常微分方程 课件常微分方程的基本概念

第一章微分方程模型及其基本概念

第1节常微分方程模型

第2节常微分方程的基本概念第一章微分方程模型及其基本概念本节要求/Requirements/

能快速判断微分方程的类型；

掌握高阶微分方程及其初值问题的一般形式；

理解微分方程解的意义。例：

定义1：含有自变量，未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式，称之

为微分方程。一、常微分方程与偏微分方程/ODEandPDE/

1、RLC电路模型：2、数学摆模型：(有阻尼的)3、logistic人口模型：常微分方程/ODE/

在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程。偏微分方程/PDE/

自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。二、一阶与高阶微分方程/FirstandHigherODE/微分方程的阶/Order/：

在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。

当n=1时，称为一阶微分方程；当n>1时，称为高阶微分方程。例如：n阶隐式微分方程的一般形式可表示为：n阶显式微分方程的一般形式为：其中F

及f

分别是它所依赖的变元的已知函数。n阶微分方程的一般形式：特别地，一阶常微分方程的一般隐式形式可表示为：一阶常微分方程的一般显式形式可表示为：三、线性和非线性微分方程/LinearandNonlinearODE/如果n阶微分方程的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为线性微分方程，否则，称它为非线性微分方程。二阶线性微分方程一阶非线性微分方程例如：n阶线性微分方程的一般形式为：如：2阶线性方程的一般形式：其中均为的已知函数。RLC电路模型：数学摆模型：logistic人口模型：1、解和隐式解/Solution/对于n阶微分方程若将函数代入方程后使其有意义且两端成立，即则称函数为该方程的一个(显式)解.或如：一阶微分方程有解，即关系式

若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程的隐式解。把方程解和隐式解统称为方程的解。包含了方程的解。四、微分方程的解/SolutionsofODE/2、通解和特解/GeneralSolutionandSpecialSolution/称含有n个相互独立的任意常数的解为该微分方程的通解。而常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的特解。如：1、二阶微分方程的通解为.而是方程满足初始条件的解。对于n阶微分方程2、一阶方程的通解为.

说明：①微分方程的通解中所含独立常数的个数与方程的阶数相同；②通解中个任意常数相互独立

⇔存在点的某一领域，使得解的Jacobii行列式如：1、二阶微分方程的通解为.③一般的，通解不是方程的所有解，但线性微分方程的通解是方程的所有解。如：方程

有通解，但它还有特解，它不包含在通解中.④并非任一微分方程都有通解，如：

只有解，它没有通解。⑤常见的定解条件：初始条件和边界条件。五、初值条件/InitialValueConditions/对于n阶方程，其初值条件可表示为n阶方程初值问题（CauchyProblem）的表示说明：一阶和二阶方程初值问题（CauchyProblem）的表示：例1

质量为m的物体在重力的作用下，沿铅直线下落，物体下落距离S(向下为正）随

时间t而改变。在不考虑空气阻力的情况下，试求出距离S应满足的微分方程。

微分方程模型举例/ModelingofODE/解：设在时刻t物体下落的距离为，根据牛顿第二定律，有化简得，解之得，又因，故例2

放射性元素镭因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象成为衰变，实验知镭的衰变率与其当时的质量成比例。试求镭衰变的规律。

微分方程模型：含有自变量，未知函数及未知函数导数（或变化率）的关系式。解：设在任意时刻t镭的质量为M(t),则有1、积分曲线和积分曲线族/IntegralCurve(s)/一阶微分方程而微分方程的通解的解平面的一条曲线，我们称它为微分方程的积分曲线，表示表示平面的一族曲线，称它们为微分方程的积分曲线族。六、一阶ODE在几何上的几个概念2、方向场与等斜线在区域D上任意点处，以函数值为斜率作一方向(直线段)，则称区域D

若一阶微分方程右端的函数在

平面上的某区域D上有定义。连同在D上各点处的方向为微分方程的方向场(向量场)。方向场中方向相同的曲线称为等斜线。（k为参数）一阶常微分方程求解的几何意义是：在方向场中寻求一条曲线，使这条曲线上每一点切线的方向等于方向场中该点的方向。例3画出方程的方向场。解：等倾线方程为xyo七、微分方程组用两个或两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组.(1)一阶微分方程组的一般形式：其向量形式为其中注：方程组有类似前面定义的线性与非线性性、解与隐式解、通解与特解等概念.（2）阶微分方程与一阶微分方程组的转化对于阶微分方程则它可化为一阶微分方程组作变换：（3）驻定与非驻定方程组若方程组的右端不含自变量，则称之为驻定（自治）的方程组，即若右端含有自变量

的微分方程组，则称之为非驻定的（非自治的），即说明：非驻定方程组可以转化为

维空间

的驻定方程，引入新的时间变量

，使得，则非驻定方程组可以转化为如下驻定方程组：（4）动力系统八、相空间与奇点本