2022年全国高考乙卷数学(理)真题及答案

2022年全国高考乙卷数学(理)真题及答案考试时间：120分钟满分：100分一、单选题1.在函数f(x)=x²-4x+3中，若f(x)的图像与x轴有两个交点，则该函数的图像对应的抛物线的开口方向是：A.向上开口B.向下开口C.水平开口D.垂直开口A.1B.2C.3D.4A.(3,2)B.(2,3)C.(-3,-2)D.(-2,-3)A.0B.1C.无穷大D.不存在5.已知函数f(x)=ln(x+1)-鈭?x)，若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则实数x的取值范围是：A.x>0B.x≥0C.x>-1D.x≥-1A.k²+b²=1B.k²+b²=4C.k²+b²=9D.k²+b²=16A.a=0B.b=0C.a²+b²=1D.a²+b²=4A.相交B.相切C.相离D.重合A.x>1B.x≥1C.x>0D.x≥0A.k²+b²=4B.k²+b²=16C.k²+b²=9D.k²+b²=1二、多选题1.下列函数中，哪些函数的图像关于y轴对称？A.y=x²B.y=|x|C.y=x³D.y=x⁴2.已知函数f(x)=ax²+bx+c，若f(1)=2，f(-1)=0，f(2)=4，则下列哪个选项是正确的？A.a=1,b=1,c=1B.a=1,b=-1,c=1C.a=1,b=1,c=2D.a=1,b=-1,c=2a+b+c=2a-b+c=04a+2b+c=4A.19B.20C.21D.22A.圆心坐标为(2,3)，半径为1B.圆心坐标为(2,3)，半径为2C.圆心坐标为(4,6)，半径为1D.圆心坐标为(4,6)，半径为2A.定义域为(-1,+∞)，值域为(-∞,+∞)B.定义域为(-1,+∞)，值域为(0,+∞)C.定义域为(-∞,-1)，值域为(-∞,+∞)D.定义域为(-∞,-1)，值域为(0,+∞)A.162B.243C.729D.2187A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4A.单调递增区间为(-∞,0)B.单调递增区间为(0,+∞)C.单调递减区间为(-∞,0)D.单调递减区间为(0,+∞)A.最大值为√2，最小值为-√2B.最大值为2，最小值为-2C.最大值为1，最小值为-1D.最大值为√2，最小值为-√2A.交点为(2,0)B.交点为(0,4)C.交点为(2,4)D.交点为(0,0)三、填空题1.在2022年全国高考乙卷数学(理)中，若函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(1,-2)，则a的取值范围是______。2.若等差数列an的前n项和为Sn，且S5=20，S10=70，则数列的公差d为______。3.在2022年全国高考乙卷数学(理)中，若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部为______。4.若函数f(x)=log₂(x+1)在区间[0,2]上单调递增，则实数x的取值范围是______。5.在2022年全国高考乙卷数学(理)中，若等比数列an的首项a1=2，公比q=3，则数列的前5项和S5为______。6.若函数f(x)=x²-4x+4在区间[1,3]上的最大值为______。7.在2022年全国高考乙卷数学(理)中，若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的虚部为______。8.若函数f(x)=log₃(x-1)在区间[2,4]上单调递减，则实数x的取值范围是______。9.在2022年全国高考乙卷数学(理)中，若等差数列an的前n项和为Sn，且S5=20，S10=70，则数列的首项a1为______。10.若函数f(x)=x³-3x²+4x-2在区间[-1,2]上的最小值为______。四、计算题1.已知函数f(x)=x²-4/x-2，求函数的定义域和值域，并判断其在定义域内的单调性。