微积分（上册）（第3版）课件 第 2 章 极限与连续

二、数列的有关概念四、收敛数列的性质五、小结三、数列极限的定义第一节数列的极限一、引例“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术——刘徽一、引例正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2.截丈问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的有关概念例如定义按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数叫做数列.记作{xn}或xn

(n=1,2,…).并把每个数叫做数列的项,第n个数叫做数列的第n项或通项.注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数单调性则称数列{xn}是单调增加的；单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列．对于数列{xn},若有x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…,对于数列{xn},若有x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…,则称数列{xn}是单调减少的.有界性例如,有界；无界同样,三、数列极限的概念【问题1】当

无限增大时,是否无限接近于一个固定常数?如果是,如何确定?

当n无限增大时，xn无限接近于一个固定的常数a，则称数列{xn}有极限,或称数列{xn}以a为极限（或称数列是收敛的）,记为当n无限增大时,xn不能趋于一个固定常数,则称数列{xn}没有极限（或称数列是发散的）.【直观定义】【问题2】“无限接近”意味着什么?如何用数学语言定量描述？“距离”任意小要多接近有多接近无限接近绝对值任意小【例如】如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：几何解释:其中数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证明数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.

对于一切正整数,对小的找到N,这个N也适用于大的，因此根据问题需要不妨设

例3证【思考题】【错证】可以证明因为解新的不等式故当时有【思考题解答】【分析】错误①：极限是1明显是不对的，应为0.错误②：推导过程中又将不适当的放大，致使不等式：不能对任何ε>0成立.［例如］取ε=1/2时，找不到n满足该不等式.【结论】极限的分析定义严格描述了极限过程，如果随心所欲地放大不等式，就会导致荒谬的结果.切记证明中应适当放大，否则无法保证小于任给的ε>0.【正确证法】因为解不等式故取则当n>N时，必有故四、数列极限的性质性质1（极限的惟一性）收敛数列的极限必惟一.证由定义,故收敛数列不可能有两个极限.【证】(反证法)同时成立,这显然是矛盾的.因此收敛数列的极限是唯一的.例4证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.收敛数列必有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要而非充分条件.推论无界数列必定发散.性质2（有界性）性质3（保号性）证对于正数由于故存在正整数N1,当n

>N1时,有从而有对于上述的由于故存在正整数N2,当n

>N2时,有从而有取N=max{N1,N2},当n

>N时,有即推论1这个定理表明

若数列的极限为正（或负），则该数列从某一项开始以后所有项也为正（或负）.在上述性质中,若取yn=b(n=1,2,…),即得如下推论.在上述推论中,若取

b=0

,则有推论2但推论2的逆命题却不成立.也就是说,即使xn>0(或xn<0),但极限却不一定大于0

(或小于0).例如,对于数列,显然,可是却有

,但我们可以得到如下推论.推论3五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:惟一性、有界性、保号性.1.割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.——刘徽一、概念的引入1.割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”.1.割圆术：——刘徽一、概念的引入

三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限一、函数极限的定义三、小结二、函数极限的性质第二节函数的极限一、函数极限的定义

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。

下面，我们将主要研究以下两种情形：(1)自变量x无限接近于定值x0,但不等于x0,即|x-x0|充分小但不等于零,称为x趋向于x0,记作x→x0.

它有两种情形,一种是变量x从左边无限接近于定值x0,但不等于x0,记作x→x0-.一种是变量x从右边无限接近于定值x0,但不等于x0,记作x→x0+.(2)自变量x的绝对值|x|无限增大,称作x趋向于无穷大,记作x→∞.

它也有两种情形,一种是变量x向正方向无限增大,即x取正数且无限增大,记作x→+∞.另一种是变量x向负方向无限减小,即-

x取正数且无限增大,记作x→

-∞.

