第14章-LMI工具箱的应用.ppt

1、第14章LMI工具箱的应用,14.1线性矩阵不等式的建立14.2线性矩阵不等式求解器,LMI(linearmatrixinequality)本来是指数学中的线性矩阵不等式，但近年来主要应用在控制理论中，广泛应用于解决系统与控制中的一系列问题。这些问题的解决一般是根据控制理论建立线性矩阵不等式，然后再用Matlab中的LMI工具箱求解（LMI工具箱中的函数一般只能处理固定形式的线性矩阵不等式）。因此，LMI既可以指线性矩阵不等式，更多是是指Matlab中的LMI工具箱。随着解决线LMI内点法的提出以及Matlab中LMI控制工具箱的推广，LMI这一工具已经受到人重视。LMI控制工具箱已经成为了从

2、控制工程到系统识别设计和结构设计等诸多领域的一个强大的设计工具。由于许多控制问题都可以转化为一个LMI,系统的可行性问题，或者是一个具有LMI约束大的凸优化问题，应用LMI来解决系统和控制问题已经成为这些领域中的一大研究热点。LMI控制工具箱，采用内点法的LMI求解器，这些求解器比经典的凸优化算法速度有了显著提高。另方方面，它采用了有效的LMI结构化表示，在求解和计算领域做出了重大贡献。,一个线性矩阵不等式就是具有以下一般形式的矩阵不等式：（1）其中：是给定的对称常数矩阵。是未知的决策变量。但是，线性矩阵不等式更通常的一般形式为：通过适当的代数运算，上式可变为（1）式。,14.1线性矩阵不等式

3、的建立1）setlmis和getlmis一个线性矩阵不等式系统的描述以setlmis开始，以getlmis结束。当要建立一个新系统时，输入：Setlmis当一个线性矩阵不等式系统建好后，输入：lmisys=getlmis2）lmivar用来描述矩阵变量，主要是描述该变量的结构，形式如下：X=lmivar(type,struct)Type=1:描述的X变量具有对称结构。Type=2:描述的X变量具有长方结构。,例如：X1=lmivar(1,31)描述的是X1变量为3X3的对称矩阵。X2=lmivar(2,21)描述的是X2变量为2X1的长方矩阵。3）lmiterm当定义好矩阵变量的结构之后，用l

4、miterm定义一个线性矩阵不等式的内容。考虑以下实例：假设X是对称变量，G、S是对称正定矩阵变量，Y适当维数的变量矩阵，其余均为给定的常量。,lmiterm(111X,1,A,s)lmiterm(112X,B,1)lmiterm(112-Y,1,1)lmiterm(1130,C)lmiterm(122G,-1,1)lmiterm(1230,0)lmiterm(1320,1)lmiterm(2110,1)lmiterm(-211S,1,1)或者采取以下方法：,FF=newlmilmiterm(FF11X,1,A,s)lmiterm(FF12X,B,1)lmiterm(FF12-Y,1,1)lm

5、iterm(FF130,C)lmiterm(FF22G,-1,1)lmiterm(FF230,0)lmiterm(FF320,1)Fg=newlmilmiterm(Fg110,1)lmiterm(-Fg11S,1,1),14.2线性矩阵不等式求解器1）可行性问题寻找变量矩阵，使得满足线性矩阵不等式系统：采用求解器feasp。其一般的表达式为：tmin,xfeas=feasp(lmisys,option,target)该求解器实际上是通过求解如下的一个辅助凸优化问题的可行解：如果在求解过程中，存在tmin0，则系统lmisys是可行的。当系统是可行的，求解器feasp输出的第二个分量xfeas给

6、出了该矩阵不等式系统变量的解。该解可用dec2mat提取得到。,求解器输入量options是一个5维的向量，控制迭代过程的迭代次数、可行域的半径、精度等。一般可不写，取默认值。输入量target为tmin设置了目标值，只要tmintarget，则迭代计算结束。例：求满足的对称矩阵，使得：,clcclearA1=-12;1-3;A2=-0.81.5;1.3-2.7;A3=-1.40.9;0.7-2.0;setlmis();P=lmivar(1,2,1);BR=newlmi;lmiterm(BR11P,1,A1,s);BR=newlmi;lmiterm(BR11P,1,A2,s);BR=newlm

7、i;lmiterm(BR11P,1,A3,s);,BR=newlmi;lmiterm(BR110,1);lmiterm(-BR11P,1,1);lmisys=getlmis;tmin,xfeas=feasp(lmisys);P=dec2mat(lmisys,xfeas,P),结果：SolverforLMIfeasibilityproblemsL(x)R(x)ThissolverminimizestsubjecttoL(x)cdef。求Trace(X)相当于a+c+f，因此c=101001。,lmisys=getlmis;options=1e-5,0,0,0,0;copt,xopt=mincx(

8、lmisys,c,options);X=dec2mat(lmisys,xopt,X)coptxopt,X=-6.3542-5.88952.2046-5.8895-6.28552.22012.20462.2201-6.0771copt=-18.7167xopt=-6.3542-5.8895-6.28552.20462.2201-6.0771,3)广义特征值的最小化问题相应的求解器为gevp。其一般表达式如下：Lopt,xopt=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)nlcf表示含不等式的个数，必须写正确。target时，迭代结束。,在调用gevp

9、时，必须遵循：（1）确定包含的线性矩阵不等式：（注意没有）（2）总是把放在线性矩阵不等式系统的最后。（3）要求。,例：,clcclearA1=-12;1-3;A2=-0.81.5;1.3-2.7;A3=-1.40.9;0.7-2.0;setlmis();P=lmivar(1,2,1);BR=newlmi;lmiterm(BR110,1);lmiterm(-BR11P,1,1);BR=newlmi;lmiterm(BR11P,1,A1,s);lmiterm(-BR11P,1,1);BR=newlmi;lmiterm(BR11P,1,A2,s);lmiterm(-BR11P,1,1);,BR=ne

10、wlmi;lmiterm(BR11P,1,A3,s);lmiterm(-BR11P,1,1);lmisys=getlmis;alpha,xopt=gevp(lmisys,3);alphaP=dec2mat(lmisys,xopt,P)结果：Result:feasiblesolutionofrequiredaccuracybestvalueoft:-0.122107guaranteedabsoluteaccuracy:9.90e-004f-radiussaturation:0.000%ofR=1.00e+008alpha=-0.1221P=5.5789-8.3503-8.350318.6443,

11、例：求解系列各参数矩阵以及参数的最小值：,clcclearA=01;0-0.1;B=0;0.1;C=-0.10;0-0.1;setlmis();X=lmivar(1,2,1);Q=lmivar(1,2,1);R=lmivar(1,2,1);M=lmivar(2,1,2);lmiterm(-111X,1,1);lmiterm(-211Q,1,1);lmiterm(-311R,1,1);lmiterm(-411X,-1,A,s);lmiterm(-411Q,-1,1);lmiterm(-411X,2,1);lmiterm(-411R,-1,1);lmiterm(-412X,-C,1);,lmiterm(-413M,-B,1);lmiterm(-413X,-1,1);lmiterm(414X,1,A);lmiterm(-422Q,1,1);lmiterm(4230,0);lmiterm(424X,1,C);lmiterm(-433R,1,1);lmiterm(434-M,1,B);lmiterm(-444R,1,1);lmisys=getlmis;alpha,xopt=gevp(lmisys,1);alphaX=dec2mat(lmisys,xopt,X)Q=dec2mat(lmisys,xopt,Q)R=dec2mat(lmi