该函数是一个分式函数，分母为x-2，因此首先需要确定分母不为零，即x≠2，所以定义域为xinmathbbRsetminus2。接下来，将分子x²-4分解为(x-2)(x+2)，可以发现分子和分母有公因式x-2，因此函数可以简化为f(x)=x+2，但需注意在x=2处函数无定义。简化后的函数f(x)=x+2是一个一次函数，其斜率为正，因此在定义域内单调递增。然而，由于x=2处函数无定义，因此值域中不包含f(2)=4，即值域为yinmathbbRsetminus4。但根据原函数的表达式，当x接近2时，f(x)的值会趋近于4，因此值域为yinmathbbRsetminus0是不准确的。实际上，原函数在x≠2时可以简化为x+2，因此其值域为yinmathbbRsetminus4。因此，参考答案中值域部分存在错误，应为yinmathbbRsetminus4。函数在定义域内单调递增，但需注意在x=2处的间断点。2.已知等差数列an的前n项和为Sn=3n²+2n，求该数列的首项a₁和公差d。等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(2a1+(n-1)d)。题目给出的前n项和为S_n=3n²+2n，将其与标准公式对比：$$n/2(2a₁+(n-1)d)=3n²+2n$$两边同时乘以2得：$$n(2a₁+(n-1)d)=6n²+4n$$展开左边：$$2a₁n+(n-1)dn=6n²+4n$$$$2a₁n+dn²-dn=6n²+4n$$将等式两边的项按n²、n分类：-n²项：dn=6n²，即d=6-n项：2a₁n-dn=4n，代入d=6得：$$2a1n-6n=4nRightarrow2a1n=10nRightarrowa₁=5$$因此，首项为5，公差为6。通项公式为an=a1+(n-1)d=5+6(n-1)=6n-1。3.已知三角形的三边分别为a=5，b=7，c=8，求该三角形的面积。已知三角形的三边分别为a=5，b=7，c=8，可以使用海伦公式计算其面积。海伦公式为：$$S=鈭?s(s-a)(s-b)(s-c))$$其中s为半周长，计算如下：$$s=a+b+c/2=5+7+8/2=10$$代入公式：$$S=鈭?10(10-5)(10-7)(10-8))=鈭?10×5×3×2)=鈭?300)=15鈭?3)/2$$因此，三角形的面积为15鈭?3)/2。4.已知函数f(x)=ln(x+1)，求其在区间[0,2]上的最大值和最小值。函数f(x)=ln(x+1)的定义域为x>-1，在区间[0,2]上是连续的。求导：$$f'(x)=1/x+1$$由于x+1>0在区间[0,2]上恒成立，因此导数f'(x)>0，说明函数在该区间内单调递增。因此，函数在区间[0,2]上的最小值出现在左端点x=0，最大值出现在右端点x=2。计算：-f(0)=ln(0+1)=ln(1)=0-f(2)=ln(2+1)=ln(3)因此，最小值为0，最大值为ln(3)。5.已知向量veca=(2,3)，vecb=(-1,4)，求向量veca与vecb的夹角。向量夹角的计算公式为：$$cos胃=fracveca×vecb|veca||vecb|$$计算点积：$$veca×vecb=2×(-1)+3×4=-2+12=10$$然后计算向量的模长：-|veca|=鈭?2²+3²)=鈭?4+9)=鈭?13)-|vecb|=鈭?(-1)²+4²)=鈭?1+16)=鈭?17)代入公式得：$$cos胃=10/鈭?13×sqrt17)=10/鈭?221)≈0.676$$因此，夹角胃≈cos⁻¹(0.676)≈47.5^circ。6.已知圆的方程为x²+y²-4x+6y+12=0，求该圆的圆心坐标和半径。将圆的一般方程x²+y²-4x+6y+12=0化为标准形式。对x和y分别配方：-x²-4x=(x-2)²-4-y²+6y=(y+3)²-9代入原方程：$$(x-2)²-4+(y+3)²-9+12=0$$$$(x-2)²+(y+3)²-1=0Rightarrow(x-2)²+(y+3)²=1$$因此，圆心为(2,-3)，半径为鈭?1)=1。7.已知函数f(x)=sin(2x)+cos(x)，求其在区间[0,蟺]上的极值点。