计数原理+排列组合复习课 (高三一轮复习)

1、计数应用题中的典型问题和典型方法,【例1】有两个袋子，其中一个袋子装有20个红色小球，每个球上标有1至20中的号码，另一个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的号码，(1)从袋子中任取一个小球，有多少种不同的取法？(2)从袋中任取红白球各一个，有多少种不同的取法？,点评：分清是“分类”还是“分步”是区别应用这两个原理的关键所在,分析：分类：方法可分类，类与类是并列关系，一类方法能完成一件事；分步：过程需分步，步与步是前后相继的关系，一步不能完成一件事情，几步共同才,解：(1)分两类：从红球中任取一个有20种不同的取法,从白球中任取一个有15种不同的取法,由分类计数原理得201535(

2、种),即共35种不同取法,(2)分两步：从红球中任取一个有20种不同的取法；,从白球中任取一个有15种不同的取法，,由分步计数原理得2015300(种),即共300种不同取法,能完成一件事。,1、分类、分步两个原理的区别与联系,名称,内容,【巩固练习】已知集合M3,2,1,0,1,2,P(a,b)是平面上点，(1)P可表示多少个不同的点？(2)P可表示多少个坐标轴上的点？,(2)分三类：第一类：P为x轴上(除原点)的点有5种，第二类：P为y轴上(除原点)的点有5种，第三类：P为原点有1种，由分类计数原理得55111(种)，P可表示11个坐标轴上的点,解：(1)分两步：第一步：先确定横坐标a有6

3、种不同的选法；第二步：再确定纵坐标b有6种不同的选法，由分步计数原理得6636(种)，P可表示36个不同的点,【例2】用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，(1)共有多少种不同的涂色方法？(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？,1,2,3,4,解：(1)由分步计数原理可知，共有=625种；,(2)只有2和4可同色。若2，4不同色有种，若2，4同色，有种，共有120+60=180种。,分析：,有5种,有5种,有5种,有5种,分析：,1,2,3,4,=420（种）,解：,按颜色分类，有三类不同的着色方法：,（1）涂5色：有种；,（2）涂4色：有种.

4、,由分类计数原理，不同的着色方法有：,（3）涂3色：有种.,练习如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）.,【例3】有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军，有多,少种不同的结果？,分析：4名学生报名参加竞赛，不得兼报，是“人选科目”，每人都有3种不同的报名方法，可把4名学生报名视为4个步骤，用分步计数原理；4名学生争夺三项冠军，因每位冠军只能是一名学生获得，故应是“科目选人”，每个科目的冠军都有4种可能，将3个科目选冠军视

5、为3个步骤，也应用分步计数原理,解：4名学生中，每人都要选报数学、物理、化学中的一科，根据分步计数原理，共有种报名方法,4名学生争夺数学、物理、化学三项冠军，每一项冠军都有4种不同的结果，共有种不同的结果。,2、排列和组合的区别和联系,【算一算】,(1)计算,(2)解方程,(3),排列应用题的求解应着眼的三个方面：(1)问题的结果是否与顺序有关，能否归结为排列问题；(2)问题中的几个元素指的是什么，m个元素的一个排列对应着的事件是什么；(3)从n个元素中每次取出m个元素的一个排列对应着的事件是什么,一、特殊优先原则在有限制的问题中，优先考虑特殊元素或特殊位置,三大原则：,二、先取后排原则先取后

6、排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题。,三、正难则反原则若从正面直接解决问题有困难时，则考虑排除法：先不管约束条件，求出总数，再剔除不合要求的部分,采用策略：（1）特殊位置/元素优先排列的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；（8）分排问题直排的策略（一排考虑，分段研究）.,排列:顺序；,【例1】7人按下述要求排成一列，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须站在两端；(3)甲、乙不相邻；

7、(4)甲、乙必须相邻；(5)甲、乙之间相隔2人；(6)甲在乙的前面(可以不相邻),a,c,b,d,e,g,f,分析：,由于元素甲、乙有特殊要求，故可采用优先元素或位置优先排列,解：(1)(特殊位置分析法)由于甲不站在两端，可先从除甲外的6人中任选2人站于两端共有种方法，再将所剩5人在所剩5个位置上进行全排列有种方法，故共有种不同的站法,(间接法)7人全排列共有种，其中甲在两端者有种，故甲不在两端的所有站法，共有种,(特殊元素分析法)由于甲不站在两端，故甲只能站在中间五个位置之一，有种，余下的6人进行全排列共有种，由分步计数原理得，共有种不同的站法,(2)先排甲、乙于两端有种排法，再让余下的5人

