八年级数学上册《利用平方差公式分解因式》课件

R·八年级上册第1课时利用平方差公式分解因式17.2用公式法分解因式学习目标会利用平方差公式对多项式进行因式分解.情境导入你能一眼看出992–1是不是100的倍数吗？你能想到我们学过的什么内容？探究新知计算：（1）(x+5)(x–5)=________；（2）(3x+y)(3x–y)=_________；（3）(3m+2n)(3m

–2n)=___________.x2–259x2–y29m2–4n2分解因式：（1）x2–25=_______________；（2）9x2

–

y2=_______________；（3）9m2

–4n2=___________________.(x+5)(x–5)(3x+y)(3x–y)(3m+2n)(3m–2n)你发现了什么？多项式a2–b2

有什么特点？思考你能将它分解因式吗？是两个数的平方差的形式.整式乘法因式分解(a+b)(a–b)=a2–b2a2–b2=(a+b)(a–b)两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.在下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的有

.①a2+b2②2a–b2③a2–b2

④–a2–b2⑤–a2+b2×××√√③⑤练习

例1分解因式：(1)4x2–9；(2)a2–25b2

.解：(1)4x2–9=(2x)2–32分析：(1)a=____，b=_____(2)

a=____，b=_____2xa(2)a2–25b2=a2–(5b)2=(a+5b)(a–5b)a2–b2=(a+b)(a–b)35b=(2x+3)(2x–3)练习将下列各式因式分解：（1）25–16x2；（2）9a2–b2.解:(1)25–16x2=52–(4x)2=(5+4x)(5–4x)

例2分解因式：解：(1)x2–y4=(x)2–(y2)2分析：(1)a=____，b=_____(2)

a=____，b=_____xx+p(2)(x+p)2–(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)–(x+q)]=(2x+p+q)(p–q)y2x+q=(x+y2)(x–y2)整体思想(1)x2–y4；(2)(x+p)2–(x+q)2

.利用平方差公式分解因式，应注意：1.公式右边是两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同（即a），另一项互为相反数（即b

和–b）.2.公式左边是这两项的平方差.3.公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式.a2–b2=(a+b)(a–b)（1）–4(x–2y)2+9(x+y)2；（2）(x–8)(x+2)

+6x.(1)–4(x–2y)2+9(x+y)2=[3(x+y)]2–[2(x–2y)]2=[3(x+y)+2(x–2y)][3(x+y)–2(x–2y)]=(5x–y)(x+7y)(2)(x–8)(x+2)

+6x

=x2–6x–16

+6x

=x2–16=(x+4)(x–4)练习将下列各式因式分解：随堂练习1.下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？（1）x2+y2（2）x2–y2

（3）–x2+y2（4）–x2–y2×√×√y2–x2

符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式分解因式，即能写成：a2–b2的形式.两数是平方减号放中央【教材P129练习第1题】2.分解因式：（1）36

–

m2；

（2）49n2–1；解：(1)36–m2=(36+m)(36–m)(2)49n2–1=(7n

+1)(7n

–1)【教材P129练习第2题】（3）；

（4）81a2–16b4

；(4)81a2–16b4=(9a)2–(4b2)2=(9a+4b2)(9a–4b2)（5）4b2–(b+c)2

；(5)4b2–(b+c)2

=(2b)2–(b+c)2

=[2b+(b+c)][2b–(b+c)]=(3b+c)(b–c)（6）(m+2n)2–(m–2n)2.(6)(m+2n)2–(m–2n)2=[(m+2n)+(m–2n)][(m+2n)–(m–2n)]=2m·4n=8mn3.计算：（1）9992–1；（2）502–492+482–472+···+22–12；解：(1)原式=(999+1)×(999–1)=1000×998=998000(2)原式=(502–492)+(482–472)+···+(22–12)=(50+49)(50–49)+(48+47)(48–47)+···+(2+1)(2–1)=99+95+···+3=1275（3）课堂小结利用平方差公式分解因式：a2–b2=(a+b)(a–b)两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.*公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式一、选择题(每题4分，共40分)1.

如果

x

－2是多项式

x2－6

x

＋

m

的一个因式，那么

m

的值为(

A

)A.

8B.

－8C.

2D.

－2【解析】设另一个因式是

x

＋

a

，则(

x

－2)(

x

＋

a

)＝

x2＋

ax

－2

x

－2

a

＝

x2＋(

a

－2)

x

－2

a

＝

x2－6

x

＋

m

，∴

a

－2＝－6，解得

a

＝－4.∴

m

＝－2

a

＝8.A1234567891011121314151617182.

下列各式：①4

x2－

y2；②2

x4＋8

x3

y

＋8

x2

y2；③

a2＋2

ab

－

b2；④

x2＋

xy

－6

y2；⑤

x2＋2

x

＋3.其中不能分解因式的有(

B

)A.

1个B.

2个C.

3个D.

4个【解析】①原式＝(2

x

＋

y

)(2

x

－

y

)，能分解因式；②原式＝2

x2(

x

＋2

y

)2，能分解因式；③不能分解因式；④原式＝(

x

＋3

y

)(

x

－2

y

)，能分解因式；⑤不能化为两个整式积的形式，故不能分解因式.则不能分解因式的有2个.B1234567891011121314151617183.

下列式子从左到右的变形属于因式分解的是(

A

)B.

x2－4

x

＋1＝

x

(

x

－4)＋1D.

(

a

＋

b

)(

a

－

b

)＝

a2－

b2A1234567891011121314151617184.

多项式8

a3

b2＋12

a3

bc

－4

a2

b

中，各项的公因式是(

C

)A.

a2

b

B.

－4

a2

b2C.

4

a2

b

D.

－

a2

b

5.