函数f(x)=sin(2x)+cos(x)在区间[0,蟺]上是连续可导的。求导得：$$f'(x)=2cos(2x)-sin(x)$$令导数为零，解方程：$$2cos(2x)-sin(x)=0$$利用三角恒等式cos(2x)=1-2sin²(x)，代入得：$$2(1-2sin²(x))-sin(x)=0Rightarrow2-4sin²(x)-sin(x)=0$$整理为：$$4sin²(x)+sin(x)-2=0$$设y=sin(x)，解方程：$$4y²+y-2=0Rightarrowy=-1±鈭?1+32)/8=-1±鈭?33)/8$$因此，sin(x)=-1+鈭?33)/8或sin(x)=-1-鈭?33)/8。在区间[0,蟺]内，sin(x)的值域为[0,1]，因此sin(x)=-1-鈭?33)/8无解。解得sin(x)=-1+鈭?33)/8，对应的角度为x=蟺/6和x=5蟺/6。因此，极值点为x=蟺/6和x=5蟺/6。8.已知抛物线y=x²-4x+3，求其顶点坐标和对称轴方程。抛物线的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a=1，b=-4，c=3。顶点横坐标为x=-b/2a=--4/2×1=2。代入x=2得：$$y=2²-4×2+3=4-8+3=-1$$因此，顶点坐标为(2,-1)。对称轴方程为x=2，即抛物线的对称轴为垂直于x轴的直线x=2。9.已知函数f(x)=1/x，求其在区间[1,2]上的定积分。函数f(x)=1/x在区间[1,2]上是连续的，因此可以计算其定积分。不定积分公式为：$$int1/xdx=ln|x|+C$$代入上下限x=1和x=2：$$int_1²1/xdx=ln(2)-ln(1)=ln(2)-0=ln(2)$$因此，定积分的值为ln(2)。10.已知某地2022年各季度的GDP数据如下表所示，求该地全年GDP的平均增长率。季度GDP（亿元）一12000二13500三14800四15200计算全年GDP总和：$$12000+13500+14800+15200=55500text亿元$$然后计算各季度的环比增长率：-第二季度环比增长率为13500-12000/12000×100%=12.5%-第三季度环比增长率为$14800-13500/13500×五、解答题1.已知函数f(x)=1/x+ln(x)，其中x>0。求函数f(x)的单调区间。2.已知数列an的前n项和为Sn=3ⁿ-1。求a_n的通项公式。3.已知等差数列an的前n项和为Sn=4n²+2n。求a1和a2。4.已知函数f(x)=x³-3x²+4。求函数f(x)的极值。5.已知数列an的前n项和为Sn=2ⁿ-1。求a_n的通项公式。6.已知函数f(x)=1/x+ln(x)，其中x>0。求函数f(x)的最大值。7.已知等差数列an的前n项和为Sn=4n²+2n。求a1和a2。8.已知函数f(x)=x³-3x²+4。求函数f(x)的极值。9.已知数列an的前n项和为Sn=2ⁿ-1。求a_n的通项公式。10.已知函数f(x)=1/x+ln(x)，其中x>0。求函数f(x)的最大值。参考答案与解析单选题1.答案：A解析：因为f(x)=x²-4x+3是一个二次函数，其标准形式为f(x)=ax²+bx+c。其中a=1，b=-4，c=3。由于a>0，所以抛物线开口向上。1.答案：B解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n(a1+an)/2，可得S5=5(a1+a5)/2=15，S8=8(a1+a8)/2=40。联立两式，解得a1=1，a5=3，a8=5。因此，公差d=a5-a1=3-1=2。1.答案：A解析：点A(2,3)关于直线y=x的对称点B的坐标可以通过交换横纵坐标得到，即B(3,2)。1.答案：A解析：由等比数列的前n项和公式Sn=a1(1-qⁿ)/1-q，当|q|<1时，qⁿ趋近于0，因此Sn的极限为a1/1-q=0。5.答案：A解析：函数f(x)=ln(x+1)-鈭?x)的导数为f'(x)=1/x+1-1/2鈭?x)。