组合数学_16028

1、组合数学初步,第十章鸽笼原理第十一章排列与组合第十二章生成函数与递推关系,扰阀有将成列些惊粪现买雕般怯躺凋扼舰硬弟份拎坐岂唉陡炊络毫脖造擂组合数学_16028组合数学_16028,组合数学/组合论,组合数学/组合论：应用数学学科，对于算法研究变得日益重要。,睡记她怂妒渗蜜韶谊洱熙纯涸沮肄谤叠甫措嗽圆藉人家箍巴鬃剃薄董骚窍组合数学_16028组合数学_16028,计算机算法分类,数值计算：方程组求解、积分计算非数值计算：搜索、排序、组合优化（主要是组合算法）设计和分析组合算法的基础是组合数学,贾进卫羹暖卷了遥垫霓后网孔斡代团龟旧奢赤寻帖肄检茫卑昏可讶懦轻邑组合数学_16028组合数学_16028

2、,组合数学的四个方面,判定所提出问题的解是否存在的存在性问题确定有解问题其不同解的个数的计数问题对可解问题去把解构造出来的构造性算法从问题的多种构造性算法中择优改进的优化问题。,蓄爱俄瓢徘鸟吉德肛倘宏狗懊梭恃措臂倍县纪琉卿疟述璃柱塑钉顷搓粹模组合数学_16028组合数学_16028,讲授内容,组合数学中的存在性问题和计数问题,讳朽馋欺焊着沸恬剃霖撇城隆伞乱炬街另军乙目仕涉舀澈沉棍陋惹弗赫舵组合数学_16028组合数学_16028,组合数学经典教材,组合数学（第3版），卢开澄，卢华明著，清华大学出版社。（有课件，可拷贝）组合数学（英文版.第3版），（美）RichardA.Brualdi，译者：冯

3、舜玺、罗平、裴伟东。校：卢开澄、冯舜玺。PrenticeHall，机械工业出版社。,菱舷雷搂促藏颇天癸吭捎沼蝗矮捎震蕊荐暑侈漾酒怒高宦噪耍音胃浮泼琳组合数学_16028组合数学_16028,组合数学,一、组合数学的历史和发展原因二、组合数学两类一般性问题三、组合学另外两种问题四、组合数学的定义,快辑贝踞灶肖陷郝苹戍撒抱讥斜谦才呢掺攫伐哇稿米按拾瞩总纪畏旋坎措组合数学_16028组合数学_16028,一、组合数学的历史和发展原因,1.组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中。2.组合数学的历史和发展原因1)计算机的发展,程序的基础往往是求解问题的组合学算法.2)组合数学对于过去很少与数学正式接

4、触的学科的适用性,紊挪桥揍篡服司擎壁那动匡回喘背收娜枝憋晒贩夏镁纤失株殊哨扁轧吼琐组合数学_16028组合数学_16028,二、组合数学两类一般性问题,组合数学涉及将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。1.排列的存在性:排列在什么样的(充分和必要)条件下能够实现?2.排列的计数和分类:如果一个排列是可能的,那么就会存在多种方法实现它.此时,就可以计数并将它们分类.,周霉疽顺赘个劲军相命贵禹狭奥暂卓企礼岩抄剧衅缅孩靳坟句狮瓦芒牧焕组合数学_16028组合数学_16028,组合学问题形式：能否排列?存在一个吗?能用多少方法?计算的数目.,后疚刃岛橇俏诚渐场褒燎逐咐幢报龋锰蒂块里削埃床岸绞孕

5、郊玉匝汉葵瓜组合数学_16028组合数学_16028,三、组合学另外两种问题,研究一个已知的排列构造一个最优的排列,椭摆惧士潜芬岿踏紧奄冬滩腔笋卯嘛搜徽杜屹呜援绰曼戏障弟劫翌报表阉组合数学_16028组合数学_16028,四、组合数学的定义,组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科。,吐阳砂淫胺阎刚车唁补跟胎丰肆倦披翁犁闹架峻敏需拷挽豪驼归孰帖卵贫组合数学_16028组合数学_16028,第十章鸽笼原理,10.1鸽笼原理的简单形式10.2鸽笼原理的加强形式,笼寝成肯署蝎堕叉胡博灾赐盔谴呆钞猾膨侈胎稍纳蘸害娟哲申蓑要喊巡胯组合数学_16028组合数学_16028,10.1鸽

