九年级数学上册《数字问题与几何图形问题》课件

25.3实际问题与一元二次方程第1课时数字问题与几何图形问题第二十五章一元二次方程R·九年级数学上册学习目标1.掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤.2.掌握数字、图形面积等问题的常见应用题解法.3.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型．复习回顾以前，我们列方程（一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程）解决实际问题的一般步骤是什么？1.审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系；2.设：设未知数；3.列：根据等量关系列出方程；4.解：解方程；5.验：检验解在实际问题中是否有意义；6.答：写出实际问题的答案.探索新知例1是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数.由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2.解方程，得x1=3，x2=–1（不符合题意，舍去）.因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.解决数字问题的关键是用代数式表示出其他数，设未知数时通常采用间接设元法，即设这个数为x，然后将其他数用含x的代数式表示出来，最后根据题中的数量关系列方程.知识要点牛刀小试1.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.分析：设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为5–x.十位数字个位数字这个两位数原两位数5–xx10(5–x)+x新两位数x5–x10x+(5–x)等量关系：所得的新数与原来的两位数乘积为736.解：设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为5–x.依题意，得[10x+(5–x)][10(5–x)+x]=736.解得x1=2，x2=3.当x=2时，5–x=3；当x=3时，5–x=2.所以原来的两位数是23或32.牛刀小试1.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.分析：假设细绳能围成面积为96m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.设矩形一边长为xm，由周长为40m，可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.例2用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？例2用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？解：设矩形的一边长为xm，由矩形的周长为40m，可得此边的邻边长为(20–x)m；再由矩形的面积为96m2，得x(20–x)=96.解方程，得x1=12，x2=8.方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？因此，用一根长为40m的细绳可以围成面积为96m2

的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8m，12m.

解：设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10–x)m.由矩形的周长为40m，得

解方程，得x1=12，x2=8.由矩形的面积为96m2，得(10+x)(10–x)=40.解方程，得x1=2，x2=–2.当x=2时，边长为10+2=12m，10–2=8m；当x=–2时，边长为10–2=8m，10+2=12m.比较这些设法，说说它们各自的特点.

由矩形的周长为40m，得

解方程，得x1=12，x2=8.解：设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10–x)m.由矩形的面积为96m2，得(10+x)(10–x)=40.解方程，得x1=2，x2=–2.当x=2时，边长为10+2=12m，10–2=8m；当x=–2时，边长为10–2=8m，10+2=12m.直接利用面积关系表示邻边，方程会出现分式，需要去分母化为整式方程，步骤稍多.利用“和为定值”设未知数，直接用平方差公式，方程非常简洁，计算量小，能快速得到结果.知识要点1.利用一元二次方程解决规则图形问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；2.根据条件灵活选择设元方式，优先用能简化运算的技巧，同时保证解的合理性验证.牛刀小试2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300m2时，求AB的长．解：设AB长为xm，则BC长为(50–2x)m.根据题意，得x(50–2x)=300.解方程，得x1=10，x2=15.当x=10时，AD=BC=50–2x=30>25，不合题意，所以x=10应该舍去．当x=15时，AD=BC=50–2x=20<25，所以x=15满足条件．答：AB的长为15m.随堂练习1.怎样用一根长为40m的细绳围成一个面积为75m2的矩形区域？能围成一个面积为101m2

的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由.解：设矩形的长为xm，宽为(20–x)m.当矩形面积为75m2时，x(20–x)=75，解方程，得x1=15，x2=5（不合题意，舍去）.所以，矩形的长为15m，宽为5m时，面积为75m2.当矩形面积为101m2时，x(20–x)=101，因为此方程无实数根，所以，不能围成面积为101m2的矩形区域.【选自教材第21页练习第1题】

2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，DC=4，AB

上是否存在点E，使得∠DEC为直角.【选自教材第21页练习第2题】3.广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章.现需将长为3m、宽为2m的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示.设边饰的宽度为xm.（1）请用含x

的式子分别表示挂画的长和宽；解：由图可知挂画的长为(3+2x)m，宽为(2+2x)m.3.广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章.现需将长为3m、宽为2m的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示.设边饰的宽度为xm.（2）若整幅挂画的面积是12m2，求锦缎边饰的宽度.解：由题意，得(3+2x)(2+2x)=12.解得x1=0.5，x2=–3（不符合题意，舍去）.答：锦缎边饰的宽度为0.5m.4.如图，在宽为20m、长为32m

的矩形地面上修筑等宽的道路（图中黄色部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽.解：设道路的宽为xm.平移转化由题意得(20–x)(32–x)=540，解得x1=50（不符合题意，舍去），x2=2.答：道路的宽为2m.5.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.当点P停止运动时，点Q的运动也随之停止.P，Q两点出发几秒时，点P

和点Q之间的距离是10cm？ADBCPQADBCPQ

E一、选择题(共12题，每题3分，共36分)1.下列方程是一元二次方程的是(

C

)B.