下面就自变量的上述几种变化趋势,分别讨论函数f(x)的极限.1.自变量趋于有限值时函数的极限①定义

设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义(在x0处可以没有定义),

A为常数.如果对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当0<|x-x0|

<δ时,恒有不等式|

f(x)-

A|<ε成立,则称函数f(x)当x趋向于x0时有极限A,或f(x)在x0处有极限A,记作②几何解释

注意

例1证对于只需取δ=ε,当0<|x-x0|<δ时,便有例2证对于只需取δ=ε,当0<|x-0|<δ时,便有例3证函数在点x=1处没有定义.【分析】例4证③单侧极限例如,左极限右极限左右极限统称为单侧极限.左右极限都存在但不相等,例5证例6设讨论当x→0时,函数f(x)的极限是否存在.证当x<0时,有当x>0时,有由于因此有播放2.自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察:问题

如何用数学语言刻划函数“无限接近”.①定义

设函数f(x)在点|x|≥b≥0上有定义,A为一个常数.如果对于任意给定的正数ε,总存在正数X>b,使得当|x|

>X时,有|

f(x)-

A|<ε成立,则称函数f(x)当x→∞时有极限A,也称函数f(x)当x→∞时收敛于A.记作②两种情形

③几何解释

f(x)水平渐近线例7证例8证只需–x<lnε

,即x>–lnε=

二、函数极限的性质定理2（极限的局部有界性）定理1（极限的惟一性）

值得注意的是,如果数列收敛,则这个数列有界.但如果函数有极限,则一般只能得到此函数的“局部有界”的结论.

例如,我们知道

但是它只是局部有界的,而在定义域

内是无界的.定理3(极限的局部保号性)推论1【定理】(Heine定理)函数极限与数列极限的关系常用海涅定理来判断函数在某变化过程中的极限不存在.【注】例9证二者不相等,三、小结函数极限的统一定义(见下表)过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限2.自变量趋向无穷大时函数的极限第三节极限的运算法则一、极限的四则运算法则三、复合运算法则二、求极限方法举例四、小结一、极限的四则运算法则定理1证取,则当时,有类似地,还可以证其他几个结论.推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2定理中的结论(1)和(2)可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况,而且还有如下常用的两个推论(下设函数

f(x)的极限存在).二、求极限方法举例例1解例2解小结:例如,解,商的法则不能用例3解例4(消去零因子法)例5解(无穷小因子分出法)小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.解例6例7解而商的极限存在,所以必须有解得例8解先变形再求极限.三、复合运算法则意义：例9解:例10解:由于,所以而四、小结1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小性质求极限.3.复合函数的极限运算法则.一、夹逼准则二、单调有界准则四、小结极限存在准则及两个重要极限第四节三、连续复利一、夹逼准则证能使上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.注意:准则I和准则Iˊ统称为夹逼准则.例1解由夹逼定理得作为准则Ⅰ´的应用，下面证明一个重要的极限【证明】例2解例3解例4解令arctan

x=t,则

x=tant,而当x→0时,有t→0,于是有单调增加单调减少单调数列二、单调有界准则我们前面已经知道,收敛的数列一定有界,但有界的数列却不一定收敛,但若再加上数列单调的条件,则有下面的重要结论:几何解释:例5证(舍去)定义作为准则Ⅱ的应用，可以证明一个重要的极限由二项式展开公式,有类似地,例6解例7解例8解例9解根据题意,显然有a

≠0,又所以有a=

ln2.例10解特别地,当a=

e时,有例11解特别地,当a=

e时,有例12解

注:上述三个极限的结论是经常被引用使用的重要结果,大家应该记住它们.例13设数列证明证明存在,并求此极限.由数学归纳法可知数列{xn}单调增加.再由xn=1+xn-1/(1+xn-1)<2,可知该数列有上界.根据单调有界准则,可知该数列极限存在,记为三、连续复利设有某笔贷款A0(也叫本金),贷款期数为t,每期利率为r,如果每期结算一次,则本利和为如果每期结算m次,则t期本利和Am为这种计算复利的方法称为连续复利.如果立即产生结算,也就是每时每刻计算复利,即m→∞,这样t期本利和应为四、小结1.两个准则2.两个重要极限夹逼准则;单调有界准则.设α为某过程中的无穷小量,则四、无穷大五、小结第五节无穷小与无穷大二、无穷小的性质三、无穷小的比较一、无穷小一、无穷小定义1若在自变量x的某个变化过程中limf(x)=0,则称函数f(x)为x在该变化过程中的无穷小量,简称为无穷小.例如,注意（1）无穷小是变量,不能与很小的常数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数;（3）无穷小是相对于自变量的变化过程而言的.定理1(1)有限个无穷小的代数和仍是无穷小;(2)

