湘教版八年级上册数学5.3 直角三角形全等的判定 教学课件（25秋新教材）

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件湘教版八年级上册数学（25秋新教材）5.3直角三角形全等的判定

第5章直角三角形1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（难点）2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点)学习目标SSSSASASAAAS旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直角边是_____，_____，斜边是______.CBAACBCAB思考：前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？ABCA′B′C′1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？口答：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠C=∠C'=90°，且

AB=A'B'，AC=A'C'，现在能判定

△ABC≌△A'B'C'吗？BCAA'B'C'动脑想一想我们知道，证明三角形全等不存在

SSA定理.

任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个

Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到

Rt△ABC上，它们能重合吗？ABC直角三角形全等的判定作图探究画图思路(1)先画

∠MC′N＝90°；ABCM

C′N(2)在射线

C′M上截取

B′C′＝BC；MC′ABCNB′MC′画图思路(3)以点

B′为圆心，AB为半径画弧，交射线

C′N于

A′；MC′ABCNB′A′画图思路(4)连接

A′B′.MC′ABCNB′A′思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？画图思路BCAA'B'C'在Rt△ABC和

Rt△A'B'C'中∵AB=A'B'，AC=A'C'，根据勾股定理，BC2=AB2－AC2，B'C'2=A'B'2－A'C'2，∴BC=B'C'.∴Rt△ABC

≌

Rt△A'B'C'.证明猜想：“斜边、直角边”定理文字语言：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).几何语言：

ABCA′B′C′在

Rt△ABC和

Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(斜边、直角边).AB=A′B′，BC=B′C′，“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.要点归纳判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：

(1)一个锐角和这个角的对边对应相等；(

)

(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；(

)

(3)一个锐角和斜边对应相等；(

)

(4)两直角边对应相等；(

)

(5)一条直角边和斜边对应相等．(

)HLAAS或ASASASAASAAS判一判例1

如图，BD，CE，是△ABC的高，且BE＝CD.

求证：Rt△BEC＝Rt△CDB.证明：因为

BD，CE

是△ABC

的高，

所以∠BEC＝∠CDB＝90°.

BC

=CB，

BE

=CD，在

Rt△BEC

和

Rt△CDB

中，所以Rt△ABC≌Rt△BAD(斜边、直角边).应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.这是应用“HL”判定方法的书写格式.ABCED

变式1

如图，∠ACB

＝∠ADB＝

90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.(1)

()(2)

()(3)

()(4)

()ABDCBC＝

AD∠CBA＝∠DABAC＝BD

∠CAB＝∠DBAHLHLAASAAS

如图，AC，BD相交于点

P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为

C、D，AD=BC.

求证：AC=BD.变式2HLAC＝

BDRt△ABD≌Rt△BAC

如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判断

AD

和

BC的位置关系.变式3HL∠ADB＝

∠CBDRt△ABD≌Rt△CDBAD∥BC证明：∵AD，AF

分别是

△ABC

和

△ABE

的高，且

AD

＝

AF，AC

＝

AE，∴

Rt△ADC≌Rt△AFE

(斜边、直角边).∴

CD

＝

EF.∵AD

＝

AF，AB

＝

AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(斜边、直角边).∴BD

＝

BF.∴BD－CD

＝

BF－EF.

即

BC

＝

BE.例2

如图，已知AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”定理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．例3如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度

AC与右边滑梯水平方向的长度

DF

相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF

中，

BC=EF，

AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠B=∠DEF

(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°，∴∠B

+∠F

=

90°.2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点

D，CE⊥AB于点

E

，AD，CE交于点

H，已知

EH＝

EB＝3，AE＝4，则

CH

的长为(

)A.1B.2C.3D.41.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有(

)

A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等

C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等DA证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠BFA=∠DEC=90°.∵AE=CF，∴AE+EF=

CF+

EF.即

AF=CE.在

Rt△ABF和

Rt△CDE中，AFCEDB3.如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF.

求证：BF=DE.

AB=CD，

AF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=

DE.

AB＝

CD，

AF＝

CE，Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).BF＝

DE，Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).∠BFG＝

∠DEG，∠BGF＝

∠DGE，FG＝

EGBD

平分

EF

如图，AB

=

CD，BF

⊥

AC，DE

⊥

AC，

AE

=

CF.求证：BD

平分

EF.AFCEDBG变式训练1

如图，AB

=

CD，BF

⊥

AC，DE

⊥

AC，

AE

=

CF.想想：BD

平分

EF

吗?