要使f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，即f'(x)>0，解不等式1/x+1-1/2鈭?x)>0，得到x>0。5.答案：A解析：直线l与圆x²+y²=1相切，即圆心到直线l的距离等于圆的半径。圆心坐标为(0,0)，半径r=1。根据点到直线的距离公式，得到|b|/鈭?k²+1)=1，即b²=k²+1。5.答案：C解析：复数z=a+bi的模为|z|=鈭?a²+b²)。由题意得|z-1|=|z+1|，即鈭?(a-1)²+b²)=鈭?(a+1)²+b²)。平方后化简得a²+b²=1。5.答案：A解析：直线l的方程为x+y=1，圆的方程为x²+y²=1。将直线l的方程代入圆的方程，得到2x²-2x=0，解得x=0或x=1。因此，直线l与圆x²+y²=1相交于两点。5.答案：A解析：函数f(x)=1/x²-1的导数为f'(x)=-2x/(x²-1)²。要使f(x)在区间(1,+∞)上单调递减，即f'(x)<0，解不等式-2x/(x²-1)²<0，得到x>1。5.答案：B解析：直线l与圆x²+y²=4相切，即圆心到直线l的距离等于圆的半径。圆心坐标为(0,0)，半径r=2。根据点到直线的距离公式，得到|b|/鈭?k²+1)=2，即b²=4(k²+1)。多选题1.答案：ABD解析：函数y=x²、y=|x|和y=x⁴的图像都关于y轴对称，而y=x³的图像关于原点对称。2.答案：B解析：将f(1)=2，f(-1)=0，f(2)=4代入函数f(x)=ax²+bx+c，得到以下方程组：2.答案：C解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，代入a1=1，d=2，n=10，得到an=1+(10-1)*2=21。2.答案：B解析：将圆的方程x²+y²-4x-6y+9=0配方，得到(x-2)²+(y-3)²=1，圆心坐标为(2,3)，半径为1。2.答案：B解析：由于对数函数的定义域为正实数，所以f(x)的定义域为(-1,+∞)。由于对数函数的值域为全体实数，所以f(x)的值域为(0,+∞)。2.答案：B解析：等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，代入a1=2，q=3，n=5，得到an=23^(5-1)=243。2.答案：A解析：对函数f(x)求导得f'(x)=3x²-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1。由于f''(x)=6x-6，f''(1)=0，所以x=1是f(x)的极值点。2.答案：B解析：对函数f(x)求导得f'(x)=eˣ-2x，令f'(x)=0，解得x=0。由于f''(x)=eˣ-2，f''(0)=-1<0，所以x=0是f(x)的极大值点，f(x)在(0,+∞)上单调递增。2.答案：A解析：由于sin(x)和cos(x)的取值范围均为[-1,1]，所以f(x)的取值范围为[-2,2]。又因为sin(x)+cos(x)的最大值为√2，最小值为-√2。2.答案：A解析：令f(x)=0，得到x²-4x+4=0，解得x=2。所以f(x)的图像与x轴的交点为(2,0)。填空题1.答案：a>0解析：函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上，说明a>0。顶点坐标为(1,-2)，代入得f(1)=a+b+c=-2，由于a>0，所以a的取值范围是a>0。2.答案：d=2解析：等差数列an的前n项和为Sn，根据等差数列的性质，有S5=5a1+10d=20，S10=10a1+45d=70。解得d=2。3.答案：0解析：复数z满足|z-1|=|z+1|，表示z到点(1,0)和点(-1,0)的距离相等，即z在实轴上，所以复数z的实部为0。4.答案：x∈[0,2]解析：函数f(x)=log₂(x+1)在区间[0,2]上单调递增，即x+1>0，解得x∈[0,2]。5.答案：S5=121解析：等比数列an的首项a1=2，公比q=3，则数列的前5项和S5=a1(1-q⁵)/(1-q)=2(1-3⁵)/(1-3)=121。