2027年普通高等学校招生全国统一考试（高考）数学模拟卷及答案

PAGE12027年普通高等学校招生全国统一考试（高考）数学模拟卷及答案2027年高考数学·原创模拟卷考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。本试卷共19小题，满分150分。考试用时120分钟。一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−3x−4≤0}，B={x|2x<4}，则A∩B=A.[−1,2)B.[−1,2]C.(−1,2)D.(−1,2]2.若复数z满足(1+i)z=2i，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数等于A.1+iB.−1+iC.1−iD.−1−i3.已知向量a=(1,2)，b=(m,−1)，若a⊥(a−b)，则实数m=A.3B.5C.7D.94.已知sin(α+π/4)=3/5，且α∈(π/4,3π/4)，则sinα=A.√2/10B.7√2/10C.3√2/5D.9√2/105.设等差数列{an}的前n项和为Sn。若a3+a8=10，则S10=A.40B.45C.55D.506.已知正四棱锥P−ABCD的底面边长为2，侧棱长为√6，则该正四棱锥的体积为A.4/3B.8/3C.4D.8√3/37.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)。若P(X<4)=0.8，则P(0<X<2)=A.0.15B.0.2C.0.4D.0.38.已知双曲线C：x2/a2−y2/b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点。若|OP|=|PF|，则C的离心率为A.√2B.√3C.2D.√5/2二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知函数f(x)=sinx+cosx，则A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的图象关于直线x=π/4对称C.f(x)在区间[0,π/2]上单调递增D.f(x)的图象关于点(−π/4,0)对称10.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，则A.异面直线AB1与BC1所成的角为60°B.三棱锥A1−ABD的体积为4/3C.点B1到平面A1BD的距离为2√3/3D.直线AC1与平面ABCD所成角的正切值为√311.已知函数f(x)=xlnx，则A.f(x)在区间(0,1/e)上单调递减B.f(x)在x=e处取得最小值C.当0<x<1时，f(x)<0D.若f(x1)=f(x2)且x1≠x2，则x1x2<1三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x2−2/x)6的展开式中常数项为____________。13.过点(1,2)且与圆x2+y2=5相切的直线方程为____________。14.设抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A、B两点。若|AB|=8，则线段AB中点的横坐标为____________。四、解答题本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。已知a=2√3，b=3，且A=2B。（1）求cosB的值；（2）求边c的长及△ABC的面积。16.（本小题满分15分）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D为BC的中点。（1）证明：AD⊥平面BCC1B1；（2）求二面角A1−BC−A的余弦值。17.（本小题满分15分）某企业生产一种电子产品，每件产品的生产成本为20元，售价为50元。若当年生产的产品未能全部售出，则未售出的产品每件只能按10元的残值处理，且必须全部处理完毕。根据市场调研，该产品当年市场需求量X（单位：万件）的分布列为X100110120130P0.20.30.30.2企业计划当年生产n万件（n只能取100、110、120、130之一）。记企业当年获得的利润为Y（单位：万元）。（1）若企业生产120万件，求Y的分布列；（2）在（1）的条件下，求Y的数学期望E(Y)；（3）为使期望利润最大，企业应选择生产多少万件？请说明理由。18.（本小题满分17分）已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的焦距为2√3，离心率为√3/2。（1）求椭圆C的方程；（2）设F为C的右焦点，过F且斜率为1的直线l与C交于A、B两点，求|AB|；（3）设过F的直线l′与C交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积的最大值。