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

，

b

，

c

均为常数)C.(2

x

－1)(3

x

＋2)＝5D.(2

x

＋1)2＝4

x2－3C1234567891011121314151617181920

A.3B.－3C.±3D.无法确定【解析】由题意，得

m

－3≠0，

m2－7＝2，解得

m

＝－3.B12345678910111213141516171819203.若

m

，

n

分别是一元二次方程

x2－4

x

＋1＝0的两个根，则

m2－3

m

＋

n

的值为(

A

)A.3B.4C.5D.6【解析】∵

m

，

n

分别是一元二次方程

x2－4

x

＋1＝0的两个根，∴

m2－4

m

＋1＝0，

m

＋

n

＝4.∴

m2－4

m

＝－1.∴

m2－3

m

＋

n

＝

m2－4

m

＋

m

＋

n

＝－1＋4＝3.A12345678910111213141516171819204.方程

x2－4

x

＝7的根的情况是(

C

)A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.有一个实数根5.将

x2－6

x

－4＝0进行配方变形，下列正确的是(

C

)A.(

x

－6)2＝13B.(

x

－6)2＝9C.(

x

－3)2＝13D.(

x

－3)2＝9CC12345678910111213141516171819206.如果关于

x

的一元二次方程(

m

－3)

x2＋3

x

＋

m2－9＝0有一个解是0，

那么

m

的值是(

B

)A.3B.－3C.±3D.0或－3B12345678910111213141516171819207.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月

份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为

x

，则根据

题意可列方程(

D

)A.50(1＋

x

)2＝175B.50＋50(1＋

x

)2＝175C.50(1＋

x

)＋50(1＋

x

)2＝175D.50＋50(1＋

x

)＋50(1＋

x

)2＝175D12345678910111213141516171819208.已知

a

是一元二次方程

x2－

x

－1＝0较大的根，则下列对

a

的值估计

正确的是(

B

)A.2＜

a

＜3B.1.5＜

a

＜2C.1＜

a

＜1.5D.0＜

a

＜1B1234567891011121314151617181920

1234567891011121314151617181920

A.10B123456789101112131415161718192010.小刚在解关于

x

的方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0)时，只抄对了

a

＝2，

c

＝1，解出其中一个根是

x

＝1.他核对时发现所抄的

b

值比原方程的

b

值

小1，则原方程的根的情况是(

A

)A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有另一个根是

x

＝－1D.有两个相等的实数根

A1234567891011121314151617181920

123456789101112131415161718192011.若关于

x

的一元二次方程

nx2－2

x

－1＝0无实数根，则一次函数

y

＝

(

n

＋1)

x

－

n

＋1的图象不经过(

C

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵关于

x

的一元二次方程

nx2－2

x

－1＝0无实数根，∴Δ＝4＋4

n

＜0，解得

n

＜－1，则－

n

＞1.此时

n

＋1＜0，－

n

＋1＞2，故一次函数

y

＝(

n

＋1)

x

－

n

＋1的图象不经过第三象限.C123456789101112131415161718192012.已知2是关于

x

的方程

x2－(5＋

m

)

x

＋5

m

＝0的一个根，并且这个方

程的两个根恰好是等腰三角形

ABC

的两条边长，则△

ABC

的周长为

(

B

)A.9B.12C.9或12D.6或12或15B1234567891011121314151617181920【解析】把

x

＝2代入方程

x2－(5＋

m

)

x

＋5

m

＝0，得4－2(5＋

m

)＋5

m

＝0，解得

m

＝2.方程可整理为

x2－7

x

＋10＝0，解得

x1＝2，

x2＝5.∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形

ABC

的两条边长，∴等腰三角形

ABC

的腰长为5，底边长为2.∴三角形

ABC

的周长为5＋5＋2＝12.1234567891011121314151617181920二、填空题(共4题，每题3分，共12分)13.一元二次方程3

x

(

x

－2)＝－4的一般形式是

⁠.14.若关于

x

的一元二次方程

kx2－

x

＋1＝0有实数根，则

k

可取的最大

整数值为

⁠.3

x2－6

x

＋4＝0

－1

123456789101112131415161718192015.为增强学生体质，培养学生正确的体育思想和团队意识，2024年初

某市开展了“篮球进园”活动.近日，该市篮球协会要组织初中学校的篮

球队进行一次联赛，要求每两队之间进行一场比赛，计划安排6天，每

天比赛6场，则参加比赛的球队数是

⁠.

