八年级数学上册《角的平分线的判定》课件

【R·数学八年级上册】第2课时角的平分线的判定学习目标探索并证明角的平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，感受互逆的数学思想，发展学生的推理能力和解题能力.情境导入如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置)？即求：∠AOB内是否存在一点到OA、OB的距离相等，且距离O点500m.转化AOB0200m探究新知交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等”

这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？知识点1角的平分线的判定CABODEP猜想：到角两边距离相等的点一定在角的平分线上已知：角的内部的一个点到这个角两边的距离相等.求证：验证这个点在这个角的平分线上.知识点1角的平分线的判定如图，P

为∠AOB

内部一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD=PE.求证：点P

在∠AOB

的平分线上.可以通过添加辅助线，构造三角形来证明.ABODEPC知识点1角的平分线的判定证明：如图，经过点P

作射线OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OP，PD=PE，∴△OPD≌△OPE（HL）∴∠AOC=∠BOCABODEPC∴点P

在∠AOB

的平分线上.如图，∵P

为∠AOB

内部一点，PD⊥OA

于点D，PE⊥OB

于点E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上，即OP

平分∠AOB.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.角的平分线的判定定理知识点2角的平分线的性质几何语言：ABODEPC位置关系数量关系归纳总结所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线1角的平分线的性质及判定的关系点在角的平分线上角的内部，点到角两边距离相等性质判定2角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.针对训练1.导入问题：在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？0200m答：集贸市场应建在S

区内，公路和铁路夹角的平分线上，具体位置如图中点P

所示.P针对训练2.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE

相交于点F，连接DF.求证：FD

平分∠BFE.教材P51练习第1题CABDEF针对训练教材P51练习第1题CABDEF证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD=∠CED=90°.在△ABD

和△CED

中，∠ADB=∠CDE，∠ABD=∠CED，AB=CE，∴△ABD≌△CED（AAS）∴BD=ED.又AB⊥CD，CE⊥AD，∴FD

平分∠BFE.知识点2三角形三条角平分线的关系例

如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等；△ABC

的三条角平分线交于一点.CABMNP点P

到边AB，BC

的距离相等，点P

到边AC，BC

的距离相等要证△ABC

的三条角平分线交于一点，只要证点P

也在∠A

的平分线上．CABMNP教材P51例题证明：(1)过点P

作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F.∵BM

是△ABC

的角平分线，点P

在BM

上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.EFDCABMNP教材P51例题(2)由(1)得，点P

到边AB，CA

的距离相等，∴点P

在∠A

的平分线上.∴△ABC

的三条角平分线交于一点.EFD知识点2三角形三条角平分线的关系三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等.三角形内部到三边距离相等的点是三条角平分线的交点.拓展探究到三角形三边所在直线距离相等的点一共有几个？4个P1P4P2P3三角形三个内角的平分线的交点P1；三角形一个内角与另外两个角的外角的平分线的交点P2，P3，P4.针对训练教材P51练习第2题如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG

是△ABC

的外角∠BCE

的平分线，BF，CG

相交于点P.求证：点P

到三边AB，BC，CA

所在直线的距离相等；点P

在∠A的平分线上.CABDEFGP针对训练教材P51练习第2题CABDEFGPJIH证明：(1)如图，过点P

分别作PJ，PI，PH

垂直于三边AB，BC，AC

所在的直线，垂足分别为J，I，H.∵BF

是∠CBD

的平分线，点P

在BF

上，∴PI=PJ.同理，PH=PI，∴PJ=PI=PH，即点P

到三边AB，BC，CA

所在直线的距离相等.针对训练教材P51练习第2题CABDEFGPJIH(2)由(1)知PH⊥AE，PJ⊥AD，且PH=PJ，∴点P

在∠A

的平分线上.提炼归纳角平分线的性质角平分线的判定图示已知条件结论OP平分∠AOBPD⊥OA于点DPE⊥OB于点EPD=PEPD⊥OA于点DPE⊥OB于点EPD=PEOP平分∠AOB随堂演练1.两块完全一样的直角三角板按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在△ABC

的边AB，AC

上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M

一定（）在∠A

的平分线上在AC

边的高上在AB

边的中线上以上都正确A

随堂演练2.

