九年级数学上册《旋转的概念及性质》课件

28.1图形的旋转第１课时旋转的概念及性质第二十八章旋转R·九年级数学上册学习目标1.了解生活中广泛存在的旋转现象，知道旋转是继平移、对称之后的又一种基本变换.2.能结合图形指出什么是旋转中心、旋转角和对应点.3.体会旋转的形成过程，并探究旋转的性质．情境导入观察下列动画，生活中的这些现象有什么共同特点？思考：怎样来定义这种图形变换？探索新知若把指针、叶片、舵柄看作平面图形，这些图形都在平面内围绕着一个点O转动.OOO把一个平面图形绕着平面内__________转动__________，叫作___________.某一点O一个角度图形的旋转点O叫作___________.转动的角叫作___________.转动的方向分为_________和_________.如果图形上的点P经过旋转后变为点P′，那么这两个点叫作这个旋转的_________.旋转中心旋转角顺时针逆时针对应点1.举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角.牛刀小试【选自教材第93页练习第1题】解：现实生活中旋转的实例有很多，如：钟表上的时针、分针，它的旋转中心是时针、分针交叉的轴，旋转角是时针、分针转动前后形成的角度，又如电风扇，它的旋转中心是叶片交叉的轴，旋转角为某一个叶片转动前后之间的夹角.2.如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？【选自教材第93页练习第2题】解：杠杆的旋转中心是点O，旋转角是∠AOA'（或∠BOB'）.PQO3.如图，△OPQ围绕点O顺时针旋转60°至△OMN的位置，在这个旋转过程中：旋转中心是________；点P的对应点是______，点Q的对应点是______；线段PQ的对应线段是_________；∠OQP的对应角是________；∠POM的度数是_______.MN点O点M点N线段MN∠ONM60°归纳小结确定一次图形的旋转时，必须明确：旋转中心旋转方向旋转角【注意】旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心、旋转方向、旋转角”称为旋转的三要素.如图，利用以下方法或信息技术工具，将△ABC绕点O

旋转一个角度，得到△A′B′C′.（1）在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另扎一个小点O作为旋转中心.（2）硬纸板下面放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移开硬纸板.问题1：在图形的旋转过程中，线段OA与OA′，

OB与OB′，

OC与OC′的关系怎样？∠AOA′，∠BOB′与∠COC′呢？△ABC与△A′B′C′呢？问题2：旋转前后图形的形状和大小有影响吗？问题3：你能通过度量角的方法得出旋转角度吗？你准备度量哪个角？点击打开几何画板.gsp归纳小结旋转的性质对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′旋转前后，图形的形状、大小未发生变化.∠AOA′=∠BOB′=∠COC′△ABC≌△A′B′C′牛刀小试如图，男生坐在秋千上，秋千旋转了80°，在图中男生身上任意选一点P，利用旋转的性质，标出点P的对应点.（1）这两个点到旋转中心的距离有怎样的关系？（2）这两个点与旋转中心所连线段所成的角是多少度？PP′相等80°【选自教材第94页练习第3题】例1如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，若∠BCA′=100°，求∠B′CA的度数.A′B′CBA解：由旋转的性质可知，∠BCB′=

∠ACA′=35°.又因为∠BCB′+∠B′CA+∠ACA′=∠BCA′=

100°，所以∠B′CA=30°.变式训练如图，在△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（）A.∠ACB=∠ACD B.AC∥DEC.AB=EF D.BF⊥CED轴对称、平移、旋转的异同点：变换轴对称平移旋转不同点运动方式沿一条直线翻折沿某一方向移动绕某一点转动要素对称轴平移方向和平移距离旋转中心、旋转方向和旋转角对应点、对应线段的情况成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交，且其交点在对称轴上；对应点所连的线段被对称轴垂直平分对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等对应点到旋转中心的距离相等轴对称、平移、旋转的异同点：变换轴对称平移旋转相同同（1）都是在平面内进行的图形变换；（2）都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前后两个图形的对应线段相等，对应角相等；（3）都是一个已知图形变换后得到另一个图形.随堂练习1.如图，已知BC是等腰直角三角形ABC的斜边，D是△ABC内一点，连接AD，BD.若将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是（）A.25° B.30° C.35° D.45°D2.如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（）A.点A

