＝eq\f(A1O1,A1O)＝eq\f(\f(\r(2),2)a,\f(\r(6),2)a)＝eq\f(\r(3),3)．3．已知P是边长为a的正三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为__eq\f(\r(,6)a,3)__．【解析】设点P在平面ABC上的射影为点O，由PA＝PC＝PB，可知OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．如图，延长CO交AB于点G，连接PG．因为△ABC是正三角形，故CG为△ABC边AB上的高，且CO＝2OG．易知OG＝eq\f(1,3)CG＝eq\f(\r(,3)a,6)．因为PA＝PB＝AB＝a，所以△ABP是等边三角形，所以点P到直线AB的距离PG＝eq\r(,a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(,3)a,2)，则点P到平面ABC的距离PO＝eq\r(,\f(3,4)a2－\f(1,12)a2)＝eq\f(\r(,6)a,3)．4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝eq\r(2)，则BD1与平面ADD1A1所成角的大小是__30°__；异面直线AA1与BD1所成角的大小是__45°__．【解析】因为AA1∥BB1，所以∠B1BD1是异面直线AA1与BD1所成角(或所成角的补角)．因为BD1＝eq\r(12＋12＋\r(2)2)＝2，所以cos∠B1BD1＝eq\f(BB1,BD1)＝eq\f(\r(2),2)，所以∠B1BD1＝45°，所以异面直线AA1与BD1所成角的大小是45°．因为AB⊥平面ADD1A1，所以∠BD1A是BD1与平面ADD1A1所成角，又AD1＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋AD2)＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3)，cos∠BD1A＝eq\f(AD1,BD1)＝eq\f(\r(3),2)，所以∠BD1A＝30°，所以BD1与平面ADD1A1所成角的大小是30°．聚焦知识1．直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在__平面上的射影__所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)范围：__eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))__．2．二面角(1)从一条直线出发的__两个半平面__所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作__垂直于棱__的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(2)二面角的平面角α的范围：__[0，π]__；平面与平面的夹角的取值范围：__eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))__．3．空间距离(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．(3)两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．题型突破思维拓展点面距例1如图，已知圆柱OO1的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是圆O1上异于点C，D的任意一点．(1)求证：平面ACP⊥平面ADP；【解答】因为CD是圆O1的直径，所以DP⊥CP．因为AD⊥平面PDC，PC⊂平面PCD，所以AD⊥CP．又AD∩DP＝D，AD，DP都在平面ADP内，所以CP⊥平面ADP，因为CP⊂平面ACP，所以平面ACP⊥平面ADP．(2)若O1P⊥CD，求点D到平面ACP的距离．【解答】方法一(等体积法)：因为O1P⊥CD，所以P为弧CD的中点，所以O1P＝1，CP＝DP＝eq\r(2)．由(1)知CP⊥平面ADP，因为AP⊂平面ADP，所以CP⊥AP．在Rt△APC中，因为AP＝eq\r(6)，CP＝eq\r(2)，所以S△APC＝eq\f(1,2)×AP×PC＝eq\r(3)．设点D到平面ACP的距离为d，由VA－DPC＝VD－APC，得eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(1,3)×d×eq\r(3)，解得d＝eq\f(2\r(3),3)，即点D到平面ACP的距离为eq\f(2\r(3),3)．方法二(定义法)：如图，过点D作DE⊥AP，垂足为E，因为平面ACP⊥平面ADP，平面ACP∩平面ADP＝AP，DE⊂平面ADP，所以DE⊥平面ACP．因为O1P⊥CD，所以P为弧CD的中点，则CP＝DP＝eq\r(2)，AP＝eq\r(6)，在Rt△ADP中，AD×DP＝DE×AP，所以DE＝eq\f(2×\r(2),\r(6))＝eq\f(2\r(3),3)，即点D到平面ACP的距离为eq\f(2\r(3),3)．求点面距离的方法有：(1)定义法：关键找点在面上的投影(可借助面面垂直)；(2)等体积法：点面距离看成三棱锥的高，利用三棱锥变换顶点，体积不变构造方程求解．变式1如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，平面APC⊥平面PCD．(1)求证：CD⊥平面PAC；【解答】如图，在平面PAC内作AH⊥PC，交PC于点H．因为平面APC⊥平面PCD，平面APC∩平面PCD＝PC，AH⊂平面PAC，AH⊥PC，所以AH⊥平面PCD，则AH⊥CD．