19.（本小题满分17分）已知函数f(x)=x−alnx（a>0）。（1）求f(x)的单调区间；（2）若f(x)≥0对任意x>0恒成立，求a的取值范围；（3）当a>e时，若f(x1)=f(x2)且x1≠x2，证明：x1+x2>2a。参考答案与评分标准答案速查表1选择题、填空题答案题号答案题号答案1A8A2C9ABD3C10ABC4B11ACD5D122406B13x+2y−5=07D143选择题详解1.答案A由x2−3x−4≤0得(x−4)(x+1)≤0，解得−1≤x≤4，故A=[−1,4]。由2x<4=22得x<2，故B=(−∞,2)。所以A∩B=[−1,2)。故选A。2.答案C由(1+i)z=2i得z=2i/(1+i)=2i(1−i)/[(1+i)(1−i)]=(2i−2i2)/2=(2+2i)/2=1+i。所以z的共轭复数为1−i。故选C。3.答案Ca−b=(1−m,3)。由a⊥(a−b)得a·(a−b)=0，即1×(1−m)+2×3=0，解得7−m=0，即m=7。故选C。4.答案B由sin(α+π/4)=(√2/2)(sinα+cosα)=3/5得sinα+cosα=3√2/5。两边平方得1+2sinαcosα=18/25，所以sinαcosα=−7/50<0。于是(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=1+7/25=32/25。因为sinαcosα<0且α∈(π/4,3π/4)，所以α∈(π/2,3π/4)，此时sinα>0，cosα<0，故sinα−cosα>0，即sinα−cosα=4√2/5。两式相加得2sinα=7√2/5，即sinα=7√2/10。故选B。5.答案DS10=10(a1+a10)/2=5(a1+a10)。由等差数列的性质，下标和相等则对应项之和相等，即a1+a10=a3+a8=10，所以S10=5×10=50。故选D。6.答案B设正四棱锥底面中心为O，则O为正方形ABCD的中心，OA=(1/2)×2√2=√2。在直角三角形POA中，PO2=PA2−OA2=6−2=4，故高PO=2。所以体积V=(1/3)×22×2=8/3。故选B。7.答案D正态曲线关于直线x=2对称。由P(X<4)=0.8得P(X>4)=0.2。由对称性P(X<0)=P(X>4)=0.2，所以P(0<X<4)=1−0.2−0.2=0.6。再由对称性P(0<X<2)=(1/2)×0.6=0.3。故选D。8.答案A双曲线的渐近线方程为bx−ay=0。点F(c,0)到该渐近线的距离为|PF|=bc/√(a2+b2)=bc/c=b。因为OP⊥PF，所以在直角三角形OPF中，|OP|2=|OF|2−|PF|2=c2−b2=a2，所以|OP|=a。由|OP|=|PF|得a=b，此时c=√(a2+b2)=√2a，所以离心率e=c/a=√2。故选A。9.答案ABDf(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)。对于A，最小正周期T=2π/1=2π，A正确。对于B，当x=π/4时x+π/4=π/2，f(π/4)=√2为最大值，故直线x=π/4是对称轴，B正确。对于C，当x∈[0,π/2]时x+π/4∈[π/4,3π/4]。函数y=sint在[π/4,π/2]上递增、在[π/2,3π/4]上递减，故f(x)在[0,π/4]上递增、在[π/4,π/2]上递减，C错误。对于D，f(−π/4)=√2sin0=0，且对任意x有f(−π/4+x)+f(−π/4−x)=√2[sinx+sin(−x)]=0，故图象关于点(−π/4,0)对称，D正确。故选ABD。10.答案ABC以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(2,2,2)。对于A，向量AB1=(2,0,2)，BC1=(0,2,2)，cos⟨AB1,BC1⟩=(0+0+4)/(2√2×2√2)=1/2，所以所成角为60°，A正确。对于B，△ABD的面积为(1/2)×2×2=2，点A1到平面ABD的距离为2，所以V=(1/3)×2×2=4/3，B正确。对于C，设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z)。由BD=(−2,2,0)，BA1=(−2,0,2)得−2x+2y=0，−2x+2z=0，取n=(1,1,1)。又BB1=(0,0,2)，所以点B1到平面A1BD的距离d=|BB1·n|/|n|=2/√3=2√3/3，C正确。对于D，AC1=(2,2,2)，平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1)。设直线AC1与平面ABCD所成角为θ，则sinθ=|AC1·m|/(|AC1||m|)=2/(2√3)=1/√3，所以tanθ=1/√2=√2/2≠√3，D错误。