B.点B

C.点C D.点DB

D4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转60°得到△DEC，连接BD，则BD的长是多少？ABCDEABCDEO

5.如图，△ABD，△AEC都是等边三角形.BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？试提出一个类似的问题.（提示：将等边三角形换成其他图形.）【选自教材第97页习题28.1第8题】解：BE=DC.理由如下：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°.∴以点A为旋转中心将△EAB顺时针旋转60°就得到△CAD.∴△EAB≌△CAD.∴BE=DC.问题：若△ABD，△AEC都是等腰直角三角形，∠DAB=∠EAC=90°.其中BE与DC有什么关系？课堂小结旋转定义性质三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角.1.对应点到旋转中心的距离相等；2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3.旋转前、后的图形全等.一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.[山东青岛中考]生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图

形但不是轴对称图形的是(

D

)D12345678910111213141516171819202.如图，用左边的三角形连续旋转可以得到右边的图形，那么每次至少

要旋转(

C

)A.60°B.90°C.120°D.150°第2题图C12345678910111213141516171819203.如图，在△

ABC

中，∠

BAC

＝100°，将△

ABC

绕点

A

逆时针旋转150°，得到△

ADE

，这时点

B

，

C

，

D

恰好在同一直线上，则∠

E

的度数为(

C

)A.50°B.75°C.65°D.60°第3题图C12345678910111213141516171819204.若点

A

(3－

m

，

n

＋2)关于原点的对称点

B

的坐标是(3，－2)，则

m

，

n

的值为(

C

)A.

m

＝－6，

n

＝－4B.

m

＝0，

n

＝6C.

m

＝6，

n

＝0D.

m

＝6，

n

＝－4C12345678910111213141516171819205.一个正多边形绕它的中心旋转40°后，就与原正多边形第一次重合，

那么这个正多边形(

A

)A.是轴对称图形，但不是中心对称图形B.是中心对称图形，但不是轴对称图形C.既是轴对称图形，又是中心对称图形D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形A12345678910111213141516171819206.如图，已知△

ABC

和△A'B'C'关于点

O

成中心对称，下列结论错误的

是(

D

)A.∠

ABC

＝∠

A

'

B

'

C

'B.∠

AOB

＝∠

A

'

OB

'C.

AB

＝

A

'

B

'D.

OA

＝

OB

'第6题图D12345678910111213141516171819207.如图，在等边三角形

ABC

中，

D

是边

AC

上一点，连接

BD

，将△

BCD

绕点

B

逆时针旋转60°得到△

BAE

，连接

ED

，若

BC

＝8，

BD

＝7，则△

AED

的周长是(

A

)A.15B.14C.13D.12第7题图A1234567891011121314151617181920【解析】∵将△

BCD

绕点

B

逆时针旋转60°得到△

BAE

，∴

BD

＝

BE

，∠

DBE

＝60°，

CD

＝

AE

.

∴△

DBE

是等边三角形.∴

DE

＝

BD

＝7.∴△

AED

的周长是

AE

＋

AD

＋

DE

＝

CD

＋

AD

＋

DE

＝

AC

＋

DE

＝8＋7＝15.12345678910111213141516171819208.[邯郸冀南新区期末]如图，在正方形网格中，

A

，

B

，

C

，

D

，

E

，

F

，

G

，

H

，

M

，

N

是网格线交点，△

ABC

与△

DEF

关于某点对

称，则其对称中心是(

C

)A.点

G

B.点

H

C.点

M

D.点

N

第8题图C12345678910111213141516171819209.如图，点

O

是边长为

a

的正方形

ABCD

的中心，将一块半径足够长，

圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在点

O

处，并将纸板绕圆心

O

旋转，

那么阴影部分的面积为(

D

)第9题图D1234567891011121314151617181920【解析】如图，设扇形的半径交

AD

于点

E

，交

CD

于点

F

，连接

OC

，

OD

，∵四边形

ABCD

为正方形，∴

OD

＝

OC

，∠

COD

＝90°，∠

ODA

＝∠

OCD

＝45°.∵∠

EOF

＝90°，即∠

EOD

＋∠

DOF

＝90°，∠

DOF

＋∠

FOC

＝90°，∴∠

EOD

＝∠

FOC

.