因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又因为PA∩AH＝A，PA，AH⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC．(2)若AB＝PA＝eq\f(3,5)BC＝3，E为PD的中点，求PB到平面AEC的距离．【解答】如图，连接BD交AC于点O，连接OE．易知OE为△PBD的中位线，所以PB∥OE．因为PB⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，所以PB∥平面AEC，所以PB到平面AEC的距离即为点B到平面AEC的距离．由(1)知CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC．因为AB∥CD，所以AB⊥AC．因为PA⊥平面ABCD，所以PA，AB，AC两两垂直．因为AB＝eq\f(3,5)BC＝3，所以AC＝4．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，因为CD⊥平面PAC，所以PC⊥CD，所以△PAD，△PCD是直角三角形，所以PD＝eq\r(PA2＋AD2)＝eq\r(34)．因为E是斜边PD的中点，所以AE＝CE＝eq\f(1,2)PD＝eq\f(\r(34),2)，则S△ACE＝eq\f(1,2)×4×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(34),2)))2－22)＝3eq\r(2)，S△ABC＝eq\f(1,2)×3×4＝6．设点B到平面AEC的距离为d，则VB－AEC＝VE－ABC，即eq\f(1,3)S△ACE·d＝eq\f(1,3)S△ABC·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PA))，解得d＝eq\f(3\r(2),2)，所以PB到平面AEC的距离为eq\f(3\r(2),2)．线面角例2(1)在如图所示的几何体中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2，则PA与平面PBD所成角的大小为__eq\f(π,6)__．【解析】连接AC交BD于点O，连接PO．因为PD⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，所以AO⊥PD．又四边形ABCD为正方形，所以AO⊥BD．因为BD，PD⊂平面PBD，BD∩PD＝D，所以AO⊥平面PBD，所以∠APO即为PA与平面PBD所成的角．因为PD＝AD＝2，且PD⊥AD，所以PA＝2eq\r(2)．又AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×eq\r(22＋22)＝eq\r(2)，所以sin∠APO＝eq\f(1,2)，则∠APO＝eq\f(π,6)，即PA与平面PBD所成角的大小为eq\f(π,6)．(2)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD．若PA＝a，则直线PB与平面PCD所成的角的大小为__eq\f(π,6)__．【解析】因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CD．又底面ABCD是边长为a的正方形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD．设点B到平面PCD的距离为h，直线PB与平面PCD所成的角为α，由PB＝eq\r(2)a，PD＝eq\r(2)a，VB－PCD＝VP－BCD，所以eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×a×h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a×a×a，解得h＝eq\f(\r(2)a,2)，所以sinα＝eq\f(h,PB)＝eq\f(\f(\r(2)a,2),\r(2)a)＝eq\f(1,2)，又α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α＝eq\f(π,6)．综合法求线面夹角的方法：(1)通过找线面角的平面角，在直角三角形中利用正、余弦定理进行求解；(2)寻找点面距，构造多面体，利用等体积法求出点面距，在相应三角形中求得需要的参数，进而得到线面夹角的正弦值或余弦值．变式2如图，在四棱锥P－ABCD中，AB＝2CD＝2AP＝2PD＝4，PA⊥PD，AB⊥BC，AB∥CD，E为PB的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；【解答】如图，取PA的中点为F，连接EF，DF，则EF∥AB，且EF＝eq\f(1,2)AB．又AB∥CD，且AB＝2CD，所以EF∥CD，且EF＝CD，所以四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF．又CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，所以CE∥平面PAD．(2)若平面PAD⊥底面ABCD，求直线CE与底面ABCD所成角的正切值．【解答】因为CE∥DF，所以直线CE与底面ABCD所成角即直线DF与底面ABCD所成角，如图，过点F作FM⊥AD于点M，又平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，FM⊂平面PAD，则FM⊥底面ABCD，所以∠FDM即为直线DF与底面ABCD所成角．取AD的中点O，连接PO，因为AP＝PD，所以PO⊥AD．因为F为PA的中点，所以M为AO的中点．