故选ABC。11.答案ACDf(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=lnx+1。对于A，当0<x<1/e时f′(x)<0，f(x)单调递减，A正确。对于B，当0<x<1/e时f(x)递减，当x>1/e时f(x)递增，故f(x)在x=1/e处取得最小值f(1/e)=(1/e)ln(1/e)=−1/e，B错误。对于C，当0<x<1时lnx<0，又x>0，所以f(x)=xlnx<0，C正确。对于D，由f(x1)=f(x2)且x1≠x2及f(x)的单调性，不妨设x1<1/e<x2，则x2∈(1/e,1)。当x>1时，设g(x)=f(x)−f(1/x)=xlnx+(lnx)/x=lnx·(x+1/x)。因为lnx>0且x+1/x>0，所以g(x)>0，即f(x)>f(1/x)。由x2∈(1/e,1)得1/x2>1，故f(1/x2)<f(x2)=f(x1)。又x1<1/e<1/x2，且f(x)在(0,1/e)上单调递减，故由f(x1)>f(1/x2)得x1<1/x2，即x1x2<1，D正确。故选ACD。填空题详解12.答案240展开式的通项为Tk+1=C6k(x2)6−k(−2/x)k=C6k(−2)kx12−3k（k=0,1,2,…,6）。令12−3k=0得k=4，所以常数项为C64(−2)4=15×16=240。13.答案x+2y−5=0因为12+22=5，所以点(1,2)在圆x2+y2=5上。过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2，所以所求切线方程为x+2y=5，即x+2y−5=0。14.答案3抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线为x=−1，即p=2。设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的定义，|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2。由x1+x2+2=8得x1+x2=6，所以线段AB中点的横坐标为(x1+x2)/2=3。解答题详解15.（本小题满分13分）（1）由正弦定理a/sinA=b/sinB得a/b=sinA/sinB=sin2B/sinB=2sinBcosB/sinB=2cosB。……（3分）又a=2√3，b=3，所以2cosB=2√3/3，即cosB=√3/3。……（6分）（2）因为B为三角形内角且cosB>0，所以B为锐角，sinB=√(1−cos2B)=√(1−1/3)=√6/3。……（8分）由A=2B得sin2B=2sinBcosB=2×(√6/3)×(√3/3)=2√2/3，cos2B=2cos2B−1=2/3−1=−1/3。……（10分）因为C=π−(A+B)=π−3B，所以sinC=sin3B=sin(2B+B)=sin2BcosB+cos2BsinB=(2√2/3)(√3/3)+(−1/3)(√6/3)=2√6/9−√6/9=√6/9。……（12分）由正弦定理c/sinC=b/sinB得c=bsinC/sinB=3×(√6/9)/(√6/3)=1。所以S=(1/2)absinC=(1/2)×2√3×3×(√6/9)=√2。……（13分）综上，c=1，△ABC的面积为√2。16.（本小题满分15分）（1）证明：在△ABC中，因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC。……（2分）因为ABC−A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC。又AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD。……（4分）因为BC∩BB1=B，且BC、BB1都在平面BCC1B1内，所以AD⊥平面BCC1B1。……（6分）（2）解法一（几何法）：由（1）知AD⊥BC；又AA1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，由三垂线定理得A1D⊥BC，所以∠A1DA就是二面角A1−BC−A的平面角。……（9分）因为∠BAC=90°，AB=AC=2，所以BC=2√2，AD=(1/2)BC=√2。……（11分）在直角三角形A1AD中，AA1=2，A1D=√(AD2+AA12)=√(2+4)=√6。……（13分）所以cos∠A1DA=AD/A1D=√2/√6=√3/3，即二面角A1−BC−A的余弦值为√3/3。……（15分）解法二（向量法）：以A为原点，AB、AC、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)。BC=(−2,2,0)，BA1=(−2,0,2)。