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1、,第五节,一、方向导数,二、梯度,方向导数与梯度,第二章,一、方向导数的定义,（如图）,当沿着趋于时，,是否存在？,记为,证明,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,故有方向导数,或,推广可得三元函数方向导数的定义,解,解,由方向导数的计算公式知,故,例3.求函数,在点P(1,1,1)沿向量,的方向导数.,例4.求函数,在点P(2,3)沿曲线,朝x增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点P的切向量为,例5.设,是曲面,在点P(1,1,1)处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P处沿,求函数,三、梯度的概念,结论,在几何上表示一

2、个曲面,曲面被平面所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,等高线（等值线）,梯度为等高线上的法向量,梯度与等高线的关系：,类似于二元函数，此梯度也是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,梯度的基本运算公式,解,由梯度计算公式得,故,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向l(方向角为,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,思考题,思考题解答,1.设函数,(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向,的夹角.,曲线,1.(1),在点,解,M(1,1,1)处切线的方向向量,2.,函数,在点,处的梯度,解:,则,指向B(3,2,2

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