8、进行排有种，故甲、乙站在两端的所有排法有种排法,(3)(插空法)由于甲、乙不相邻，故先排除了甲、乙以外的5人，有种排法，再将甲、乙两人插入6个空档有种，由分步计数原理得:甲、乙不相邻的排法有种不同的排法,a,c,b,d,e,分析,(间接法)7人全排列有种，其中甲、乙相邻者有种，从而甲、乙不相邻者有种不同的排法,(4)(捆绑法)设想将甲、乙2人并作一人，与其余5人进行全排列，共有种排法，又此2人的位置可交换，即有种排法，于是共有种不同的排法,a,c,b,d,e,g,f,分析,(5)先从另5人中选2人排于甲、乙之间，有种排法，又甲、乙2人的排法有种，最后将甲、乙及其中间2人共4人并作一个元素，与其

9、余3人排列列有种排法，故共有种不同的排法,(6)(整体、对称法)注意到甲在乙前与甲在乙后的排法一样多，故共有种排法,点评：“先”与“后”，“并”与“插”都是辨证的，是可以互相转化的，在处理限位排列问题时，应灵活运用上述方法与策略,考点四定序问题消序(定序元素后排)策略【例3】7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？,【练】用1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字的十位数字小于个位数字的五位数共有多少个？,【练】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）,30,考点六.

10、多排问题直排策略,例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法？,解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.,一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.,点拨:先不考虑定序的条件,排好后再除以要求定序的元素的全排列数.,变式10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？,【小试牛刀】,(1)从a,b,c,d4名学生中选出2名完成一件工作，有多少种不同的选法？,(2)从a,b,c,d4名学生中选出2名完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？,组合：无顺序,问题：将4本不同的书，按下列要求分组有

11、多少不同的分法？,(1)分成两组，一组3本，另一组1本；,(2)平均分成两组；,分组问题,分组不定向分配问题,(3)分成三组，一组2本，另两组各1本；,(4)分给甲、乙两人，甲3本，乙1本；,(5)分给甲、乙两人，1人3本，另1人1本；,1.把abcd分成平均两组,ab,cd,ac,bd,ad,bc,有_多少种分法？,cd,bd,bc,ad,ac,ab,这两个在分组时只能算一个,平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以Amm，即m!，其中m表示组数。,分组问题,2.把abcdef分成平均三组,有_多少种分法？,分组问题,这6个在分组时只能算一个,平均分成的组，不管它们的

12、顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以Amm，即m!，其中m表示组数。,1.把abcd分成两组，一组3个，一组1个，,abc,d,abd,c,acd,b,有_多少种分法？,bcd,a,分组总共有4种,分组问题:(不平均分组),有种方法；,可先分3本的一组，再分1本的一组，这是连续进行的过程，因此应采用分步法,将4本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？,范例,(1)分析：,解：,第1步：从4本书中任取3本分给3本的一组，,第2步：余下的1本书分给1本的一组，,根据乘法原理，共有=4种不同分法,分组问题,(1)分成两组，一组3本，另一组1本；,分二步,有种分法；,不平均分组，无分配目标,范

13、例,将4本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？,有种方法；,解：,由于分步处理过程使分组产生了顺序，要用“除法”消序,第二步，再分余下的2本书得到另一组，,有种分法；,故符合要求的分法有=3种不同分法,(2)平均分成两组；,第一步，先从4本书中分得2本得到一组，,全部平均分配，无分配目标,范例,将4本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？,有种分法；,解：,由于分步处理使后面二组产生了先后顺序，要用“除法”消序,第二步，再从余下的2本书中分1本得到另一组，,有种分法；,故符合要求的分法有=3种不同分法,(3)分成三组，一组2本，另两组各1本；,第一步，先从4本书中分2本得到一组，,部

