九年级数学上册《圆周角定理及其推论》课件

第二十九章圆R·九年级数学上册29.2圆的有关性质29.2.2圆周角第1课时圆周角定理及其推论学习目标1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.复习回顾O顶点在圆心的角叫作圆心角.ABC考考你：你能仿照圆心角的定义，给左图中像∠ACB这样的角下个定义吗？探索新知OABC顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角.牛刀小试1.下列图形中的角是圆周角的是（）C圆周角必须满足两个条件①顶点在圆上；②两边都与圆相交.探究：在圆上任取BC，画出圆心角∠BOC和圆周角∠BAC，它们之间是否存在一定的关系？AOBC先猜一猜，再用量角器量一量．猜想

问题1：圆心角与圆周角有几种位置关系？OBCAOCBAOBCA圆心O在∠BAC的内部圆心O在∠BAC的一边上圆心O在∠BAC的外部点击打开几何画板问题2：如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？OBCAOA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠C

点击打开几何画板OCBADOABDAOCD

点击打开几何画板OBCADOACDAOBD

点击打开几何画板圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

牛刀小试2.如图，AC，BC为☉O的弦，连接OA，OB，OC.若∠AOB=40°，∠OCA=30°，则∠BCO的度数为（）A.40° B.45°C.50° D.55°C问题3：AB所对的两个圆周角，∠ACB与∠ADB之间有什么关系？同弧所对的圆周角相等．问题4：AB=BC，∠ADB与∠BEC之间有什么关系？等弧所对的圆周角相等．想一想：若将“同弧或等弧所对的圆周角相等”中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论还成立吗？OCDBA一条弦所对应的圆周角有两类，所以结论不一定成立.圆周角定理的推论推论1同弧或等弧所对的圆周角相等.∵BC=BC，∴∠BAC=∠BDC.∵BC=DE，∴∠BAC=∠DFE.OBCADOBACDEF思考：反过来说结论成立吗？问题5：半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？所对应的圆心角为_____°，所对应的圆周角为_____°.AOBC1C2C318090圆周角定理的推论AOBC∵AB是⊙O的直径，∴∠BAC=90°.或∵∠BAC=90°，∴AB是⊙O的直径.推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.例3如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长.ABDOC解：如图，连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.

ABDOC∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD.∵在⊙O中，∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD，∴∠AOD=∠BOD.∴AD=BD.又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，

随堂练习1.判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由.解：(1)(2)(4)(5)中的角不是圆周角，(3)中的角是圆周角.理由：(1)(2)中的角的顶点不在圆上，(4)(5)中的角的两边至少有一条不与圆相交，(3)中的角的顶点在圆上，两边都与圆相交，故(3)中的角是圆周角.【选自教材第129页练习第1题】2.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，求证∠ACB=2∠BAC.【选自教材第130页练习第2题】

3.如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同学交流一下.解：根据“90°的圆周角所对的弦是直径”确定直径，而两直径的交点即是圆心.4.如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D.若☉O的半径为2，则CD的长为________.ABDOCE

课堂小结圆周角圆周角的定义：顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角.圆周角的定理及其推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论①同弧或等弧所对的圆周角相等.②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.如图，

B

，

C

是☉

O

上两点，且∠α＝96°，

A

是☉

O

上一个动点(不与

点

B

，

C

重合)，则∠

A

的度数为(

C

)A.48°B.132°C.48°或132°D.96°第1题图C1234567891011121314151617181920【解析】如图，在优弧

BC

上取一点A'，连接BA'，CA'，

∴∠A'＝48°.∵∠A'＋∠

A

＝180°，∴∠

A

＝132°.综上所述，∠

A

的度数为48°或132°.12345678910111213141516171819202.如图，在半径为5cm的☉

O

中，弦

AB

＝8cm，

OC

⊥

AB

于点

C

，则

OC

的长为(

A

)A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm第2题图A1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

OA

，则

OA

＝5cm.∵

OC

⊥

AB

，

在Rt△

OAC

中，

OA2＝

AC2＋

OC2，即52＝42＋

OC2，∴

OC

＝3cm(负值已舍去).12345678910111213141516171819203.如图，在☉

O

中，若∠

BOC

＝50°，则∠

BAC

的度数是(

C

)A.50°B.30°C.25°D.20°第3题图

C12345678910111213141516171819204.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过

A

，

B

，

C

三点，那么

这条圆弧所在圆的圆心是(

B

)A.点

P

B.点

Q

C.点

R

D.点

M

第4题图B1234567891011121314151617181920【解析】作线段

AB

的垂直平分线，作线段

BC

的垂直平分线，如图，它们都经过点

Q

，所以点

Q

是这条圆弧所在圆的圆心.12345678910111213141516171819205.如图，将一把透明三角尺放置在量角器上，使点

C

与圆心重合，若∠

ACB

＝90°，∠

A

＝30°.三角尺的直角边

BC

和量角器所在圆的半径相

等，

D

是斜边

AB

与量角器的交点，若点

B

对应的刻度为138°，则点

D

对应的刻度为(

C

)A.52°B.72°C.78°D.82°第5题图C1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

CD

.

