ch7.4 幂级数

1、1,在函数项级数中,有一类十分特殊的级数,它的每一项都是x的幂函数,即.,一.幂级数的概念,7.4幂级数,定义4,的级数,分别称为,称为幂级数的系数.,项级数为幂级数.,我们称这种函数,x的幂级数,与(x-x0)的幂级数.,其中,2,注1因经变换后,幂级数(1)与(2)可相互转化,故下面主要讨论形式(1)的幂级数.,同常数项级数相类似,有如下定义:,称函数,为幂级数,并称函数,为幂级数,注2对于任何幂级数,3,定义4若幂级数,收敛,则称x0为幂级数(1)的,若幂级数,发散,则称x0为幂级数(1),在幂级数中,称全部收敛点构成的集,合为幂级数(1)的收敛区域.,幂级数发散区域.,为幂级数的和函数

2、.并记为,收敛点.,的发散点.,称全部发散点构成的集合为,注3对于任何幂级数在其收敛域内任取一点,均可得一,个收敛的数项级数,从而有一个确定的和.,故在幂级数的,收敛域上,幂级数的和是一个,关于x的函数,这个函数称,4,的收敛域为D,则对收敛域中任意,注5怎样确定幂级数的收敛域呢?,若幂级数满足,则由比值判别法有,则绝对收敛;,发散;,注4若幂级数,的x,恒有,5,敛散性待定.,则幂级数的收敛区域为,长为半径且有可能,0,绝对收敛,敛散待定,敛散待定,发散,发散,x,即是一个以原点为中心,以,的区域.,包含端点,6,定义5称区间,的收敛区间,为幂级数,记为R.则有,称数,为幂级数,的收敛半径，

3、,注6求幂级数的收敛域的步骤是:,(1)求出收敛半径,得收敛区间为(-R,R).,7,(2)判断x=R时,幂级数和,(3)写出幂级数的收敛区域.,注7(1)当R=0时,幂级数,(2)当R=+时,幂级数,(3)幂级数的收敛半径满足,的敛散性;,只在x=0收敛.,此时收敛区间为(-,+).,对于一切x均收敛,0R+.,8,例17求下列幂级数的收敛半径及收敛域:,下面考察x=1时幂级数(1)的敛散性:,当x=1时,幂级数(1)变为,当x=-1时,幂级数(1)变为,故原级数收敛域为1,1.,是绝对收敛的;,是收敛的;,9,故原级数收敛域为(,).,注8我们所说的“求幂级数的收敛半径及收敛区域”都是,如

4、,对标准幂级数,而言的;但形,非标准幂级数,下步骤求收敛半径和收敛区域:,直接用上述方法求,收敛半径和收敛区间,却不能,而只能是采用如,第(3)题请同学们课后做.,R=2,收敛域-2,2),10,第一步:用变量代换把它们化为标准幂级数,如令变量代换,第二步:求变换后的新的标准幂级数的收敛半径及收敛区间;,第三步:将新的标准幂级数的收敛半径和收敛端点回代到变量代换中去,求出原级数的收敛区域.,或正项级数的判断方法去判断,11,例18求下列幂级数的收敛半径及收敛域:,则原级数变为,则此幂级数的收敛区间为(-1,1).,而当t=-1时,级数收敛;,而当t=1时,级数发散.,故当-12x+11时,即-

5、1x0时,级数,收敛.,12,即原级数收敛域为-1,0),则原级数变为,由(1)知,则此幂级数的收敛区间为-1,1).,时,原幂级数收敛.,即原级数收敛区间为-2,2),收敛半径为,收敛半径为R=2.,13,系数之比的极限求收敛半径，直接用正项级数的比值法求收敛区间.,时,原级数收敛.,故原级数收敛半径为,当时,原级数化为,即原级数收敛域为,当,发散.,缺奇次幂，所以不能用,14,则原级数化为,故原级数收敛半径为,时,原级数化为,即原级数收敛域为,当,发散.,15,请同学们课后求下列幂级数的收敛域:,16,的和函数,二.幂级数的运算性质,下面仅仅列出各条性质,略加说明,而不予证明.,性质1若幂

6、级数,的收敛半径为R1,幂级数,的收敛半径为R2,则在区间(-R,+R)内,时,有,讨论幂级数的性质,指的是幂级数,在求解具体问题时,这些运算起着十分重,s(x)的性质.,同一般函数类似,幂级数也有加减乘除微分,与积分等运算.,要的作用.,收敛,且当,17,注9两个收敛的幂级数在它们较小的收敛区间上可以逐项相加.,性质2(和函数的连续性),的收敛半径为R,则其和函数S(x),设幂级数,内连续,注10此性质说明极限符号lim与无穷和符号可交换,性质3(逐项微分),在,设幂级数,的和函数为S(x),收敛半径为R,18,则S(x)在(R,R)内可微,且,性质4(逐项积分),设幂级数,的和函数为S(x

7、),收敛半径为R,则S(x)在(R,R)内可积,且,19,注11和函数在收敛区间内,积分符号和无穷和符号可交换次序.,可逐项求导,逐项积分且求导,积分后所得幂级数的收敛半径仍为R,即求导运算符号与,注12幂级数经逐项求导和逐项积分后所得的新幂级数在x=R处的收敛问题,一般有,(1)若在x=R或x=-R处收敛,则逐项求导后的新幂级数,但逐项求导后的,新幂级数,如幂级数,在x=1处都收敛,在x=1处却发散;,不一定仍在x=R或x=-R处收敛.,20,(2)若在x=R或x=-R处收敛,则逐项积分后,必在x=R或x=-R处收敛.,的新幂级数,则级数,在x=R或x=-R,(3)如果逐项求导后的新幂级数在

8、x=R或x=-R处收敛,处也成立.,注14以下利用已知的几何级数,来求一些幂级数的和函数.,请同学们记住这些结论!,21,例19求下列级数的和函数,并给出和函数的定义域:,与几何级数比较知,上式是几何级数逐项求导所得,(-1x1),22,与几何级数,上式是几何级数逐项积分所得,(-1x1),比较知,由几何级数,23,24,例20求下列幂级数的收敛域及和函数:,解设,(-1x1),则此幂级数的收敛区间为(-1,1).,而当x=1时,级数,故收敛区域为(-1,1).,发散.,25,将原级数逐项积分有,再将级数S1(x)逐项积分有,对上式两端求导有,对此式两端再求导有,(-1x1),26,所以幂级数的收敛域为-1,1.,则当,时，有,两端求导有,2