又AB＝2CD＝2AP＝2PD＝4，PA⊥PD，则AD＝eq\r(PA2＋PD2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，PO＝eq\f(1,2)AD＝eq\r(2)．在Rt△FDM中，FM＝eq\f(1,2)PO＝eq\f(\r(2),2)，DM＝eq\f(3\r(2),2)，所以tan∠FDM＝eq\f(FM,DM)＝eq\f(1,3)，即直线CE与底面ABCD所成角的正切值为eq\f(1,3)．二面角视角1定义法例3－1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．(1)求二面角A－B1C－A1的余弦值；【解答】如图，连接AD1交A1D于点O，取B1C的中点E，连接AE，OE．因为OE∥CD，CD⊥平面BCC1B1，所以OE⊥平面BCC1B1．因为B1C⊂平面BCC1B1，所以OE⊥B1C．在正方体中易知△AB1C为等边三角形，E为B1C的中点，所以AE⊥B1C，所以∠OEA为二面角A－B1C－A1的平面角．设正方体棱长为2，则OE＝2，AB1＝AC＝B1C＝2eq\r(2)，则AE＝eq\r(6)，在Rt△AOE中，易得cos∠OEA＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(6),3)．(2)求平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的正切值．【解答】由(1)知AD1⊥A1D，连接C1O，易证C1O⊥A1D，所以∠C1OD1为平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的平面角．设正方体的棱长为2，则OD1＝eq\r(2)，所以tan∠C1OD1＝eq\f(C1D1,OD1)＝eq\r(2)，故平面A1DC1与平面ADD1A1所成角的正切值为eq\r(2)．根据二面角的定义，过棱上一点分别在两个半平面内作(找)棱的垂线，得到二面角的平面角．视角2三垂线法例3－2如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝eq\r(3)．(1)若AD⊥PB，求证：AD∥平面PBC；【解答】因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD．又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB．又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB．因为BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，根据平面几何知识可知AD∥BC．又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC．(2)若AD⊥DC，且二面角A－CP－D的正弦值为eq\f(\r(42),7)，求AD．【解答】如图，过点D作DE⊥AC于点E，再过点E作EF⊥CP于点F，连接DF．因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD，而平面PAC∩平面ABCD＝AC，所以DE⊥平面PAC，所以DE⊥CP．又EF⊥CP，DE∩EF＝E，所以CP⊥平面DEF．根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A－CP－D的平面角，即sin∠DFE＝eq\f(\r(42),7)，所以tan∠DFE＝eq\r(6)．因为AD⊥DC，设AD＝x，则CD＝eq\r(4－x2)，由等面积法可得，DE＝eq\f(x\r(4－x2),2)，所以CE＝eq\r(4－x2－\f(x24－x2,4))＝eq\f(4－x2,2)．又△EFC为等腰直角三角形，所以EF＝eq\f(4－x2,2\r(2))，故tan∠DFE＝eq\f(DE,EF)＝eq\f(\f(x\r(4－x2),2),\f(4－x2,2\r(2)))＝eq\r(6)，解得x＝eq\r(3)，即AD＝eq\r(3)．结合三垂线定理计算二面角的方法：如图，已知二面角α－c－β，在平面α内找一合适的点A，作AO⊥β于点O，过A作AB⊥c(c是公共棱)于点B，则BO为斜线AB在平面β内的射影，∠ABO为二面角α－c－β的平面角．视角3投影法例3－3如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝3，AB＝2，D为BC的中点，点E在棱BB1上，BE＝2EB1．(1)求证：C1E⊥平面ADE；【解答】在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BE＝2，B1E＝1，BD＝1，所以ACeq\o\al(2,1)＝AC2＋CCeq\o\al(2,1)＝13，AE2＝AB2＋BE2＝8，C1E2＝B1E2＋B1Ceq\o\al(2,1)＝5，所以ACeq\o\al(2,1)＝AE2＋ECeq\o\al(2,1)，所以AE⊥C1E．又BE＝2EB1，所以BE＝2＝B1C1，BD＝B1E＝1，∠DBE＝∠EB1C1＝90°，则Rt△BDE≌Rt△B1EC1，所以∠EDB＝∠C1EB1，所以∠C1EB1＋∠DEB＝∠EDB＋∠DEB＝90°，即C1E⊥ED．又AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，所以C1E⊥平面ADE．(2)求平面AEC1与平面ABC夹角的余弦值．【解答】方法一：由(1)知S△AEC1＝eq\f(1,2)AE·EC1＝eq\r(10)，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sin60°＝eq\r(3)．