∵∠

ACB

＝90°，∠

A

＝30°，∴∠

B

＝90°－30°＝60°.∵

CD

＝

BC

，∴△

BCD

是等边三角形.∴∠

BCD

＝60°.∵点

B

对应的刻度为138°，∴点

D

对应的刻度为138°－60°＝78°.12345678910111213141516171819206.当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是(

D

)A.直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形D12345678910111213141516171819207.如图，在边长为2的等边三角形

ABC

中，

D

是

BC

边上的中点，以点

A

为圆心，

AD

长为半径作圆与

AB

，

AC

分别交于

E

，

F

两点，则图中

阴影部分的面积为(

C

)第7题图C1234567891011121314151617181920

12345678910111213141516171819208.底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的

高为(

D

)A.5cmB.3cmC.8cmD.4cmD1234567891011121314151617181920【解析】设圆锥的母线为

xcm，

∵圆锥的底面直径为6cm，∴圆锥的底面半径为6÷2＝3(cm).如图，圆锥的底面半径

OB

，母线

AB

，高

OA

构成一个直角三角形，则

AB

＝5cm，

OB

＝3cm.

故圆锥的高是4cm.12345678910111213141516171819209.如图，☉

O

是△

ABC

的内切圆，

D

，

E

分别为边

AB

，

AC

上的点，且

DE

为☉

O

的切线，若△

ABC

的周长为25，

BC

的长是9，则△

ADE

的周

长是(

A

)A.7B.8C.9D.16第9题图A1234567891011121314151617181920【解析】如图，∵

AB

，

AC

，

BC

，

DE

都和☉

O

相切，∴

BI

＝

BG

，

CI

＝

CH

，

DG

＝

DF

，

EF

＝

EH

.

∴

BG

＋

CH

＝

BI

＋

CI

＝

BC

＝9.∴

C△

ADE

＝

AD

＋

DE

＋

AE

＝

AD

＋

DF

＋

EF

＋

AE

＝

AD

＋

DG

＋

EH

＋

AE

＝

AG

＋

AH

＝

C△

ABC

－(

BG

＋

CH

＋

BC

)＝25－2×9＝7.123456789101112131415161718192010.对于“过直线

l

外一点

A

作这条直线的垂线”的几何作图，甲、乙均设

计了自己尺规作图的过程：甲：①在直线

l

上取一点

B

，连接

AB

，如图；②作线段

AB

的垂直平分线

EF

，交

AB

于点

O

；③以点

O

为圆心，

OB

长为半径作圆，交直线

l

于点

G

；④作直线

AG

，直线

AG

即为所求作的直线.1234567891011121314151617181920乙：①在直线

l

上取点

B

和点

D

，连接

AB

，

AD

，如图；②以点

B

为圆心，

BA

长为半径作圆；③以点

D

为圆心，

DA

长为半径作圆，两圆相交于点

A

和点

M

；④作直线

AM

，直线

AM

就是所求的直线.对于以上作图过程(

D

)A.甲对B.乙对C.甲、乙均不对D.甲、乙均对D1234567891011121314151617181920【解析】对于甲，由作图可知，

O

为

AB

的中点，∴

AB

为☉

O

的直径.∵

G

为☉

O

上一点，∴∠

AGB

＝90°.∴

AG

⊥

BG

，即

AG

⊥

l

.故甲作法正确；对于乙，如图，连接

BM

，

DM

.

由作图，可知

BA

＝

BM

，

DA

＝

DM

，∴

B

，

D

在

AM

的中垂线上.∴

BD

⊥

AM

，即

AM

⊥

l

.故乙作法正确.123456789101112131415161718192011.如图，等边三角形

ABC

的边长为4，☉

A

的半径为2，

D

是

BC

边上的

动点，

DE

与☉

A

相切于点

E

，

DE

的最小值是(

C

)A.2D.3第11题图C1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

AE

，

AD

，作

AH

⊥

BC

于点

H

.

∵

DE

与☉

A

相切于点

E

，∴

AE

⊥

DE

.

∵☉

A

的半径为2，

∴当

AD

取最小值时，

DE

有最小值，而当点

D

与点

H

重合时，

AD

最小.∵等边三角形

ABC

的边长为4，∴

BH

＝

CH

＝2.

1234567891011121314151617181920

第12题图

A.嘉嘉对，淇淇错B.淇淇对，嘉淇错C.嘉嘉错，嘉淇错D.淇淇错，嘉淇对A1234567891011121314151617181920

∴

PM

＝

OP

－

OM

＝5－3＝2.∴点

P

到

AB

的距离为2，故嘉嘉对；

1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.如图，四边形

ABCD

内接于☉

O

，若四边形

ABCO

是平行四边形，

则∠

D

的度数为

⁠.第13题图60°

1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192014.正

n

边形的中心角为72°，则

n

＝

；正

n

边形的每一个内角

为

⁠.