下列各组中，没有公因式的一组是(

C

)A.

ax

－

bx

与

by

－

ay

B.

6

xy

－8

x2

y

与－4

x

＋3C.

ab

－

ac

与

ab

－

bc

D.

(

a

－

b

)3

x

与(

b

－

a

)2

y

CC123456789101112131415161718【解析】A.

ax

－

bx

＝

x

(

a

－

b

)，

by

－

ay

＝－

y

·(

a

－

b

)，有公因式

a

－

b

，故本选项不符合题意；B.6

xy

－8

x2

y

＝－2

xy

(4

x

－3)，－4

x

＋3＝－(4

x

－3)，有公因式4

x

－

3，故本选项不符合题意；C.

ab

－

ac

＝

a

(

b

－

c

)，

ab

－

bc

＝

b

(

a

－

c

)，没有公因式，故本选项符

合题意；D.(

a

－

b

)3

x

与(

b

－

a

)2

y

有公因式(

a

－

b

)2，故本选项不符合题意.1234567891011121314151617186.

已知

ab

＝－3，

a

＋

b

＝2，则

a2

b

＋

ab2的值是(

B

)A.

6B.

－6C.

1D.

－1【解析】∵

ab

＝－3，

a

＋

b

＝2，∴

a2

b

＋

ab2＝

ab

(

a

＋

b

)＝－3×2＝－6.B1234567891011121314151617187.

若

x2＋5

x

＋

m

＝(

x

＋

n

)2，则

m

，

n

的值分别为(

A

)C.

m

＝25，

n

＝5【解析】∵

x2＋5

x

＋

m

＝(

x

＋

n

)2＝

x2＋2

nx

＋

n2，∴2

n

＝5，

m

＝

n2，

A1234567891011121314151617188.

已知

a

，

b

，

c

分别是△

ABC

的三边长，且满足

a2＋

b2＋2

c2＝2

ac

＋

2

bc

，则△

ABC

是(

B

)A.

等腰三角形B.

等边三角形C.

直角三角形D.

等腰直角三角形B123456789101112131415161718【解析】∵

a2＋

b2＋2

c2＝2

ac

＋2

bc

，∴(

a2－2

ac

＋

c2)＋(

b2－2

bc

＋

c2)＝0，即(

a

－

c

)2＋(

b

－

c

)2＝0.∴

a

－

c

＝0，

b

－

c

＝0.∴

a

＝

b

＝

c

.∴△

ABC

是等边三角形.1234567891011121314151617189.

(保定容城县一模)小李在计算2

0232

023－2

0232

021时，发现其计

算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是(

B

)A.

2

023，2

024，2

025B.

2

022，2

023，2

024C.

2

021，2

022，2

023D.

2

020，2

021，2

022B123456789101112131415161718【解析】2

0232

023－2

0232

021＝2

0232

021×(2

0232－1)＝2

0232

021×(2

023－1)×(2

023＋1)＝2

0232

021×2

022×2

024∴能被2

022，2

023，2

024整除.123456789101112131415161718

A.

1B.

2C.

3D.

4C123456789101112131415161718

123456789101112131415161718二、填空题(共4题，每题5分，共20分)11.

若多项式

x3＋

x

＋

m

含有因式

x2－

x

＋2，则

m

的值是

⁠.【解析】∵多项式

x3＋

x

＋

m

含有因式

x2－

x

＋2，∴设另一个因式是

x

＋

a

，则(

x2－

x

＋2)(

x

＋

a

)＝

x3＋

x

＋

m

.∵(

x2－

x

＋2)(

x

＋

a

)＝

x3＋

ax2－

x2－

ax

＋2

x

＋2

a

＝

x3＋(

a

－1)

x2＋

(－

a

＋2)

x

＋2

a

，∴

a

－1＝0，2

a

＝

m

，解得

a

＝1，

m

＝2.2

12345678910111213141516171812.

若

x2＋2(3－

m

)

x

＋25可以用完全平方公式来分解因式，则

m

的值

为

⁠.【解析】∵

x2＋2(3－

m

)

x

＋25可以用完全平方公式来分解因式，∴2(3

－

m

)＝±10，解得

m

＝－2或8.－2或8

12345678910111213141516171813.

若

a

＋

b

＝2，

ab

＝－3，则代数式

a3

b

＋2

a2

b2＋

ab3的值为

⁠.【解析】∵

a

＋

b

＝2，

ab

＝－3，∴

a3

b

＋2

a2

b2＋

ab3＝

ab

(

a2＋2

ab

＋

b2)＝

ab

(

a

＋

b

)2＝－3×4＝－12.－12

123456789101112131415161718

22

8

910

123456789101112131415161718

123456789101112131415161718

123456789101112131415161718

(2)4

b2

c2－(

b2＋

c2)2；解：原式＝(2

bc

＋

b2＋

c2)(2

bc

－

b2－

c2)

＝－(

b

＋

c

)2(

b

－

c

)2.123456789101112131415161718(3)

a

(

a2－1)－

a2＋1；解：原式＝

a

(

a2－1)－(

a2－1)

＝

a

(

a

＋1)(

a

－1)－(

a

＋1)(

a

－1)

＝(

a

＋1)(

a

－1)2.(4)(

a

＋1)(

a

－1)－8.解：原式＝

a2－1－8

＝

a2－9

＝(

a

＋3)(

a

－3).12345678910111213141516171816.

(8分)利用因式分解简便计算：(1)1022＋102×196＋982；解：1022＋102×196＋982＝1022＋2×102×98＋982＝(102＋98)2＝2002

＝40

000.(2)17.82－2×17.8×7.8＋7.82.解：17.82－2×17.8×7.8＋7.82＝(17.8－7.8)2＝102＝100.1234