工程力学 第2版 课件 第13章-超静定结构的受力分析

1超静定结构的受力分析

第十三章13-1简单超静定问题§13-2常见结构的超静定问题2超静定结构的受力分析

第十三章

仅用平衡方程不能求解出全部未知量（约束力或内力）,则所研究的问题是超静定问题。这类结构是超静定结构。

求解超静定问题，需寻找实用方程，与平衡方程联立求解，该实用方程称为补充方程。变形协调关系（几何方程）

n次超静定需建立n个补充方程，亦需n个几何方程.

补充方程的个数与超静定次数相同.

＋力与变形的关系（物理方程）

超静定问题依据未知量的性质分为三类：

外力超静定、内力超静定和混合超静定。

求解超静定问题的方法——变形比较法3

求解超静定问题的方法——变形比较法13-1简单超静定问题△变形比较:是指将超静定问题转化成静定问题，并保证两者变形完全一致时，转化处的位移应满足的约束条件。

采用变形比较法求解简单超静定问题的过程如下：（1）画受力图，建立静力平衡方程（判断超静定次数）；（2）超静定问题转化为静定问题，画位移图，辅助判断变形协调关系，进行变形比较，列出几何方程，将物理方程代入几何方程，

得到补充方程；（3）联立静力平衡方程和补充方程求解。

2图+3方程受力图位移图平衡方程几何方程物理方程补充方程联立方程求解4一、拉压杆的超静定问题物理方程：变形比较的是？杆的伸长或缩短例题12-1图示超静定桁架，设杆1与杆2的杆长、横截面面积、弹性模量均相同，即l1=l2，A1=A2，E1=E2，杆3的长度、横截面面积、弹性模量分别为l3、A3、E3，试求各杆的轴力。AααFααFA123BCDααFA12BCFN3解：（1）节点A受力分析，

列平衡方程。属于一次内力超静定.(2）变形分析，建立几何方程。(3）列物理方程(4）解方程组，得三杆轴力：A′5一、拉压杆的超静定问题例题12-1图示超静定桁架，试求各杆的轴力。（5）求解过程与结论分析由几何方程、物理方程得补充方程：平衡方程解方程组（1）（2）得三杆轴力：ααFA123BCD（1）三杆轴力均为正值，与受力假设一致，说明各杆轴力均为拉力；（2）三杆轴力的分配与刚度占比有关，杆的刚度越大，

内力也随之增大，这是超静定结构的特点之一。6例题13-2.图所示钢筋混凝土立柱，柱的横截面面积400mm×400mm，长为l，承受轴向压力F。已知四根钢筋直径均为d=28mm，钢筋与混凝土的弹性模量之比为E1/E2=10，试求钢筋与混凝土各分担的荷载

FN1和FN2。aadF刚性板解：（1）平衡方程

截面法取柱的上部分，同一截面上钢筋、混凝土分配的轴力分别为FN1和

FN2。FFN1FN2显然，属于一次内力超静定问题。（2）几何方程（3）物理方程联立方程求解得:整理得:一、拉压杆的超静定问题(4)思考：为什么钢筋分担的荷载比混凝土分担的荷载小？提示：分析其刚度的大小。7二、扭转轴的超静定问题物理方程：变形比较的是？轴的扭转角

例题12-3图示超静定扭转轴，轴的A、B两端固定，截面C处受矩为Me的扭转外力偶作用，已知轴的扭转刚度为GIP，试求两固定端的约束力偶矩MA和MB

。MeABCMBMAABCMeabABCMeMB解：（1）平衡方程

取轴为研究对象，画受力图，列平衡方程。轴两端约束力偶分别为

MA和

MB。显然，属于一次外力超静定问题。（2）几何方程（3）物理方程补充方程联立求解（1）（2）得轴端处的约束力偶：8TABO

思考：图示受扭圆轴,由实心杆1和空心杆2紧配合而成。整个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出切应力沿水平直径的变化图，已知两轴材料不同，G1=2G2。超静定问题二、扭转轴的超静定问题T2T19三、弯曲梁的超静定问题物理方程？变形比较的是？梁的挠度与转角积分或叠加法求得lABq例题12-4AB梁受均布荷载作用，一端固定、一端铰支支，如图所示。设梁的弯曲刚度为EI，试求梁的支座约束力。FBMAFAyqFBqAB解：（1）平衡方程

取梁为研究对象，画受力图，列平衡方程。显然，属于一次外力超静定问题。（2）几何方程（3）物理方程

叠加法查表知：联立方程求解得:查表得10由平衡方程得：三、弯曲梁的超静定问题（4）求解过程与结论分析叠加法求挠度wBFBqABqABwBFFBABMAFAy代以与其相应的多余力偶MA

得相当系统。变形相容条件为请同学们自行完成！取支座A处阻止梁转动的约束为多余约束。三、弯曲梁的超静定问题lBAq（5）思考：将图示梁转化成静定问题的方法是唯一的吗？FBqABqABMA1112简单超静定问题小结1.基本变形下的简单超静定问题，通常都是以支座约束力或内力作为未知量的；2.基本变形的计算公式均可由前面章节得到，

不同的基本变形，其物理方程也不同。3.解题思路画受力图列静力平衡方程列几何方程建立补充方程列物理方程解联立方程求出全部未知力分析静定或超静定转化静定问题画变形关系图1313-2常见结构的超静定问题

采用变形比较法求解常见结构的超静定问题的过程如下：（1）受力分析，判断超静定次数；（2）解除多余约束（或内力），得静定系。在解除约束处加多余未知力，得相当系统。进行变形比较，列出几何方程；（3）采用能量法（莫尔定理）计算位移，建立物理方程；（4）将物理方程代入几何方程，得补充方程，使补充方程成为一组格式

规范的线性方程组，称之为力法的正则方程；（5）求解正则方程，得待求的一组未知力。

1413-2常见结构的超静定问题例题12-5试求图示梁B处的支座约束力。

已知弯曲刚度EI为常数。（不计剪力的影响）FCABl/2l/2F

CABX

解：（1）确定超静定次数

取梁为研究对象，受力分析：共有4个约束力，独立的平衡方程数为3个，故属一次超静定。（2）解除B处约束，得静定系。

用广义力X代替B处的约束力，得相当系统。由叠加原理，得B处的位移：用δ表示单位力引起的位移，对线弹性体，力与位移成正比，则有：令δij、

△ij中下标i表示产生位移的位置码，下标j表示引起位移的荷载码。（3）建立正则方程——几何方程1513-2常见结构的超静定问题例题12-5试求图示梁B处的支座约束力。

已知弯曲刚度EI为常数。（不计剪力的影响）FCABl/2l/2F

CABX

解：（4）计算位移

——莫尔定理（能量法）F

CAB1

单位力作用下的弯矩方程：荷载F作用下的弯矩方程：由单位荷载法计算各位移，得：1613-2常见结构的超静定问题例题