【方法点拨】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角之和

为360°是解答本题的关键.5

123456789101112131415161718192015.如图，△

ABC

内接于☉

O

，

AD

是☉

O

的直径，∠

ABC

＝30°，则∠

CAD

＝

⁠°.第15题图60

【解析】∵

AD

是☉

O

的直径，∴∠

ACD

＝90°.∵∠

CDA

＝∠

ABC

＝30°，∴∠

CAD

＝90°－∠

CDA

＝60°.123456789101112131415161718192016.[石家庄外国语学校开学考试]如图，已知△

ABC

为等腰直角三

角形，∠

BAC

＝90°，

AC

＝2，以点

C

为圆心，1为半径作圆，

P

为☉

C

上一动点，连接

AP

，并绕点

A

顺时针旋转90°得到AP'，连接CP'，则

CP'的取值范围是

⁠.

第16题图1234567891011121314151617181920【解析】如图，连接

CP

，BP'，由题意，得∠PAP'＝90°，又∵∠

BAC

＝90°，∴∠

CAP

＋∠CAP'＝∠BAP'＋∠CAP'＝90°.∴∠

CAP

＝∠BAP'.

∴△

APC

≌△AP'B(SAS).1234567891011121314151617181920∴

PC

＝P'B＝1.∴点P'在以点

B

为圆心，1为半径的圆上.在等腰直角三角形

ABC

中，∵

AC

＝2，

1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.(6分)如图，一量角器所在圆的直径为10cm，其外缘有

A

，

B

两点，

其读数分别为71°和47°.(1)劣弧

AB

所对的圆心角的度数为

°；【解析】劣弧

AB

所对圆心角的度数为71°－47°＝24°.24

1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192018.(8分)如图，(1)请画出△

ABC

绕点

O

顺时针旋转90°后得到的△

A1

B1

C1；解：(1)如图，△

A1

B1

C1即为所作.1234567891011121314151617181920(2)求出(1)中点

C

旋转到点

C1所经过的路径长(结果保留π).

123456789101112131415161718192019.(8分)如图，

AC

，

BD

是☉

O

的切线，

C

，

D

为切点，连接

AB

.

(1)若

AB

与☉

O

相切于点

E

，求证：

AC

＋

BD

＝

AB

；证明：(1)∵

AB

与☉

O

相切于点

E

，且

AC

，

BD

是☉

O

的切线，

C

，

D

为切点，∴

AE

＝

AC

，

BE

＝

BD

.

∵

AB

＝

AE

＋

BE

，∴

AC

＋

BD

＝

AB

.

1234567891011121314151617181920(2)若

AC

＋

BD

＝

AB

，求证：

AB

与☉

O

相切.证明：(2)如答图，延长

AC

到点

F

，使得

CF

＝

BD

，连接

AO

，过点

O

作

OG

⊥

AB

，垂足为

G

，连

接

OB

，

OD

，

OC

，

OF

.

∵

CF

＝

BD

，

AC

＋

BD

＝

AB

，∴

AB

＝

AC

＋

CF

＝

AF

.

∵

AC

，

BD

是☉

O

的切线，

C

，

D

为切点，∴∠

BDO

＝∠

FCO

＝90°，

OC

＝

OD

.

1234567891011121314151617181920∴△

BDO

≌△

FCO

(SAS).∴

OB

＝

OF

.

又∵

AF

＝

AB

，

AO

＝

AO

，∴△

ABO

≌△

AFO

(SSS).∴∠

BAO

＝∠

FAO

，即

AO

平分∠

BAC

.

又∵

OG

⊥

AB

，

OC

⊥

AC

，∴

OG

＝

OC

.

∴

AB

与☉

O

相切.123456789101112131415161718192020.(8分)如图，

AB

为☉

O

的直径，弦

CD

⊥

AB

于点

F

，

OE

⊥

AC

于点

E

，若

OE

＝3，

OB

＝5，求

OF

的长.解：如图，连接

OC

.

∵

AB

⊥

CD

，

OE

⊥

AC

，∴

CF

＝

FD

，

AE

＝

EC

.

∵

OE

＝3，

OB

＝5，∴

OB

＝

OC

＝

OA

＝5.

∴

AE

＝

EC

＝4.1234567891011121314151617181920∴

AC

＝8.设

OF

＝

x

，则

AF

＝5＋

x

.在Rt△

CAF

中，

CF2＝

AC2－

AF2，在Rt△

OFC

中，

CF2＝

OC2－

OF2，∴

AC2－

AF2＝

OC2－

OF2.∴82