画法几何学 第3章直线的投影-第4章平面的投影课件

1第3章直线的投影3.1直线的投影3.2直线对投影面的相对位置3.3一般位置直线的实长及倾角3.4属于直线的点3.5两直线的相对位置3.6直角投影定理3.1直线的投影OO

两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同名投影。⒈

直线对一个投影面的投影特性3.2直线对投影面的相对位置

BA●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点

积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB

直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影不反映线段实长

ab=AB*cos

●●AB●●ab

AB●a(b)●●M●(m)⒉直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线

平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）水平线（平行于Ｈ面)侧平线（平行于Ｗ面）正垂线（垂直于Ｖ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面

其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。⑴投影面平行线VWHYXZ侧平线水平线正平线——水平线AB∥HγβXZ″baaabbOYHYW′′″——水平线实长①

在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。②

另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。投影特性：VHabAaaγβBbbWβγ′′″″ZXYoAB∥Hab=ABa

b

∥OXa

b

∥OYW——正平线AB∥V——正平线①

在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。②

另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。投影特性：AB∥Va

b

=ABab∥OXa

b

∥OZZVHabAaaγ

BbbW

γ′′″″oXYγ

XZ″baaabbOYHYW′′″实长——侧平线AB∥W——侧平线VHAaβBbW

aba

bβ′′″″ZoXY①

在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。②

另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。投影特性：AB∥Wa

b

=ABa

b

∥OZab∥OYH

″bYW″实长YHβXZbaaabO′′⑵投影面垂直线VWHYXZ铅垂线AB⊥H正垂线AC⊥V侧垂线AD⊥WCDBA——铅垂线AB⊥

H●a

b

a(b)a

b

ZXYHYW2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。1.在其垂直的H投影面上，投影有积聚性。投影特性:O——正垂线AB⊥V2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。1.在其垂直的V投影面上，投影有积聚性。投影特性:●a

(c

)acc

a

ZOXYHYW——侧垂线AB⊥

W2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。1.在其垂直的W投影面上，投影有积聚性。投影特性:●a

d

ada

(d

)ZXYHYWOVWHYXZBA⑶一般位置直线⑶一般位置直线Z

YHaOXabbaYWb

三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。投影特性:HaγaAb

VBbWβa

b

ZXOY18ZXa

b

aOYHYWa

bb

Bbb

a

b

aAa

(4)从属于某一投影面的直线从属于V面的直线HWV19从属于V投影面的铅垂线ZYWb

Xa

b

a(b)OYHa

HW20从属于OX轴的直线ZXa

b

aOYHYWa

b

bHWV21四、作图1．

求直线的实长及对水平投影面的夹角

角2．求直线的实长及对正面投影面的夹角

角3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角

角

3.3一般位置直线的实长及倾角22

|zA-zB

|AB1．求直线的实长及对水平投影面的夹角

角

|zA-zB|

ABab|zA-zB|

AB|zA-zB|abO232．求直线的实长及对正面投影面的夹角

角|yA-yB|a

Xab

ObAB

a

b

|yA-yB|

a

b

AB|yA-yB|AB

|yA-yB|

243．求直线的实长及对侧面投影面的夹角

角ABbb

a

b

aa

|xA-xB||xA-xB|

|xA-xB|25[例题]

已知线段的实长AB，求它的水平投影。a|zA-zB|

abABab|zA-zB|cacXabcYWYHbOaZb′″′′″″3.4属于直线的点若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。点的投影将线段的同面投影分割成与空间线段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b

=a

c

:c

b

定比定理从属性定比性cAHacaVbBabcCbW′′′″″″XYOZ27cc

[例题1]

已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分点C

的投影c、c

。28[例题2]

已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。cc

cabc用定比定理求解[例题2]

已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。cc

用第三投影求解b

aba

c

b

a

30[例题3]

已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。cABzA-zBc

abL[例题4]

判断点C是否在线段AB上。c

abca

b

●●abca

b

c

●●在不在a

b

●●aa

b

c

bc不在应用定比定理另一判断法?XXZXOYHYW●c

3.5两直线的相对位置

两直线平行

两直线相交空间两直线的相对位置分为：

平行、相交、交叉（异面）

两直线交叉⒈两直线平行bcdHAd

aCcVaDbB

acdbc

dabOX

OX1．若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。反之亦然。

2．平行两线段之比等于其投影之比。若：AB∥CD；则：ab∥cd；

a

b

∥c

d

；

a

b

∥c

d

。例：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两组同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB与CD平行。AB与CD不平行。

对于特殊位置直线，只有两组同面投影互相平行，空间直线不一定平行。a

b

c

d

b

d

c

a

dO(1)abcc

a

b

d

XZYHYWZcbadd

b

a

c

(2)XOYHYW⒉两直线相交

若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。a

c

VXb

HDacdCAKd

bOBkk

cabd

b

a

c

d

Xkk

●cd

d[例题5]过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影a●bb

a

c

Xk

k[例题6]判断直线AB、CD的相对位置。′c′′a′bdabcd相交吗？不相交！为什么？

交点不符合空间一点的投影特性。判断方法？⒈应用定比原理⒉利用侧面投影X38[例题7]应用侧面投影判断两直线是否相交d

a

c

b

oYWYHz交叉两直线39[例题8]应用定比定理判断两直线是否相交1

1

d

c

1

1交叉两直线⒊两直线交叉为什么？两直线相交吗？不相交！

交点不符合点的投影规律！cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′X凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′1(2)2●′1●′