设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z)，由n·BC=−2x+2y=0，n·BA1=−2x+2z=0，取n=(1,1,1)。平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)，所以cos⟨n,m⟩=(n·m)/(|n||m|)=1/√3=√3/3。由图可知二面角A1−BC−A为锐角，所以其余弦值为√3/3。17.（本小题满分15分）（1）当n=120时，企业成本为120×20=2400（万元），销售收入与残值收入之和为50min(X,120)+10[120−min(X,120)]=40min(X,120)+1200，所以利润Y=40min(X,120)+1200−2400=40min(X,120)−1200。……（3分）当X=100时Y=2800；当X=110时Y=3200；当X=120或130时Y=3600。表2生产120万件时利润Y的分布列Y280032003600P0.20.30.5……（7分）（2）E(Y)=2800×0.2+3200×0.3+3600×0.5=560+960+1800=3320（万元）。……（9分）（3）若生产100万件，则成本为2000万元，且需求量总不小于100万件，产品可全部售出，Y=100×50−2000=3000，E(Y)=3000。……（10分）若生产110万件，则Y=40min(X,110)−1100。当X=100时Y=2900，当X≥110时Y=3300，所以E(Y)=2900×0.2+3300×0.8=580+2640=3220。……（12分）若生产130万件，则Y=40min(X,130)−1300，Y的取值为2700、3100、3500、3900，对应概率依次为0.2、0.3、0.3、0.2，所以E(Y)=2700×0.2+3100×0.3+3500×0.3+3900×0.2=540+930+1050+780=3300。……（14分）比较可知3000<3220<3300<3320，所以企业应选择生产120万件，此时期望利润最大，为3320万元。……（15分）18.（本小题满分17分）（1）由焦距为2√3得2c=2√3，即c=√3。……（1分）由离心率e=c/a=√3/2得a=2，所以b2=a2−c2=4−3=1。……（3分）故椭圆C的方程为x2/4+y2=1。……（4分）（2）右焦点为F(√3,0)，直线l的方程为y=x−√3。……（5分）将其代入x2/4+y2=1得x2+4(x−√3)2=4，即5x2−8√3x+8=0。……（7分）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=8√3/5，x1x2=8/5，所以(x1−x2)2=(8√3/5)2−4×8/5=192/25−160/25=32/25。……（9分）因为l的斜率为1，所以|AB|=√2|x1−x2|=√2×4√2/5=8/5。……（11分）（3）由题意，直线l′不与x轴重合。设l′的方程为x=my+√3，代入x2/4+y2=1得(my+√3)2+4y2=4，即(m2+4)y2+2√3my−1=0。……（13分）设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则y3+y4=−2√3m/(m2+4)，y3y4=−1/(m2+4)，所以(y3−y4)2=(y3+y4)2−4y3y4=12m2/(m2+4)2+4/(m2+4)=16(m2+1)/(m2+4)2。……（15分）于是S=(1/2)|OF|·|y3−y4|=(√3/2)×4√(m2+1)/(m2+4)=2√3√(m2+1)/(m2+4)。令t=√(m2+1)，则t≥1，m2+4=t2+3，所以S=2√3t/(t2+3)≤2√3t/(2√3t)=1，等号成立当且仅当t2=3，即t=√3，此时m2=2。……（16分）所以△OMN面积的最大值为1。……（17分）19.（本小题满分17分）（1）f(x)的定义域为(0,+∞)。……（1分）f′(x)=1−a/x=(x−a)/x。……（3分）因为a>0，所以当0<x<a时f′(x)<0；当x>a时f′(x)>0。……（5分）故f(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞)。……（6分）（2）由（1）知f(x)在x=a处取得最小值，最小值为f(a)=a−alna。……（8分）f(x)≥0对任意x>0恒成立，等价于a−alna≥0，即a(1−lna)≥0。因为a>0，所以1−lna≥0，即lna≤1，解得0<a≤e。……（10分）所以a的取值范围是(0,e]。……（11分）（3）令g(x)=f(x)−f(2a−x)，x∈(0,2a)。……（12分）则g′(x)=f′(x)+f′(2a−x)=(x−a)/x+(a−