高考数学一轮复习第七章立体几何初步、空间向量与立体几何第39节空间点、直线、平面之间的位置关系课件

第39节空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求考题分析1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理,并能应用定理解决问题.年份Ⅰ卷(一卷)Ⅱ卷(二卷)2023年−−2024年−−2025年−−主干梳理•基础落实【知识梳理】1.四个基本事实基本事实1文字语言过不在__________上的三个点,有且只有一个平面符号语言符号:A,B,C三点_______⇒存在唯一的α,使A,B,C∈α基本事实2文字语言如果一条直线上的_______在一个平面内,那么这条直线在这个平面内符号语言A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒_____一条直线不共线两个点l⊂α基本事实3文字语言如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们______________过该点的公共直线符号语言P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且____基本事实4文字语言平行于同一条直线的两条直线_____符号语言a∥b,b∥c⇒____有且只有一条P∈l平行a∥c2.基本事实的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线___一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条_____直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条_____直线,有且只有一个平面.外相交平行3.空间直线、平面之间的位置关系项目直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言

符号语言a∥ba∥αα∥β项目直线与直线直线与平面平面与平面相交关系图形语言

符号语言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l其他关系图形语言

−符号语言a,b是异面直线a⊂α−[注意点](1)直线在平面外分直线与平面平行和直线与平面相交两种情况.(2)两条直线没有公共点分直线与直线平行和直线与直线异面两种情况.4.等角定理如果空间中两个角的两条边分别_________,那么这两个角相等或_____.对应平行互补5.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围:_____.

[注意点]两异面直线所成的角归结为一个三角形的内角时,容易忽视以下情况:这个三角形的内角可以等于两异面直线所成的角,也可以等于其补角.【常用结论】1.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.2.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.3.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.4.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.【知能自测】类型回源教材澄清盲点结论应用题号3,4121.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”.(1)没有公共点的两条直线是异面直线.()(2)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.()(3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.()(4)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么b与c不可能是平行直线.()(5)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则α内的所有直线与a异面.()×××√×2.如图,在直三棱柱ABC−A1B1C1的棱所在的直线中,与直线BC1成异面直线的条数为(

)

A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.与直线BC1成异面直线的有A1B1,AC,AA1,共3条.√

4.(必修第二册P134例1变式)如图,在三棱锥ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则:(1)当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为菱形;

AC=BD

(2)当AC,BD满足条件__________________时,四边形EFGH为正方形.

AC=BD且AC⊥BD

考点探究•核心突破考点一

基本事实及其应用【例1】已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;【证明】(1)因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体ABCD−A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线;【证明】(2)在正方体ABCD−A1B1C1D1中,设平面AA1C1C为α、平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点.同理,P也是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β.则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.(3)DE,BF,CC1三线交于一点.【证明】(3)因为EF∥BD且EF<BD,所以DE与BF相交,设交点为M,则由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1,同理,点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,所以M∈CC1.所以DE,BF,CC1三线交于一点M.【方法总结】1.点、线共面的判断方法(1)纳入平面法:要证明“点共面”或“线共面”,可先由部分点或直线确定一个平面,再证其余点或直线也在这个平面内.(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.

(3)证明四点共面常通过证明四点组成的四边形为平行四边形或梯形来解决.2.证明空间点共线问题的方法(1)一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.

考点二

空间位置关系的判断【例2】(1)(一题多法)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(

)A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交√【解析】选D.方法一(反证法):由于l与直线l1,l2分别共面,故直线l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若都不相交,即l∥l1,l∥l2,则l1∥l2,这与l1,l2是异面直线矛盾.故l至少与l1,l2中的一条相交.方法二(模型法):如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确.(2)如图,在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1D1,B1C1,BC,AD的中点,则(

)A.直线HE与直线GF是异面直线B.直线HE与直线BB1是异面直线C.直线HE与直线CC1共面D.直线HE与直线BF共面√【解析】选C.延长AA1,BB1,CC1,DD1,由正四棱台的性质可得侧棱AA1,BB1,CC1,DD1的延长线交于同一点,设该交点为P.E,F,G,H分别为棱A1D1,B1C1,BC,AD的中点,延长HE,GF,则HE,GF的延长线必过点P,则直线HE与直线GF相交于点P;与直线BB1相交于点P;与直线CC1相交于点P;与直线BF是异面直线.【方法总结】1.判断点、线、面位置关系的策略构造几何体(如长方体、正方体)模型,在简单、熟悉的模型中直观感知并判定空间点、线、面的位置关系.2.两直线位置关系的判断【对点训练】(多选题)如图,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时,下列直线一定与直线OP异面的是(

)

A.AB1 B.A1C C.A1A D.AD1√√√【解析】选BCD.对于A,如图①,连接AB1,C1D,BD,

当P为BC1的中点时,OP∥DC1∥AB1,故A不符合题意;对于B,如图②,连接A1C,A1C1,AC,因为A1C⊂平面AA1C1C,O∈平面AA1C1C,O∉A1C,P∉平面AA1C1C,所以直线A1C与直线OP一定是异面直线,故B符合题意;对于C,如图②,因为A1A⊂平面AA1C1C,O∈平面AA1C1C,O∉A1A,P∉平面AA1C1C,所以直线A1A与直线OP一定是异面直线,故C符合题意;对于D,如图③,连接AD1,D1C,AC,因为AD1⊂平面AD1C,O∈平面AD1C