同面投影可能相交，但“交点”不符合空间一点的投影规律。

“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43

(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′′●42[例题9]

判断两直线重影点的可见性3

(4

)341

2

1(2)3.6直角投影定理一、垂直相交的两直线的投影定理一

垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二

相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。二、交叉垂直的两直线的投影定理三

相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。443.6.1垂直相交的两直线的投影cOXb

a

c

baAB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab

ac45AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab

ac3.6.2交叉垂直的两直线的投影46[例题10]过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V面。bb

47f[例题11]

过点E作线段AB、CD的公垂线EF。f

e

e48b

[例题12]

作三角形ABC，

ABC为直角，使BC在

MN上，且BC

AB

=2

3。bcABa

b

|yA-yB|b

c

=BCc

a

a本章结束第4章平面的投影4.1平面的表示法4.2平面对投影面的相对位置4.3属于平面上的点和直线4.1平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●两平行直线abca

b

c

●●●●●●两相交直线平面图形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

XXXXX4.1.1平面的几何元素表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ4.1.2平面的迹线表示法投影特性平面平行投影面——投影就把实形现平面垂直投影面——投影积聚成直线平面倾斜投影面——投影类似原平面实形性类似性积聚性1.平面对一个投影面的投影特性4.2平面对投影面的相对位置平行ABCabc垂直ABCabc倾斜ACabcB⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面(⊥

V)

铅垂面(⊥

H)

侧垂面(⊥

W)

正平面(∥V)

水平面(∥H)

侧平面(∥W)侧垂面①投影面垂直面VWHYXZ正垂面铅垂面铅垂面c

c

铅垂面abca

b

b

a

积聚性铅垂面γβ投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。及：水平投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。Z类似性类似性XOYHYW

PHPPH铅垂面的迹线表示ABCacba'b'a"b"ba

b"cc"c'

PHa'b'a"b"ba

b"cc"c'正垂面c

c

正垂面abca

b

b

a

积聚性正垂面γ

投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。及：正面投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。Z类似性XOYHYW类似性QQVαγQV正垂面的迹线表示Ac

Ca

b

B侧垂面c

c

侧垂面abca

b

b

a

积聚性侧垂面

β投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。及：侧面投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。Z类似性类似性XOYHYW侧垂面的迹线表示VWSwSZXOYSwYαβCa"b"ABc"XYZHVW侧平面正平面水平面②投影面平行面水平面积聚性积聚性实形性水平面投影特性：它在水平投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。a

b

c

a

b

c

abcZXOYHYW正平面积聚性积聚性实形性正平面投影特性：它在正面投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。a

b

c

a

b

c

abcZXOYHYW侧平面积聚性积聚性侧平面投影特性：它在侧面投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。a

b

c

a

b

c

abcZXOYHYW实形性③一般位置平面XYZHVW

一般位置平面三个投影都为类似形。投影特性：a

b

c

a

c

b

abcZXOYHYW平面与三个投影面都倾斜。a

c

b

c

a

●abcb

例：正垂面ABC与H面的夹角为45°，已知其水平投影及顶点B的正面投影，求△ABC的正面投影及侧面投影。思考：此题有几个解？45°ZXOYHYW4.3属于平面的点和直线4.3.1

属于一般位置平面的点和直线4.3.2

属于特殊位置平面的点和直线4.3.3

属于平面的投影面平行线4.3.4

属于平面的最大斜度线*4.3.1属于一般位置平面的点和直线1．平面上的直线直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。2．平面上的点点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。

例题1例题2例题3位于平面上的直线应满足的条件：平面上取任意直线若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。AB●MQ●●MNP1．取属于平面的直线

取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。EDFd'de'eff'abcb

c

a

d

d例：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一：解法二：有多少解？有无数解！n

●m

●n●m●abcb

c

a

XX2．取属于平面的点

取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线EDd'de'e平面上取点

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。

面上取点的方法：d

d通过在面内作辅助线求解首先面上取线k●abca

b

c

X●k

利用平面的积聚性求解baca

k

b

●c

Xk●[例题1]

已知

ABC给定一平面，试判断点D是

否属于该平面。d'dee'[例题2]

已知点D在

ABC上,试求点D的水平投影。dd'ee'[例题3]已知点E在

ABC上,试求点E的正面投影。e'e4.3.2属于特殊位置平面的点和直线1．取属于投影面垂直面的点和直线

2．过一般位置直线总可作投影面的垂直面

(1)几何元素表示法

(2)迹线表示法

3．过特殊位置直线作平面

(1)过正垂线作平面

(2)过正平线作平面bb

1．取属于投影面垂直面的点和直线aa

eff

e

abb

a

Sb

a

abAB2．过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线AB作铅垂面PH过一般位置直线AB作正垂面SVPPHSVABm'n(n')(m)(1)过一般位置直线作投影面的垂直面

(几何元素表示法)(2)过一般位置直线作投影面的垂直面

(迹线表示法)b"a"SVQWPH①过正垂线作平面(迹线表示法)PVSVQVRV（a）给题（c）作侧平面（b）作水平面（d）作正垂面（有无穷多个）②过正平线作平面PHSHg

g（a）给题（c）作正垂面（b）作正平面（d）作一般位置平面（有无穷多个）4.3.3属于平面的投影面平行线

属于平面的水平线和正平线

例题4例题5例题6P属于平面的水平线和正平线PVPH例：在平面ABC内作一条水平线，使其到

H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！有多少解？[例题4]

已知

ABC给定一平面，试过