有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小.二、无穷小的性质

这里所说的有界,对函数而言可以是局部有界.都是无穷小.推论1常量与无穷小的乘积为无穷小.推论2有极限的量与无穷小的乘积为无穷小.推论3有限个无穷小的乘积为无穷小.注

两个无穷小的商未必是无穷小.因为常量有界,有极限的变量有界或者局部有界,所以有如下推论:2x和3x都是x→0时的无穷小,但商却不是.下面我们考虑无穷小与函数极限的关系:意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷小）;例如,极限不同,反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度不同.观察各极限三、无穷小的比较定义2例如，关于等价无穷小,有下面的两个结论:定理3意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,定理4(等价无穷小代换定理)常用等价无穷小:例1解

若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意例2解例3解解错例4解四、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.【无穷大】【无界量】无穷大必无界，但无界未必是无穷大.【两者区别与联系】不是无穷大．无界，证例4定理5(无穷小与无穷大的关系)在自变量的同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.解由于例5根据定理5,可知五、小结1.主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2.几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大.【注】【反例】无穷大的性质3.无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.4.等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.一、连续函数的概念二、函数的间断点四、小结第六节连续函数三、初等函数的连续性一、连续函数的概念1.函数的增量注意：定义1设函数在点的某邻域内有定义,如果当自变量的增量趋向于零时,相应的函数增量也趋向于零,即则称函数在点处连续.2.连续的定义也就是说函数当时的极限值等于该点的函数值,所以也可以这样定义连续:定义2设函数在点的某邻域内有定义,如果当时f(x)的极限存在,而且等于f(x)在点x0处的函数值,即则称函数在点处连续,且称为的连续点.即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值.例1证由定义2知3.单侧连续定理1例2解函数左连续且右连续,所以该函数在x=0处连续.例3解因此函数右连续但不左连续,故该函数在x=0处不连续.4.连续函数与连续区间在区间I上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间I上连续.注:连续函数在区间I上的图形是一条连续而不间断的曲线.【例】【证】5.基本初等函数的连续性

如果是多项式函数,有理分式函数或基本初等函数,则对于其定义域内的任意一点,都有因此,多项式函数、有理分式函数及基本初等函数在其定义域内都是连续函数.二、函数的间断点1.可去间断点例4解【注】

可去间断点只要改变（原来有定义时）或者补充（原来无定义时）间断点处函数的定义,则可使其变为连续点.如例4中,再比如函数在点x=1处无定义,所以x=1是该函数的可去间断点.故只须令,则函数在x=1处连续.例5解2.跳跃间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点左右极限相等，则为可去间断点；左右极限不相等，则为跳跃间断点．例5中的间断点为跳跃间断点．3.第二类间断点例6解这时也称其为无穷间断点.例7解注意函数的间断点可能不只是个别的几个点.这时也称其为振荡间断点．判断下列间断点类型:例8解四、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx一、连续函数的运算三、小结第七节连续函数的运算

与初等函数的连续性二、初等函数的连续性定理1例如,一、连续函数的运算1.

连续函数的和、差、积、商的连续性定理2

若函数y=f(x)在其定义区间Df上连续且单调增加(或减少),其值域为区间Rf,则它的反函数y=f-1(x)在Rf上连续且单调增加(或减少).例如,反三角函数在其定义域内皆连续.2.

反函数与复合函数的连续性例如定理3

设函数y=f(u)和u=g(x)可构成复合函数y=f[g(x)],g(x0)=u0.若u=g(x)在点x0连续,而y=f(u)在点u0连续,则y=f[g(x)]在点x0连续.即:连续函数的复合函数仍然是连续函数.定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.二、初等函数的连续性注意

初等函数在连续点求极限可用代入法.例1解例2解指出函数的连续区间,间断点及其类型.由初等函数的连续性可知

f(x)在区间(－∞,0),(0,1),(1,2)及(2,+∞)内连续.对于

x=0,因为故

x=0是函数f(x)的连续点.对于

x=1,因为故

x=1是函数f(x)的第二类中的无穷间断点.综上所述,

f(x)在区间(－∞,1)