14、分平均分配，无分配目标,第三步，余下最后1本书得到最后一组，,有种分法；,问题：将4本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？,(1)分成两组，一组3本，另一组1本；,(2)平均分成两组；,1.非均分无分配对象的问题,一、分组不分配问题,分组不定向分配问题,2.均匀分组无分配对象的问题,3.部分均分无分配对象的问题,(3)分成三组，一组2本，另两组各1本；,将4本不同的书，按下列要求分组有多少不同的分法？,(4)分给甲、乙两人，甲3本，乙1本；,(5)分给甲、乙两人，1人3本，另1人1本；,分组且分配问题,分组定向分配问题,分组不定向分配问题,有种方法；,可先分给甲，再分给乙，这是连续进行的

15、过程，因此应采用分步法,(2)分析：,解：,第1步：甲从4本书中分得3本，,第2步：乙分得余下的1本书，,根据乘法原理，共有=4种不同分法,分二步：,有种分法；,不平均分组，有分配目标且明确,有种分法；,解：,第1步：先从4本书中分得3本得到一组，,第2步：余下的1本书得到另一组，,有种分法；,根据乘法原理，共有=8种不同分法,第3步：将分好的两组再分给甲、乙两人，,有种分法；,不平均分组，有分配目标，但不明确,【典型例题】12本不同的书，按下列方法分堆，共有多少种不同的方法？,(1)分成A、B、C三堆，每堆4本；(2)分成A、B、C三堆，A为6本，B、C各为3本；(3)平均分成三堆，每堆4本

16、；(4)分成三堆，其中一堆6本，另两堆各3本；(5)分成五堆，其中两堆每堆3本，另外三堆每堆2本,分析：,4,4,4,4,4,4,A,B,C,?,堆有编号，分堆有顺序；平均分堆，堆无编号，堆与堆之间无顺序。,(2)同(1)可得：共有种分堆方法,(3)共有种不同的分堆方法,(4)共有种不同的分堆方法,(5)共有种不同的分堆方法,解：(1)A堆得4本书有种方法，B堆得4本书有种方法，C堆得4本书有种方法，由分步计数原理得：共有种不同的分堆方法,点评：平均分堆问题与顺序无关,练习：有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数（1）分为两组，一组7人，一组5人；（2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5

17、人；（3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人；（4）分为甲、乙两组，每组6人；（5）分为两组，每组6人；（6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；（7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；（8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；（9）分为甲、乙、丙三组，每组4人；（10）分为三组，每组4人,【探索与研究】,如图，某城市有6纵7横共13条马路，汽车从图示A处行驶至B处，行驶方向规定只能是正东向或正北向，则不同的行驶路径有多少条？,分析：从A行驶到B，共需走11“段”路，其中横路5段，纵路6段，而且我们知道，任意一条路径都是5横6纵共11段路组成从而问题转化为在1

18、1段路径中无顺序地确定5段横路的位置，这是一个组合问题,解：共有条不同的路径,点评：对于较复杂的排列组合问题，充分挖掘出问题的简化模型，往往是我们快捷而准确地解决问题的关键,2.(2016课标全国,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9,答案B分两步,第一步,从EF,有6条可以选择的最短路径;第二步,从FG,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有63=18条可以选择的最短路径.故选B.,3、课堂小结,1.正确区分、合理运用两个计数原理；,2.真正理

19、解排列与组合的区别和联系；排列-顺序；组合-无顺序,3.掌握求解排列、组合的典型方法。间接法、捆绑法、插空法、整体对称法等,补充习题,例6.用0,l,2,3,4,5这六个数字，（l）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数5位数？（3）能组成多少个比1325大无重复数字的四位数？（4）能组成多少个无重复数字的且奇数在奇数位上的六位数字？,解：,（2）符合条件的可分为二类：,第一类：0在个位时有个；,第二类：5在个位时有个；,由分类计数原理得，符合条件的五位数,=216（个）,解：,（3）符合条件的可分为三类：,第一类：千位数字为2、3、4、5时有个；,第二类：千位百位数字为14、15时有个；,由分类计数原理得，符合条件的数共有,=270（个）,第三类：千位百位十位数字为134、135时有个；,例5用0,l,2,3,4,5这六个数字，（l）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数5位数？（3）能组成多少个比1325大无重复数字的四位数？（4）能组成多少个无重复数字的且奇数在奇数位上的六位数字？,解：,（4）先将1，3，5在奇数位上排列，有种，,再将其余3个偶数排在剩余3个位置上排列，共有种，,由分步计数原理得，共有种排法，,=24（个）,而