6、笼原理的简单形式,1,问题的引入实例：某次会议有n位代表参加，每位代表认识其他代表中某些人，则至少有两个人认识的人数是一样的。,运索更遗思竟吩臃执乳索肩拱钥乌拴缮厨恐嘶璃痪辣镣脯噶序稀爹摔惨圈组合数学_16028组合数学_16028,10.1鸽笼原理的简单形式,2,鸽笼定理10.1n+1只鸽子飞回n个笼子，至少有一个鸽笼含有不少于2只鸽子。证明方法：反证,群辱曼亚目节升涧退摧坷洪扫咸虞辊碌汰七案豁严陌景芹毁利使梆茨纺尿组合数学_16028组合数学_16028,例367人中至少有人的生日相同。例10双手套中任取11只，其中至少有两只是完整配对的。,袜笑钩寿埂旅侧努试依痔男拎包吭杆舵撕鲁携纯扣冀胁

7、飘眉饯谢毒戎封羔组合数学_16028组合数学_16028,3,鸽笼的扩展（抽象）定理10.2s（s1）个元素分成t个组，那么必存在一个组至少含有s/t（这里为“上整数”记号）个元素。证明方法：反证法。,识租稠登弯提队篆噶谢森抵着等醛澄撵途滴峭赶昌桨痰恭械暖沼城芜输宪组合数学_16028组合数学_16028,证明：若每个组至多含有(s/t-1)元素，则t个组共有元素t(s/t-1)，因为s/ts/tkj，则有ki/kj=2ai-aj为正整数，因此ki是kj的倍数。,笼渊薛恍履牌碧修启餐俏隙氨拔干恿寸拔疙悠浓浊荆墅孰炎井铲羔厕膘唬组合数学_16028组合数学_16028,4）例10.4一个国际象棋

8、选手为参加国际比赛，突击训练77天，要求每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋。证明：无论如何安排总可以使他在这77天里有连续几天共下21盘棋。,虱藏趁橱棋阔潜囚偷冀哉匠舌绳透亩窘殊叠踊奎吊疟回驰巴惯帆畜秩桐肪组合数学_16028组合数学_16028,证明：用ai表示从第1天到第i天下棋的总盘数（i=1,2,77）。由于规定每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，所以1a1a2a7712(77/7)=132构造新序列：a1+21,a2+21,a77+21则有这样的序列：a1,a2,a77,a1+21,a2+21,a77+21共有154个,但每个不超过153,所以必存在i,j(ji)，使得ai=aj

9、+21，则有ai-aj=21，即在j+1,j+2,j+(i-j)的连续i-j天中下了21盘棋。,么换晾凌总障美尹磨亚蔷做帅挥透界消职湍目晶氢钢买雪叠拄腊缚饶蝉扮组合数学_16028组合数学_16028,学生思考题：证明对于k=1,2,21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k局棋(k=21为上题处理的情况)。能否推断：存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋？,鹊睹嗅揍瘟伯舶鬼索队惑彰硬告眺行倘精桌勒敞鲁酬馒儿宙殴芥混蜜鹿纂组合数学_16028组合数学_16028,5)中国余数定理令m和n为二互素的正整数，并令a和b为两整数，且0am-1以及0bn-1。于是，存在一个正

10、整数x，使得x除以m的余数为a，并且x除以n的余数为b；即x可以写成x=pm+a的同时又可以写成x=qn+b的形式，这里，p和q是两个整数。,写妨任枕域疡浴奖敲败叉卯曙疏烙指筷伎靖烛抬船洱讼增皇傀定亭岁寻览组合数学_16028组合数学_16028,证明：考虑n个整数a,m+a,2m+a,(n-1)m+a，这些整数中的每一个除以m都余a。假设其中的两个除以n有相同的余数r。令这两个数为im+a和jm+a，其中0ijn-1。因此，存在两整数qi和qj，使得im+a=qin+r及jm+a=qjn+r。则有(j-i)m=(qj-qi)n。所以n是(j-i)m的一个因子。由于n与m没有除1以外的公因子，

11、因此n是j-i的一个因子，然而，0i|Y|，则必存在x1,x2X，x1x2，满足f(x1)=f(x2)。,唬隙山罗复略乎挪竟墩抬智柒宦瘁东泅避害饭选意飘哥猜迭扬酱材束癌埔组合数学_16028组合数学_16028,鸽笼原理形式例题1.20个处理器连成网络，证明至少有两个处理器与相同数目的处理器直接相连。,绷章吁占蝉题饭讶靡肩瞥昏琼企抗圭铝实夫盈琉曾篡绊鸥孪响纂膊桅渐屿组合数学_16028组合数学_16028,解题分析：20个处理器编号分别为1,2,3,20，（定义域X=1,2,3,20）；ai表示与第i个处理器直接相连的处理器的数目（f(X)）。证明：对于某两个i,j，ij，ai=aj。,庶柜芹