记平面AEC1与平面ABC的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(S射,S原)＝eq\f(\r(3),\r(10))＝eq\f(\r(30),10)，即平面AEC1与平面ABC夹角的余弦值为eq\f(\r(30),10)．方法二：如图，延长C1E，CB交于点F，连接FA，过点C作CG⊥FA，垂足为G，连接C1G，则由CC1⊥平面ABC，得C1G⊥FA，所以∠C1GC即为平面AEC1与平面ABC的夹角．在△ACF中，CF＝6，所以AF2＝AC2＋CF2－2AC·CF·cos60°＝4＋36－12＝28，即AF＝2eq\r(7)．又S△ACF＝eq\f(1,2)AF·CG＝eq\f(1,2)CF·CA·sin60°，所以CG＝eq\f(6×2×\f(\r(3),2),2\r(7))＝eq\f(3\r(21),7)，所以tan∠C1GC＝eq\f(CC1,CG)＝eq\f(3,\f(3\r(21),7))＝eq\f(\r(21),3)，所以cos∠C1GC＝eq\f(\r(30),10)，即平面AEC1与平面ABC夹角的余弦值为eq\f(\r(30),10)．若平面α内多边形面积为S原，其在平面β上射影图形面积为S射，两平面所成锐二面角为θ，则cosθ＝eq\f(S射,S原)．配套精练一、单项选择题1．已知线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成角为(C)A．30° B．45°C．60° D．120°【解析】设AB∩α＝B，AC⊥α于点C，则BC＝eq\f(1,2)AB，所以∠ABC＝60°，即AB所在直线与平面α所成角为60°．2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1－AB－C的正切值为(D)A．1 B．2C．eq\f(\r(,2),2) D．eq\r(,2)【解析】由AC＝CB知AC⊥CB．如图，取AB的中点M，连接C1M，CM，由条件可知∠C1MC即为二面角C1－AB－C的平面角．设AC＝CB＝CC1＝a，则CM＝eq\f(\r(,2),2)a，所以tan∠C1MC＝eq\f(CC1,CM)＝eq\r(,2)．3．在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA的长为eq\r(3)，则点S到平面ABC的距离是(A)A．1 B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(1,2)【解析】由题意，取AC的中点T，连接ST，BT(图略)，则由S－ABC为正三棱锥可知ST⊥AC，BT⊥AC，所以AC⊥平面BST，所以AC⊥BS．由M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，可知AM⊥BS．因为AC∩AM＝A，AC⊂平面SAC，AM⊂平面SAC，所以BS⊥平面SAC，所以易得BS，SC，SA两两垂直．又SA＝eq\r(3)，所以AB＝BC＝AC＝eq\r(6)．设点S到平面ABC的距离为h，所以eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)S△SAC·BS，解得h＝1，所以点S到平面ABC的距离是1．4．已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1的体积为eq\f(52\r(2),3)，AB＝6，A1B1＝2，则B1C与平面ABCD所成角的正切值为(A)A．eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(5),5)C．eq\f(3\r(10),10) D．eq\f(2\r(5),5)【解析】设棱台的高为h，则eq\f(1,3)×(4＋36＋eq\r(4×36))×h＝eq\f(52\r(2),3)，解得h＝eq\r(2)．连接AC，BD，交于点O，过B1作B1E⊥BD，垂足为E，连接CE，B1C，如图．由正四棱台性质可得，B1E⊥平面ABCD，即B1E＝eq\r(2)，所以∠B1CE是B1C与平面ABCD所成的角．因为在正四棱台中，AB＝6，A1B1＝2，则BD＝6eq\r(2)，B1D1＝2eq\r(2)，所以BE＝eq\f(BD－B1D1,2)＝eq\f(6\r(2)－2\r(2),2)＝2eq\r(2)，则OE＝OB－BE＝3eq\r(2)－2eq\r(2)＝eq\r(2)，所以在Rt△COE中，CE＝eq\r(OC2＋OE2)＝eq\r(3\r(2)2＋\r(2)2)＝2eq\r(5)，所以在Rt△B1CE中，tan∠B1CE＝eq\f(B1E,CE)＝eq\f(\r(2),2\r(5))＝eq\f(\r(10),10)．二、多项选择题5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则(ABD)A．直线BC1与DA1所成的角为90°B．直线BC1与CA1所成的角为90°C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故A，B正确．设A1C1∩B1D1＝O，易得A1C1⊥平面BB1D1D，所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为∠C1BO．在Rt△C1BO中，sin∠C1BO＝eq\f(C1O,BC1)＝eq\f(1,2)，故∠C1BO＝30°，故C错误．直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC＝45°，故D正确．6．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且点O到平面PAC的距离为eq\f(\r(2),2)，则(BCD)A．