26.3.1 二次函数与一元二次方程 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

新人教版·九年级上册第二十六章

二次函数26.3二次函数与一元二次方程26.3.1

二次函数与一元二次方程温故知新思考：一次函数y＝kx＋b的图象与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？问1：一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（，）问2：一元一次方程x＋2＝0的根为________－20x=－2结论：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx＋b＝0的根

那么，二次函数与一元二次方程是否也有类似的关系呢？温故知新一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况与Δ=b2-4ac有关：3.当Δ=b2-4ac<0时,方程没有实数根.1.当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;2.当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;本节课我们将从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系思考如图，下列二次函数的图象与

x

轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当

x

取公共点的横坐标时，函数值是多少？(1)y=x2+x−2；(2)y=x2−8x+16；(3)y=x2−x+1.由此，你能说方程

x2+x−2=0，x2−8x+16=0，x2−x+1=0根的情况吗？

y=x2−8x+16y=x2+x−2

y=x2−x+1探究新知无公共点公共点的函数值为

.00=x2-x+10=x2+x-20=x2-8x+16x1=-2，x2=1二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？x1=x2=4对应一元二次方程的根是多少？有两个不等的实根有两个相等的实根方程无实数根（1）y=x2+x-2（2）y=x2-8x+16（3）y=x2-x+1探究新知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2−4ac>0有两个重合的交点有两个相等的实数根b2−4ac

=0没有交点没有实数根b2−4ac<0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系探究新知典例精析例1

已知关于

x的二次函数

y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0).(1)求证：此抛物线与

x轴总有公共点；（1）证明：∵m≠0∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2∵(m－2)2≥0∴一元二次方程

mx2－(m＋2)x＋2＝0一定有两个根.∴抛物线

y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)与

x轴总有公共点.典例精析例1

已知关于

x的二次函数

y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0).(2)若此抛物线与

x轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数，求正整数

m的值．(2)解：令

y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，∴x－1＝0或

mx－2＝0，

解得

x1＝1，x2＝.

当正整数

m=1时，x2为整数且

x1≠x2，即抛物线与

x轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数.∴正整数

m的值为1.链接中考1.

若二次函数

y=ax2-2x-1的图象和

x

轴有交点，则

a

的取值范围为

.a≥-1且

a≠0分析：二次函数

y=ax2-2x-1

的图象和

x

轴有交点，Δ=

4+

4a≥0a≠0a≥-1且

a≠0若抛物线

y=ax2+bx+c与

x轴有交点，则

b2-4ac≥0.典例精析例2

如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间

t(单位：s)的关系近似为

h=20t-5t2.小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？Ohth=20t-5t2解：当h=20时，根据题意得20=20t-5t2解方程，得t1=t2=2当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.202即

t2-4t+4=0典例精析（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要长时间？Ohth=20t-5t2解：令h=15，则15=20t-5t2.解得t1=1，t2=3.当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？1513关于例1，回答下列问题：【教材P48练习】典例精析（2）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要长时间？Ohth=20t-5t2解：令h=20.5，则20.5=20t-5t2.即t2-4t+4.1=0.∵Δ=(-4)2-4×4<0，∴此方程无实数根.即小球的飞行高度不能达到20.5m.20.5典例精析（3）小球从飞出到落地，需要多长时间？Ohth=20t-5t2解：令h=0，则0=20t-5t2.解得t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.所以小球从飞出到落地要4s.课堂小结二次函数与一元二次方程的关系：y=ax2+bx+c一元二次方程y取定值且a≠0已知二次函数中因变量的值，求自变量的值求相应的一元二次方程的根课堂练习已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k=3时，函数y=2x+1是一次函数．∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点，∴k=3.当k≠3时，y=(k-3)x2+2x+1是二次函数．∵二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，∴Δ=b2-4ac≥0.∵b2-4ac=22-4(k-3)=-4k+16，∴-4k+16≥0综上所述，k的取值范围是k≤4∴k≤4且k≠3易错提醒（1）忽略二次函数前提：研究交点与方程根的关系时