第五章 系统的稳定性

1、1,第五章系统的稳定性,系统能正常工作的首要条件,5.1系统稳定性与稳定条件5.2Routh（劳斯）稳定判据5.3Nyquist（奈奎斯特）稳定判据5.4Bode（伯德）稳定判据5.5系统的相对稳定性5.6利用MATLAB分析系统的稳定性,2,系统不稳定现象,例：液压位置随动系统,原理：外力阀芯初始向右位移Xi(0)阀口2、4打开活塞右移阀口关闭（回复平衡位置）（惯性）活塞继续右移阀口1、3开启活塞左移平衡位置（惯性）活塞继续左移阀口2、4开启,随动：活塞跟随阀芯运动惯性：引起振荡振荡结果：,减幅振荡（收敛，稳定）,等幅振荡（临界稳定）,增幅振荡（发散，不稳定）,5.1系统的稳定性与稳定条件,

2、3,5.1系统的稳定性与稳定条件,结论：系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数），与输入无关不稳定现象的存在是由于反馈作用稳定性是指自由响应的收敛性,定义：,收敛（回复平衡位置）,发散（偏离越来越大）,4,系统稳定条件,线性定常系统：,si:系统的特征根,5,系统稳定条件,当系统所有的特征根si（i=1，2，n)均具有负实部（系统闭环传递函数的所有极点均位于s平面的左半平面）,若有任一特征根sk具有正实部（若有一个或一个以上的极点位于s平面的右半平面）,6,系统稳定条件,若有特征根sk=j（位于s平面的虚轴上），其余极点位于s平面的左半平面,若有特征根sk=0（位于s平面的原点），其余极点位

3、于s平面的左半平面,简谐运动,7,系统稳定条件,结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特征根。,线性定常系统稳定的充要条件：系统的全部特征根均具有负实部（闭环传递函数的全部极点均位于s平面的左半平面）。,8,如何判别？,求出闭环极点？,实验？,高阶难求,如果不稳定，可能导致严重后果,思路：,特征方程根的分布（避免求解）开环传递函数闭环系统的稳定性（开环极点易知，闭环极点难求）,9,5.2Routh（劳斯）稳定判据,代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）,系统稳定的必要条件,设系统特征方程为：,因为,比较系数：,系统稳定的必要条件：各系数同号且不为零,10,系统稳定的充要条件,特征方程

4、：,Routh表：,其中：,Routh判据：Routh表中第一列各元符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数。系统稳定的充要条件:Routh表中第一列各元均为正值,且不为零。,Ai值为0时停止,Bi值为0时停止,计算至s1行停止,F1=a0,11,二阶系统(n=2)稳定的充要条件为：a20,a10,a00,三阶系统(n=3)稳定的充要条件为：a30,a20,a10,a00,a1a2a0a30,推导：,12,Routh表：,第一列各元符号改变次数为2，因此系统不稳定系统有两个具有正实部的特征根,13,例2已知=0.2及n=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。,D(s)=s3+3

5、4.6s2+7500s+7500K=0,由系统稳定的充要条件，有(1)7500K0，亦即K0。显然，这就是由必要条件所得的结果。(2)，亦即K34.6。故能使系统稳定的参数K的取值范围为0K34.6。,系统开环传递函数：,系统闭环传递函数：,特征方程：,即：,14,3.Routh判据的特殊情况,(1)如果Routh表中任意一行的第一个元素为0,而其后各元均不为0或部分不为0,则在计算下一行各元时，结果.,用一很小的正数来代替,Routh表：,第一列各元符号改变次数为2，因此系统不稳定系统有两个具有正实部的特征根,15,3.Routh判据的特殊情况,(2)如果Routh表中任意一行的所有元均为0

6、.,则该行由上一行构成的辅助多项式的导数的系数组成.,Routh表：,系统不稳定,系统包含一个具有正实部的特征根!,例5系统的特征方程D(s)=s5+2s4+24s3+48s225s500,试用Routh表判别系统的稳定性,辅助多项式F(s)=2s4+48s250,F(s)=8s3+96s,8,96,符号改变一次,16,5.3Nyquist稳定判据,几何判据（利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性）,幅角原理,Ls：s平面上一封闭曲线（不经过F(s)的奇点）,设有复变函数：,幅角原理：按顺时针方向沿Ls变化一周时，F(s)将绕原点顺时针旋转N周，即包围原点N次。N=Z-PZ：Ls内的F(s)的零

7、点数P：Ls内的F(s)的极点数,17,开、闭环零极点与F(s),取F(s)=1G(s)H(s)=1+Gk(s),线性定常系统稳定的充要条件:GB(s)在s的右半平面没有极点,18,s平面上的封闭曲线的选取,F(s)与GH平面上的Nyquist轨迹,F(s)=1+GH,s沿虚轴L1：s=j，（从到+）；LGH：G(j)H(j)s沿L2：|s|；LGH：,LF包围原点的圈数=LGH包围（1，j0）点的圈数,N=Z-P,当F(s)的极点在原点时,19,当由到+时，若GH平面上的开环频率特性G(j)H(j)逆时针方向包围（1，j0）点P圈，则闭环系统稳定。（P为G(s)H(s)在s平面的右半平面的极

8、点数）对于开环稳定的系统，有P=0，此时闭环系统稳定的充要条件是:系统的开环频率特性G(j)H(j)不包围（-1，j0）点。,确定开环极点数P作G(j)H(j)的Nyquist图运用判据,Nyquist判据,应用Nyquist判据判断闭环系统稳定性的步骤:,20,例1由系统开环Nyquist图判断其闭环系统的稳定性,闭环稳定,闭环不稳定,21,例2,开环不稳定，闭环稳定,解：由题可知P=1,其中,Ta、Tb、T1、T2、T3均大于0，02评价系统的相对稳定性必须同时考虑相位裕度和幅值裕度二指标。,33,例1,，当0+时，分析闭环系统的相对稳定性,P=0,相位裕度较大，但幅值裕度Kg太小，故系统

9、稳定程度很低。,34,例2,27,+9.5dB,-10.5,试分别求取K=10及K=100时的相位裕度和幅值裕度Kg(dB),-22.5,35,5.6利用MATLAB分析系统的稳定性,1.利用MATLAB求系统的特征根系统的特征方程D(s)=s5+2s4+24s3+48s225s500den=122448-25-50roots(den),2.利用MATLAB分析系统的相对稳定性,试分别求取K=10及K=100时的相位裕度和幅值裕度Kg(dB),36,2.利用MATLAB分析系统的相对稳定性,试分别求取K=10及K=100时的相位裕度和幅值裕度Kg(dB),den=conv(15,110);K=10;num1=K;%Gm1Pm1Wg1Wc1=margin(num1,den);%K=100;num2=K;mag,phase,w=bode(num2,den);Gm2