如图，O

是△ABC

内一点，且点

O

到三边

AB，AC，BC

的距离相等，即

OF

=

OE

=

OD，若∠BAC

=

100°，则∠BOC

的度数是（）A

A.140°

B.130°C.120°

D.110°BACODFE随堂演练3.如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别是5，7，9，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB:S△OAC:S△OBC=________.5：7：9BACO随堂演练4.如图，点D

在边BC

的延长线上，∠ABC

的平分线交AD

于点E，过点E

作EH⊥BD

于点H，∠CEH=62°，∠ACE

=28°.求证：AE

平分∠CAF.BACDFEH∵BE

平分∠ABC，∴EM=EH.∵∠ACE=28°，∠CEH=62°，∴∠HCE=90°–∠CEH

=90°–62°=28°=∠ACE.

∴EN=EH.∴EM=EN，∴AE

平分∠CAF．证明：如图，过点E

作EM⊥BF

于点M，

EN⊥AC

于点N.随堂演练BACDFEHNM课堂小结角平分线的判定内容作用结论角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等判断一个点是否在角的平分线上一、选择题

(共12题，每题3分，共36分)

1.

下列图形中与已知图形全等的是(

A

)A.

B.

C.

D.

2.

已知△

ABC

≌△

DEF

，∠

A

＝45°，∠

F

＝75°，则∠

B

的度数是

(

D

)A.

50°B.

120°C.

75°D.

60°AD12345678910111213141516171819203.

如图，已知图中的两个三角形全等，则图中∠α的度数是(

D

)

第3题图A.

72°B.

60°C.

78°D.

30°D12345678910111213141516171819204.

在△

ABC

中，把两个完全一样的直角三角尺按如图所示的位置摆

放，它们的一组对应直角边分别在

AB

，

AC

上，且这组对应边所对的

顶点重合于点

M

，则点

M

一定在(

C

)A.

AC

边的高上B.

AB

边的中线上C.

∠

A

的平分线上D.

BC

边的中线上第4题图C12345678910111213141516171819205.

如图，△

ACB

≌△A'CB'，∠

ACB

＝70°，∠ACB'＝100°，则

∠BCA'的度数为(

B

)A.

30°B.

40°C.

35°D.

50°B12345678910111213141516171819206.

如图，在四边形

ABCD

中，

AB

∥

CD

，将四边形

ABCD

沿对角线

AC

折叠，使点

B

落在点B'处.若∠1＝∠2＝44°，则∠

B

的度数为(

C

)A.

66°B.

104°C.

114°D.

124°C12345678910111213141516171819207.

如图，淇淇站在堤岸的点

A

处，正对他的

S

点停有一艘游艇，他想知

道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆

B

旁(直线

AC

与堤

岸平行)，接着再往前走相同的距离，到达

C

点，然后他向左转90°直

行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于

D

点，那

么

C

，

D

两点间的距离就是在

A

点处淇淇与游艇之间的距离.在这个问

题中，可作为证明△

ABS

≌△

CBD

的依据是(

C

)A.

SAS或SSSB.

AAS或SSSC.

ASA或AASD.

ASA或SAS第7题图C1234567891011121314151617181920

第7题图12345678910111213141516171819208.

如图，在四边形

ABCD

中，∠

BCD

＝90°，

BD

平分∠

ABC

，

AB

＝

6，

BC

＝9，

CD

＝4，则四边形

ABCD

的面积是(

A

)A.

30B.

24C.

36D.

42第8题图A1234567891011121314151617181920【解析】如图，过点

D

作

DH

⊥

AB

交

BA

的延长线于点

H

.

∵

BD

平分∠

ABC

，∠

BCD

＝90°，∴

DH

＝

CD

＝4.

第8题图12345678910111213141516171819209.

如图，△

ABE

和△

ADC

是△

ABC

分别沿着

AB

，

AC

边翻折形成

的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为(

A

)A.

80°B.

100°C.

60°D.

45°第9题图A1234567891011121314151617181920【解析】设∠3＝3

x

，则∠1＝28

x

，∠2＝5

x

.∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴28

x

＋5

x

＋3

x

＝180°，解得

x

＝5°.∴∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°.∵△

ABE

是△

ABC

沿着

AB

边翻折形成的，∴∠1＝∠

BAE

＝140°，∠

E

＝∠3＝15°.∴∠

EAC

＝360°－∠

BAE

－∠

BAC

＝360°－140°－140°＝80°.又∵△

ADC

是△

ABC

沿着

AC

边翻折形成的，∴∠

ACD

＝∠3＝∠

E

＝15°.而∠α＋∠

E

＝∠

EAC

＋∠

ACD

，∴∠α＝∠

EAC

＝80°.第9题图123456789101112131415161718192010.