在△

ODE

和△

OCF

中，∵∠

ODE

＝∠

OCF

，

OD

＝

OC

，∠

EOD

＝∠

FOC

，∴△

ODE

≌△

OCF

(ASA).∴

S△

ODE

＝

S△

OCF

.

1234567891011121314151617181920

第10题图B1234567891011121314151617181920

∴如图1，当△

ABO

绕点

O

顺时针旋转90°后得到△

A1

B1

O

，

如图2，当△

ABO

绕点

O

逆时针旋转90°后得到△

A1

B1

O

，

123456789101112131415161718192011.有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着

“众”“志”“成”“城”四个字牌，如图，若将位于上下位置的两个字牌对

调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90°，

则完成一次变换.图1，图2分别表示第1次变换和第2次变换.按上述规则

完成第9次变换后“众”字位于转盘的位置是(

B

)A.上B.左C.右D.下B1234567891011121314151617181920【解析】根据题意可知，每一次变换后相当于逆时针旋转了90度，经过4次变换后会回到原始位置，所以按上述规则完成第9次变换后，“众”

字位于转盘的位置是第一次变换后的位置，即在左边，比较可得B选项

符合要求.123456789101112131415161718192012.如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝5，

BC

＝6，点

E

在

BC

边上，且

BE

＝2，

F

为

AB

边上的一个动点，连接

EF

，以

EF

为边作等边三角形

EFG

，且点

G

在矩形

ABCD

内，连接

CG

，则

CG

的最小值为(

C

)A.3B.2.5C.4C1234567891011121314151617181920【解析】如图，以

EC

为边作等边三角形

ECH

，过点

H

作

HN

⊥

BC

于

点

N

，

HM

⊥

AB

于点

M

，连接

FH

.

∵∠

ABC

＝90°，∴四边形

MHNB

是矩形.∴

MH

＝

BN

.

∵

BE

＝2，∴

EC

＝4.∵△

EHC

是等边三角形，

HN

⊥

EC

，∴

EH

＝

EC

＝4，

EN

＝

NC

＝2，∠

HEC

＝60°.1234567891011121314151617181920∴

BN

＝4＝

MH

.

∵△

EFG

是等边三角形，∴

FE

＝

GE

，∠

FEG

＝60°＝∠

HEC

.

∴∠

FEH

＝∠

GEC

.

∴△

FEH

≌△

GEC

(SAS).∴

FH

＝

GC

.

∴当

FH

⊥

AB

时，

FH

有最小值，即

GC

有最小值.∴当点

F

与点

M

重合时，

FH

＝

HM

＝4＝

GC

.

1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.在等腰直角三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形和正方

形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有

个.14.如图所示，图形①经过

变化成图形②，图形②经过

⁠

变化成图形③，图形③经过

变化成图形④.第14题图3

轴对称

平移

旋转

123456789101112131415161718192015.[湖南益阳中考]如图，在正方形

ABCD

中，

AB

＝4，

E

为

AB

的

中点，连接

DE

，将△

DAE

绕点

D

按逆时针方向旋转90°得到△

DCF

，

连接

EF

，则

EF

的长为

⁠.第15题图

1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192016.小明把一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，固定三角尺

ABC

，将另一块三角尺

DEF

绕公共顶点

B

顺时针旋转(旋转的度数不超过180°).若两块三角尺有一边平行，则三角尺

DEF

旋转的度数可能是

⁠.15°或45°或90°或135°

1234567891011121314151617181920【解析】设旋转的度数为α，如图1，若

DE

∥

AB

，则∠

E

＝∠

ABE

＝90°，∴α＝90°－30°－45°＝15°；如图2，若

BE

∥

AC

，则∠

ABE

＝180°－∠

A

＝120°，∴α＝120°－30°－45°＝45°；如图3，若

BD

∥

AC

，则∠

ACB

＝∠

CBD

＝90°，∴α＝90°；1234567891011121314151617181920如图4，当点

C

，

B

，

E

共线时，∵∠

ACB

＝∠

DEB

＝90°，∴

AC

∥

DE

.