6.答案：f(3)=5解析：函数f(x)=x²-4x+4是一个开口向上的二次函数，其顶点坐标为(2,0)。在区间[1,3]上，函数的最大值为f(3)=5。7.答案：0解析：复数z满足|z-1|=|z+1|，表示z到点(1,0)和点(-1,0)的距离相等，即z在实轴上，所以复数z的虚部为0。8.答案：x∈[2,4]解析：函数f(x)=log₃(x-1)在区间[2,4]上单调递减，即x-1>0，解得x∈[2,4]。9.答案：a1=2解析：等差数列an的前n项和为Sn，根据等差数列的性质，有S5=5a1+10d=20，S10=10a1+45d=70。解得a1=2。10.答案：f(-1)=-2解析：函数f(x)=x³-3x²+4x-2是一个三次函数，其导数f'(x)=3x²-6x+4。令f'(x)=0，解得x=1或x=2/3。在区间[-1,2]上，函数的最小值为f(-1)=-2。计算题1.（1）函数的定义域为xinmathbbRsetminus2（2）函数的值域为yinmathbbRsetminus0（3）函数在定义域内单调递增2.（1）首项a₁=5（2）公差d=6（3）通项公式为a_n=6n-13.（1）三角形的面积为15鈭?3)/2（2）使用海伦公式计算（3）计算过程包括半周长和平方根运算4.（1）函数在区间[0,2]上的最大值为ln(3)（2）函数在区间[0,2]上的最小值为ln(1)=0（3）函数在该区间内单调递增5.（1）向量veca与vecb的夹角为胃，其中cos胃=fracveca×vecb|veca||vecb|（2）点积veca×vecb=2×(-1)+3×4=-2+12=10（3）模长|veca|=鈭?2²+3²)=鈭?13)，|vecb|=鈭?(-1)²+4²)=鈭?17)6.（1）圆心坐标为(2,-3)（2）半径为鈭?1)=1（3）将方程化为标准形式(x-2)²+(y+3)²=17.（1）极值点为x=蟺/6和x=5蟺/6（2）求导得f'(x)=2cos(2x)-sin(x)（3）令导数为零，解得x=蟺/6和x=5蟺/68.（1）顶点坐标为(2,-1)（2）对称轴方程为x=2（3）使用顶点公式x=-b/2a计算9.（1）定积分值为ln(2)-ln(1)=ln(2)（2）使用不定积分公式int1/xdx=ln|x|+C（3）计算定积分时需注意上下限代入10.（1）全年GDP总和为12000+13500+14800+15200=55500亿元（2）各季度环比增长率分别为12.5%、10.0%、2.7%（3）平均增长率为12.5+10.0+2.7/3≈8.4%解答题1.（1）求出函数f(x)的导数f'(x)。（2）令f'(x)=0，解得x的值。（3）分析f'(x)的符号，确定f(x)的单调区间。解析：通过求导数，我们可以得到f'(x)=-1/x²+1/x。令f'(x)=0，解得x=1。当x<1时，f'(x)<0，所以f(x)在(0,1)上单调递减；当x>1时，f'(x)>0，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增。2.（1）根据数列的前n项和Sn，可以求出a1=S₁=3¹-1=2。（2）对于n≥2，有an=Sn-S_n-1。（3）将Sn和Sn-1的表达式代入an的公式，化简得到an的通项公式。解析：由Sn=3ⁿ-1和Sn-1=3ⁿ⁻¹-1，可得a_n=(3ⁿ-1)-(3ⁿ⁻¹-1)=3ⁿ-3ⁿ⁻¹=2×3ⁿ⁻¹。因此，an的通项公式为an=2×3ⁿ⁻¹。3.（1）根据等差数列的前n项和Sn，可以列出Sn的表达式。（2）利用Sn的表达式，求出a1和a₂。解析：由Sn=4n²+2n，可得a1=S₁=4×1²+2×1=6。又因为a2=S2-S1，代入Sn的表达式，可得a₂=(4×2²+2×2)-(4×1²+2×1)=14。因此，a1=6，a2=14。4.（1）求出函数f(x)的导数f'(x)。（2）令f'(x)=0，解得x的值。（3）分析f'(x)的符号，确定f(x)的极值。解析：通过求导数，我们可以得到f'(x)=3x²-6x。令f'(x)=0，解得x=0和x=2。当x<