该圆锥的体积为3πB．直线OP与平面PAC所成的角为45°C．二面角P－AC－O为45°D．直线PA与BC所成的角为60°【解析】如图，取线段AC的中点M，连接PM，过O作ON⊥PM，垂足为N，易知AC⊥OM，AC⊥PM，又OM∩PM＝M，OM，PM⊂平面PMO，所以AC⊥平面PMO．又ON⊂平面PMO，所以AC⊥ON，又ON⊥PM，且AC∩PM＝M，AC，PM⊂平面PAC，所以ON⊥平面PAC，所以线段ON的长为点O到平面PAC的距离，即ON＝eq\f(\r(2),2)．对于A，在等腰三角形APB中，∠APO＝60°，PA＝2，所以PO＝1，AO＝eq\r(3)，所以该圆锥的体积为eq\f(1,3)×π×(eq\r(3))2×1＝π，A错误；对于B，由ON⊥平面PAC可得直线OP与平面PAC所成的角为∠OPN，在Rt△OPN中，sin∠OPN＝eq\f(ON,OP)＝eq\f(\r(2),2)，所以∠OPN＝45°，B正确；对于C，由AC⊥平面PMO可得二面角P－AC－O的平面角为∠PMO，在Rt△PMO中，cos∠PMO＝cos∠PON＝eq\f(ON,OP)＝eq\f(\r(2),2)，所以∠PMO＝45°，C正确；对于D，取线段PC的中点D，连接DM，DO，显然有BC∥OM，PA∥MD，则直线PA与BC所成的角为∠DMO或其补角，因为∠PMO＝45°，则OM＝OP＝1，PM＝eq\r(2)．在Rt△POC中，OD＝eq\f(1,2)PC＝1，在Rt△PMC中，MD＝eq\f(1,2)PC＝1，在△DMO中，cos∠DMO＝eq\f(MD2＋MO2－DO2,2MD·MO)＝eq\f(1＋1－1,2)＝eq\f(1,2)，所以∠DMO＝60°，D正确．三、填空题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC上靠近B的三等分点，则直线D1E与平面BCC1B1所成角的正弦值为__eq\f(3\r(22),22)__．【解析】连接C1E(图略)，因为D1C1⊥平面BCC1B1，所以直线D1E与平面BCC1B1所成的角为∠D1EC1．设AB＝3a，易得C1E＝eq\r(C1C2＋CE2)＝eq\r(9a2＋4a2)＝eq\r(13)a，D1E＝eq\r(D1C\o\al(2,1)＋C1E2)＝eq\r(22)a，所以sin∠D1EC1＝eq\f(D1C1,D1E)＝eq\f(3\r(22),22)．8．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，PC与平面ABC所成角的大小为60°，则PC＝__eq\r(3)__．【解析】如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，则PD⊥AB，CD⊥AB，且PD＝CD＝eq\r(,3)．又PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，所以AB⊥平面PCD．又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PCD，且平面ABC∩平面PCD＝CD，由面面垂直的性质可知，点P在平面ABC内的投影落在直线CD上，且PD＝CD＝eq\r(,3)，可知点P在平面ABC内的投影落在线段CD上．因为PC与平面ABC所成角的大小为60°，则∠PCD＝60°，可知△PCD为等边三角形，所以PC＝eq\r(,3)．9．如图，△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则钝二面角A－BD－C的余弦值为__－eq\f(\r(5),5)__．【解析】如图，过A作AE⊥CB交CB的延长线于E,连接DE，因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝CB，所以AE⊥平面BCD，所以点E即为点A在平面BCD内的射影，所以△BDE为△ABD在平面BCD内的射影．设AB＝a，则AE＝DE＝AB·sin60°＝eq\f(\r(3),2)a，所以AD＝eq\f(\r(6),2)a．由余弦定理可得cos∠ABD＝eq\f(1,4)，所以sin∠ABD＝eq\f(\r(15),4)，所以S△ABD＝eq\f(1,2)a2×eq\f(\r(15),4)＝eq\f(\r(15),8)a2,又BE＝eq\f(1,2)a，所以S△BDE＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)a×eq\f(1,2)a＝eq\f(\r(3),8)a2．设二面角A－BD－E的大小为θ，则cosθ＝eq\f(S△BDE,S△ABD)＝eq\f(\r(5),5)．而二面角A－BD－C与A－BD－E互补，所以二面角A－BD－C的余弦值为－eq\f(\r(5),5)．四、解答题10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D为棱PB的中点，∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝AC＝2PA＝2．(1)求二面角P－BC－A的余弦值；【解答】如图，取BC的中点E，连接AE，PE．因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC．因为PA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB．在Rt△PAB中，PB2＝AB2＋PA2＝22＋12＝5．在Rt△PAC中，PC2＝AC2＋PA2＝22＋12＝5，从而PB＝PC．又E为BC的中点，所以PE⊥BC，故∠PEA为二面角P－BC－A的平面角．因为PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，所以PA⊥AE，又BC＝eq\