解得

x1＝9，

x2＝－8(不符合题意，舍去).则参加比赛的球队数是9.9

1234567891011121314151617181920

x

＝－1

x1＝1，

x2＝－3

1234567891011121314151617181920三、解答题(共52分)17.(每题3分，共12分)解方程：(1)(2

x

＋3)2－25＝0；解：(1)(2

x

＋3)2－25＝0.移项，得(2

x

＋3)2＝25.∴2

x

＋3＝5或2

x

＋3＝－5.解得

x1＝1，

x2＝－4.1234567891011121314151617181920(2)2

x2－7

x

－2＝0；

1234567891011121314151617181920(3)(

x

＋2)2＝3(

x

＋2)；

解：(3)(

x

＋2)2＝3(

x

＋2).移项，得(

x

＋2)2－3(

x

＋2)＝0.因式分解，得(

x

＋2)(

x

＋2－3)＝0.∴

x

＋2＝0或

x

＋2－3＝0.解得

x1＝－2，

x2＝1.1234567891011121314151617181920(4)

x2－2

x

－3＝0.解：(4)

x2－2

x

－3＝0.移项，得

x2－2

x

＝3.配方，得

x2－2

x

＋1＝3＋1，即(

x

－1)2＝4.∴

x

－1＝2或

x

－1＝－2.解得

x1＝3，

x2＝－1.123456789101112131415161718192018.(6分)下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的

任务.解：2

x2＋4

x

－8＝0.二次项系数化为1，得

x2＋2

x

－4＝0.…第一步移项，得

x2＋2

x

＝4.…第二步配方，得

x2＋2

x

＋4＝4＋4，即(

x

＋2)2＝8.…第三步

(1)小明解题过程中，从第

⁠步开始出现错误；三

1234567891011121314151617181920(2)请给出正确的解题过程.

123456789101112131415161718192019.(8分)已知关于

x

的一元二次方程

x2＋2

x

－(

m

－2)＝0有实数根.(1)求

m

的取值范围；解：(1)∵关于

x

的一元二次方程

x2＋2

x

－(

m

－2)＝0有实数根，∴Δ＝

b2－4

ac

＝22－4×1×[－(

m

－2)]＝4

m

－4≥0，解得

m

≥1.(2)若方程有一个根为

x

＝1，求

m

的值及另一个根.解：(2)将

x

＝1代入原方程，得1＋2－(

m

－2)＝0，解得

m

＝5.∴原方程为

x2＋2

x

－3＝(

x

－1)(

x

＋3)＝0，解得

x1＝1，

x2＝－3，∴

m

的值为5，方程的另一个根为

x

＝－3.123456789101112131415161718192020.(8分)如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝21cm，

BC

＝8cm，动点

E

从

点

A

出发，以3cm/s的速度沿

AB

向点

B

运动，动点

F

从点

C

出发，以2

cm/s的速度沿着

CD

向点

D

运动，当点

E

到达点

B

时，点

E

，

F

同时停

止.则

EF

的长为10cm时点

E

的运动时间是多少秒？1234567891011121314151617181920解：如图所示，过点

E

作

EM

⊥

CD

于点

M

，由题意知，当运动时间为

t

秒时，

AE

＝3

t

，

CF

＝2

t

，

EM

＝

BC

＝8，∴

MF

＝

AB

－

AE

－

CF

＝21－5

t

.根据勾股定理，得

MF2＋

ME2＝

EF2，即(21－5

t

)2＋82＝102，整理，得5

t2－42

t

＋81＝0.

123456789101112131415161718192021.(8分)课本再现人教版初中数学教科书九年级上册第23页数学活动对三角点阵中前

n

行

的点数计算进行了探究.如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多

行，其中第1行有一个点，第2行有两个点……第

n

行有

n

个点……小明同学发现，前2行的点数和是1＋2＝3，前3行的点数和是1＋2＋3＝

6，前4行的点数和是1＋2＋3＋4＝10……前

n

行的点数和是1＋2＋3＋4

＋5＋…＋

n

，他有点疑惑，能不能用含

n

的式子把1＋2＋3＋4＋5＋…

＋

n

表示出来.2122小明同学通过阅读课本知道了答案，但他仍在问自己这个结果是