如图，

AB

⊥

CD

，且

AB

＝

CD

，

E

，

F

是

AD

上两点，

CE

⊥

AD

，

BF

⊥

AD

，垂足分别为点

E

，

F

.

若

CE

＝

a

，

BF

＝

b

，

EF

＝

c

，则

AD

的长为(

D

)A.

a

＋

c

B.

b

＋

c

C.

a

－

b

＋

c

D.

a

＋

b

－

c

第10题图D1234567891011121314151617181920

第10题图123456789101112131415161718192011.

如图，

AP

平分∠

BAC

，点

M

，

N

分别在边

AB

，

AC

上，如果添加

一个条件，即可推出

AM

＝

AN

，那么下列条件中不正确的是(

A

)A.

PM

＝

PN

B.

∠

APM

＝∠

APN

C.

MN

⊥

AP

D.

∠

AMP

＝∠

ANP

第11题图A1234567891011121314151617181920【解析】∵

AP

平分∠

BAC

，∴∠

BAP

＝∠

CAP

.

A.

由∠

BAP

＝∠

CAP

，

PM

＝

PN

，

AP

＝

AP

，不能判定△

APM

≌△

APN

，∴不能推出

AM

＝

AN

，故选项A符合题意；B.

由∠

BAP

＝∠

CAP

，

AP

＝

AP

，∠

APM

＝∠

APN

，能判定△

APM

≌△

APN

(ASA)，∴

AM

＝

AN

，故选项B不符合题意；C.

∵

MN

⊥

AP

，∴∠

APM

＝∠

APN

＝90°.第11题图1234567891011121314151617181920又∵∠

BAP

＝∠

CAP

，

AP

＝

AP

，∴△

APM

≌△

APN

(ASA)，∴

AM

＝

AN

，故选项C不符合题意；D.

由∠

AMP

＝∠

ANP

，∠

BAP

＝∠

CAP

，

AP

＝

AP

，能判定△

APM

≌△

APN

(AAS)，∴

AM

＝

AN

，故选项D不符合题意.第11题图123456789101112131415161718192012.

如图，在四边形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，若∠

DAB

的平分线

AE

交

CD

于点

E

，连接

BE

，且

BE

平分∠

ABC

，则以下结论中不正确的有

(

A

)第12题图A

A.

0个B.

1个C.

2个D.

3个1234567891011121314151617181920

∴∠

AEB

＝180°－(∠

BAE

＋∠

ABE

)＝180°－90°＝90°，故

③正确；第12题图1234567891011121314151617181920∵∠

AEB

＝90°，∴

BE

⊥

AF

.

∵

BE

平分∠

ABC

，∴∠

ABE

＝∠

FBE

.

如图，延长

AE

交

BC

的延长线于点

F

.

第12题图∴△

ABE

≌△

FBE

(ASA).∴

AB

＝

BF

，

AE

＝

FE

.

∵

AD

∥

BC

，∴∠

EAD

＝∠

F

.

1234567891011121314151617181920

∴△

ADE

≌△

FCE

(ASA).∴

AD

＝

CF

.

∴

AB

＝

BF

＝

BC

＋

CF

＝

BC

＋

AD

，故①正确；∵△

ADE

≌△

FCE

，第12题图∴

CE

＝

DE

，即

E

为

CD

的中点，故②正确；∵△

ADE

≌△

FCE

，∴

S△

ADE

＝

S△

FCE

.

∴

S四边形

ABCD

＝

S△

ABF

.

1234567891011121314151617181920二、填空题

(共4题，每题3分，共12分)

13.

如图，点

B

，

E

，

C

，

F

在同一条直线上，若∠

B

＝∠

DEF

，

AB

＝

DE

，要用SAS证明△

ABC

≌

DEF

，则可以添加的条件是

⁠

⁠.BC

＝

EF

(或

BE

＝

CF

)

123456789101112131415161718192014.