∴α＝180°－45°＝135°.综上所述，三角尺

DEF

旋转的度数可能是15°或45°或90°或135°.1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.(8分)已知点

A

(－1，3

a

－1)与点

B

(2

b

＋1，－2)关于

x

轴对称，点

C

(

a

＋2，

b

)与点

D

关于原点对称.(1)求点

A

，

B

，

C

，

D

的坐标，并在如图所示的平面直角坐标系中描出这四个点；1234567891011121314151617181920解：(1)∵点

A

(－1，3

a

－1)与点

B

(2

b

＋1，－2)

关于

x

轴对称，∴2

b

＋1＝－1，3

a

－1＝2，解得

a

＝1，

b

＝－1.∴点

A

(－1，2)，

B

(－1，－2)，

C

(3，－1).∵点

C

(

a

＋2，

b

)与点

D

关于原点对称，∴点

D

(－3，1).描点如图所示，1234567891011121314151617181920(2)顺次连接点

A

，

D

，

B

，

C

，求所得图形的面积.

123456789101112131415161718192018.(8分)[廊坊期中]如图，△

ACE

是等腰直角三角形，∠

ACE

＝

90°，

AE

＝8，

B

为边

AE

上一点，连接

BC

，将△

ABC

绕点

C

旋转到△

EDC

的位置.(1)若∠

CDE

＝115°，求∠

ACB

的度数；解：(1)∵△

ACE

是等腰直角三角形，∠

ACE

＝90°，∴∠

CAE

＝∠

CEA

＝45°.由旋转的性质，可得∠

ABC

＝∠

EDC

＝115°，∴∠

ACB

＝180°－∠

CAB

－∠

ABC

＝20°.1234567891011121314151617181920(2)连接

BD

，求

BD

长度的最小值.解：(2)由旋转的性质，可得∠

CED

＝∠

CAB

＝45°，

AB

＝

DE

，∴∠

BED

＝∠

CEB

＋∠

CED

＝90°.设

AB

＝

DE

＝

x

，则

BE

＝

AE

－

AB

＝8－

x

，在Rt△

BED

中，由勾股定理得

BD2＝

BE2＋

DE2，∴

BD2＝

x2＋(8－

x

)2＝2

x2－16

x

＋64＝2(

x

－4)2＋32.∵2＞0，

123456789101112131415161718192019.(8分)在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系

xOy

，△

ABC

的三个顶点都在格点上，点

A

的坐标是(4，4)，请回答下列问题：(1)将△

ABC

向下平移6个单位长度，画出平移后的△

A1

B1

C1，并写出点

A

的对应点

A1的坐标；解：(1)如图，△

A1

B1

C1即为所求，点

A

的对应点

A1的坐标为(4，－2).1234567891011121314151617181920(2)画出△

ABC

关于原点

O

对称的△

A2

B2

C2，并写出点

A2的坐标；解：(2)如图，△

A2

B2

C2即为所求，点

A2的坐标为

(－4，－4).1234567891011121314151617181920(3)判断△

A1

B1

C1与△

A2

B2

C2是否关于某点成中心对称；若是，请画出

对称中心

M

，并写出点

M

的坐标.解：(3)△

A1

B1

C1与△

A2

B2

C2关于点

M

成中心对

称，

M

(0，－3).123456789101112131415161718192020.(8分)如图，某游乐场的摩天轮(圆形转盘)上的点距离地面的最大高

度为160米，转盘直径为153米，旋转一周约需30分钟.某人从该摩天轮

上到地面距离最近的点登舱，逆时针旋转20分钟时，他从登舱位置起旋

转了多少度？求此时他离地面的高度.1234567891011121314151617181920解：如图，设此人从点

A

处登舱，逆时针旋转20分钟后到达点

C

.

∵旋转一周约需30分钟，此人从该摩天轮上到地面距离最近的点登舱，

逆时针旋转20分钟，

∴∠

AOC

＝120°.过点

O

作

OE

⊥

CD

于点

E

，则四边形

BDEO

是矩形，

1234567891011121314151617181920在Rt△

OEC

中，

∴

CD

＝

CE

＋

DE

＝38.25