2027秋北师版九下数学情景课堂课件 1.1.3锐角三角函数-第3课时 30°45°60°角的三角函数

北师版九下情景课堂数学备课

教学课件1.1锐角三角函数第一章直角三角形的边角关系第3课时

30°，45°，60°角的三角函数值第4课时

三角函数的计算1.经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义.2.能够进行含有30°，45°，60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应的锐角的度数.4.会用计算器由已知锐角求它的三角函数值及由三角函数值求对应的锐角.5.能够利用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.

琳琳一家去景区游玩，要坐缆车上山.如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.问题1

已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝30°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01m)

还有别的计算方法吗？我们一起来探究一下吧！探究1观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？4个，分别等于30°，60°，45°.30°60°45°45°探究230°，45°，60°角的三角函数值各是多少？30°60°a2a

解：设

30°所对的直角边长为

a，那么斜边长为

2a，另一条直角边长为

.∴sin30°＝

，cos30°＝

，tan30°＝

，sin60°＝

，cos60°＝

，tan60°＝

.探究230°，45°，60°角的三角函数值各是多少？45°45°设两条直角边长为a，则斜边长为

.aa

∴sin45°＝

，cos45°＝

，tan45°＝＝1.30°、45°、60°角的三角函数值如下表：归纳总结∠α三角函数sinαcosαtanα30°

45°60°

1若∠A为锐角，则sinA＝cos(90°－A)，cosA＝sin(90°－A)，tanA与tan(90°－A)互为倒数.例1计算:(1)sin30°＋cos45°；(2)sin260°＋cos260°－tan45°.解:(1)sin30°＋cos45°(2)sin260°＋cos260°－tan45°sin260°

表示(sin60°)2，cos260°

表示(cos60°)2，其余类推.变

式

(1)如图，在Rt△ABC

中，∠C

＝90°，AB＝，BC＝，求∠A

的度数；解：如图，∵sinA＝，

∴∠A＝45°.ABC(2)在△ABC中，若

，求∠C的度数.解：∵

，

，且

，∴

，tanB＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝105°．例2

如图，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆过的角度∠BOD

恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).所以，秋千最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.∠AOD

OD＝2.5m，解：连接BD，交OA于点C.根据题意可知，AC＝OA－OC＝2.5－2.165≈0.34(m).问题2缆车的吊厢由点B到达点D时，它又行驶了200

m.已知行驶路线与水平面的夹角∠β＝42°，由此你还能计算出缆车垂直上升的距离是多少吗?(结果精确到0.01m)解：如图，在Rt△BDE中，∠E＝90°，∴DE

＝BDsinβ＝200×sin42°.E我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值.例3用科学计算器求下列三角函数值：(1)sin16°(2)cos72°38′25″(3)tan85°按键顺序显示结果sin16°cos72°38′25″tan85°0.27563735580.298369906711.4300523问题解决

现在借助科学计算器能求出DE的长度吗？DE

＝BDsinβ＝200×sin42°≈133.83(m).E思

考

你还能计算出什么？

能够计算出缆车两次的水平移动距离，即AC、BE的长度.变

式

如图，物华大厦离小伟家60m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求该大厦的高度(结果精确到0.1m).仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.俯角:当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角.解：如图，过点A作AE⊥CD，∵AB⊥BC,DC⊥BC，∴四边形ABCE是矩形，∵BC＝60m，∴AE＝BC＝60m，AEDCB在Rt△AEC中，EC＝AE·tan∠EAC＝60tan37°≈45.2(m)在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE＝60(m)，∴DC＝DE＋CE＝60＋45.2＝105.2(m)所以该大厦的高度约为105.2m.操作·思考

为了方便行人推非机动车过天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道.如何求这条斜道的倾斜角呢？解：在Rt△ABC中，sinA＝.已知三角函数值求角度.思考

已知三角函数值，怎么使用科学计算器求角度？要用到

sincostan键的第二功能“sin－1”“cos－1”“tan－1”

和

键.例4用科学计算器求下列三角函数值对应的锐角的度数：(1)sinA＝0.9816(2)cosB＝0.8607(3)tanC＝56.78，例4用科学计算器求下列三角函数值对应的锐角的度数：(1)sinA＝0.9816(2)cosB＝0.8607(3)tanC＝56.78，按键顺序显示结果sinA＝0.9816

cosB＝0.8607tanC＝56.7878.9918403930.6047300788.99102049表中的显示结果是以“度”为单位的，再按

键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.问题解决

为了方便行人推非机动车过天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道.如何求这条斜道的倾斜角呢？解：在Rt△ABC中，sinA＝.∠A≈14.4775°

AA.0B.1C.D.2.(万唯原创)如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机A对建筑物BC的点B和点C进行观测，则下列说法错误的是(

)A.仰角为∠BADB.当无人机远离BC水平飞行时，仰角增大C.俯角为∠CADD.当无人机远离BC水平飞行时，俯角减小B3.利用科学计算器求下列值:(1)(结果精确到0.0001)．①sin49°＝

；②cos49°51′28′′＝

；③tan56°18′25′′＝

；(2)(精确到秒)①sinA＝0.6374，则∠A＝

；②cosA＝0.6241，则∠A＝

；③tanA＝4.8525，则∠A＝

．0.75470.64471.499839°35′24″51°22′48″78°21′0″4.如图，在△ABC中，∠B＝60°

，∠C＝45°，AD⊥BC，点

E是AB的中点，连接DE，若DE＝4

，则AC的长为________.5.(2024哈尔滨)△ABC是直角三角形，AB＝2，∠ABC＝30°，则AC的长为________________

．解析：若∠A＝90°，则AC＝＝2；若∠C＝90°，则AC＝AB＝．6.求下列各式的值：(1)4sin260°＋tan45°﹣8cos230°;(2)解：(1)4sin260°＋tan45°﹣8cos230°＝4×()2＋1﹣8×()2＝4×＋1﹣8×＝3＋1﹣6＝﹣2；(2)

1.30°、45°、60°角的三角函数值如下表：∠α三角函数sinαcosαtanα30°

45°60°