如图，在△

ABC

中，∠

A

＝60°，将△

ABC

沿

DE

翻折后，点

A

落

在

BC

边上的点A'处，如果∠A'EC＝70°

，那么∠A'DE＝

⁠.65°

123456789101112131415161718192015.

如图，淇淇用10块高度都是2

cm的相同长方体小木块垒了两堵与地

面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角尺(

AC

＝

BC

，∠

ACB

＝90°)，点

C

在

DE

上，点

A

和点

B

分别与两堵木墙的顶

端重合，则两堵木墙之间的距离

DE

是

⁠.20

cm

123456789101112131415161718192016.

如图，在△

AOB

和△

COD

中，

OA

＝

OB

，

OC

＝

OD

，

OA

＜

OC

，∠

AOB

＝∠

COD

＝36°，连接

AC

，

BD

交于点

M

，连接

OM

，

过点

O

作

OE

⊥

AC

于点

E

，

OF

⊥

BD

于点

F

.

给出以下结论：①∠

AMB

＝36°；②

AC

＝

BD

；③

OE

＝

OF

；④∠

EOF

＝36°.其中正确

的结论有

(填序号).①②③④

1234567891011121314151617181920

1234567891011121314151617181920∴∠

OAC

＝∠

OBD

，

AC

＝

BD

.

故②正确；∵

OE

⊥

AC

，

OF

⊥

BD

，∴∠

OEA

＝∠

OFB

＝90°.又∵

OA

＝

OB

，∠

OAC

＝∠

OBD

，∴△

OAE

≌△

OBF

(AAS).∴

OE

＝

OF

，∠

AOE

＝∠

BOF

.

∴∠

AOE

－∠

BOE

＝∠

BOF

－∠

BOE

，即∠

AOB

＝∠

EOF

＝36°.故③④正确；1234567891011121314151617181920由三角形的外角性质，得∠

AMB

＋∠

OBD

＝∠

AOB

＋∠

OAC

，∴∠

AMB

＝∠

AOB

＝36°.故①正确.∴正确的结论有①②③④.1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.

(6分)如图，

AB

＝

AD

，∠

BAC

＝∠

DAC

＝25°，∠

D

＝80°.求

∠

BCA

的度数.

123456789101112131415161718192018.

(7分)如图，已知线段

AB

，

O

为

AB

的中点，点

C

在线段

OB

上(不与

点

O

，

B

重合)，将

OC

绕点

O

逆时针旋转一定角度后得到线段

OQ

，

OP

，且

OQ

⊥

QB

，

OP

⊥

AP

.

求证：

AP

＝

BQ

.

证明：∵

OP

⊥

AP

，

OQ

⊥

QB

，∴∠

P

＝∠

Q

＝90°.由题意知，

OA

＝

OB

，

OP

＝

OQ

＝

OC

，∴Rt△

APO

≌Rt△

BQO

(HL).∴

AP

＝

BQ

.

123456789101112131415161718192019.

(8分)[江苏无锡中考改编]如图，△

ABC

为锐角三角形.(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在

AC

右上方确定点

D

，使∠

DAC

＝∠

ACB

，且

AD

＝

BC

，连接

CD

(不写作法，保留作图痕迹)；解：(1)如图，点

D

即为所求.1234567891011121314151617181920(2)指出图中的平行线段，并说明理由.

123456789101112131415161718192020.

(9分)如图，在四边形

ABCD

中，

AC

平分∠

BAD

，

CE

⊥

AB

于点

E

.

(1)若

CE

＝2，则点

C

到

AD

的距离为

⁠；2

1234567891011121314151617181920

解：猜想：∠1＋∠2＝180°.理由：过点

C

作

CF

⊥

AD

交

AD

的延长线于点

F

，如图.∵

AC

平分∠

BAD

，∴∠3＝∠4.1234567891011121314151617181920∵

CE

⊥

AB

，

CF

⊥

AD

，∴

CF

＝

CE

，∠

CFA

＝∠

CEA

＝∠

CEB

＝90°.又∵

AC

＝

AC

，∴Rt△

ACF

≌Rt△

ACE

(HL).∴

AF

＝

AE

.

∴

EB

＝

DF

.

∴△

DFC

≌△

BEC

(SAS).1234567891011121314151617181920∴∠5＝∠2.∵∠1＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＝180°.12345678910