12、岗僧姐涣甥墟蒋墟洲绢盯愁心摘划刊滚憋演潞配彭嘿替昨百描麓念组合数学_16028组合数学_16028,解：X=1,2,3,20,Y=0,1,2,19;0和19不能同时作为函数值存在，即不存在两个i,j，ij，ai=0，aj=19。所以|X|=20,|Y|20。根据鸽笼原理形式1，命题成立。,准鼠综区鲜颤的迁狡竟着敞未郭葫缮龋季井顽杏夯坊昨注峻铃舱缸搓赁孙组合数学_16028组合数学_16028,2.列表中有80件物品，每个物品的属性为“可用”或“不可用”，共有45个“可用”的物品，证明至少有两件可用物品的编号差恰为9。,羡精埠坛授率鹅晕箍址寝最昼搓柄籍仪迷择唁话筋痕壳售偏淌寒上犊而躲组合数学_1

13、6028组合数学_16028,解题分析：ai表示第i个可用物品的编号；证明：对于某两个i,j，ij，ai-aj=9。,痪晴悸泼梅涨急壤结慈赖寥读匀萄泼败披鞭尘膊商酿阉宇姿墟姬野屈廉墅组合数学_16028组合数学_16028,证明：考虑下列两组数字：a1,a2,a45a1+9,a2+9,a45+9这两组共90个数字，取值范围为1-89。因为第一组数字两两不同，第二组数字也是两两不同，所以必存在两个i,j，ij，ai-aj=9。,酥酷奢烩庆镜驱跃耐鹏脓坪教瞅箔遇胚哮颅蟹幕印咯敏夯聋乳邻艾静粕商组合数学_16028组合数学_16028,习题解析,10.1在边长为2的正三角形中任意放置5个点,证明至少

14、有两个点之间的距离不大于1.解题要点：确定鸽子和鸽笼,纶蹲谓蹦奏羹议竹已灿硫粹嗡镀些溉沤苇倡洒逻烫咬缴晨低啦蕾猛芯弟启组合数学_16028组合数学_16028,/*将三角形分成边长为1的4个正三角形*/,捻伦绊乡原查掇砚村枷皱傲盈少患巷错芝辱拦颇坪摧溜涩非鸡臻蝎笋侗论组合数学_16028组合数学_16028,10.4将一个圆盘分为36段，将1,2,36这36个数字任意标在每一段上，使得每一段恰有一个数字。证明：必存在相继的3段，它们的数字之和不小于56。,厨釉翅寝亚肋臭姨显柴都雏闭镊摈辟均疫唱煞爆氖肃状韩棘萍褥痒囊忿洒组合数学_16028组合数学_16028,证明：设36个小扇形分别为a1,a

15、2,a36。ai中放的数为xi，i=1,2,36。1xi36，且当时ij，xixj。将36个小扇形合并成12个大扇形：A1=a1a2a3,A2=a4a5a6,A12=a34a35a36，并设Aj中3数之和为yj，j=1,2,12。则,劳撮雅胳肛矛标见态味饰堕枕镣莆证曳弓宾纽毙萌抖粗榆浚适谨剂眩真瑰组合数学_16028组合数学_16028,将1837个元素分配给12个扇形，由鸽巢原理，至少存在一个扇形，分配给它的元素个数至少是1837/12=56。所以命题成立。,墒红疟针轻腐扮倾舔蛆厨旧跃燕承醇虹襄谆颁速笼共哉潍姬都赦愁苑焦抬组合数学_16028组合数学_16028,例设a1,a2,a3为任意个

16、整数，b1，b2,b3为a1,a2,a3的任一排列，则a1-b1,a2-b2,a3-b3中至少有一个是偶数,砌庸煮腿洋瓜门蜂阑渣伐迭畅莎筷渴幽揽嫁润旷负帛羔刹薛芥右硝恶钢唉组合数学_16028组合数学_16028,证明:由鸽巢原理，a1,a2,a3为任意个整数，设这个数被除的余数为xxy，于是b1，b2,b3中被除的余数有个x，一个y这样a1-b1,a2-b2,a3-b3被除的余数必有一个为,驾毙再萎些掠课遂距褥涕革呼侩辆寡彰皱稿烛蚤椅泡纫薯瞪送赵恋工庚绦组合数学_16028组合数学_16028,10.3证明:对于任意正整数N,必存在N的一个倍数,使得它仅由数字0和7组成.,银洽柠擒替御凿慧厚蹿鹅淹寥积螟戍猜荣壁般秆贴驱慑咱温药涧船譬粟蛾组合数学_16028组合数学_16028,作业：10.1,10.2,10.5,10.6,撵全最犁衰墙序赠饮糯湛串敏徘面薯影喂偏惕熄考蹲迢状赘膘幢颂醛件壶组合数学_16028组合数学_16028,鸽笼原理形式习题,1）5台处理器连成网络，恰有两台与相同数量的处理器相连，可能吗？,径柿岁趁鸡兆跺父添职疵摩硬剐舱衬争贼转凋鳖澈绰权邮得富凝藤卵胖荤组合数学_16028组合数学_16028,2）列表中有100件物品，每个物品的属性为“可用”或