微积分第三章导数与微分

1、.,第三章导数与微分,3.1导数的概念,3.2导数基本公式和求导运算法则,3.3链法则与隐函数的导数,3.4高阶导数,3.5微分,3.6边际与弹性,.,3.1导数的概念,引例1、变速直线运动的瞬时速度,一、引例,.,（1）当物体作匀速运动时,（2）当物体作变速运动时,.,引例2平面曲线的切线斜率,割线MN,切线MT,.,割线MN的斜率为：,当x0时动点N将沿曲线趋向于定点M从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT,即割线MN的极限位置就是曲线L在点M处的切线MT.,切线MT的斜率为：,.,二、导数的定义,.,.,.,.,注意,.,.,三、导数的几何意义,.,.,四、左、右导数,.,.,例3.讨

2、论函数,解,思考,.,五、可导性与连续性的关系,即,定理,.,问题：连续是否一定可导？,结论,函数在其可导的点处一定连续,函数在其连续的点处不一定可导,函数在其不连续的点处一定不可导,.,注意,（1）曲线,处是尖点,在点,（2）曲线,在点,在点,（3）曲线,间断,处有,垂直切线,处,.,P89:T8；P106：T1(1)；T2；T5.,作业,.,因为,处函数无定义，所以该点处函数间断,第二类无穷间断点.,所以,是函数的可去间断点，,作业讲评P88.5(2),.,P89.6.,(5).解法1：,解法2：原式=,.,解法3：,而,解法4：,.,解法1：,而,解法2：,P89.6.,.,.,六、利用

3、导数定义求极限,例4：,解,.,.,练一练,解答,.,注意,分段函数分段点的导数必须用定义求,例5：设函数,解,因为,.,例6：,解,.,.,方法一：,例7：,解,.,.,方法二：,.,.,例10:,解:,.,3.2求导基本公式与求导运算法则,一、求导基本公式,解,.,解,.,解,特别地:,.,解,正弦函数的导数等于余弦函数.,类似得,余弦函数的导数等于负的正弦函数.,.,二、四则运算求导法则,.,.,.,证毕.,.,例5.,解,.,解:,例6,.,常用公式：,例7.,解,.,练一练,解答,.,P117:T5(6),(9);T6(2);T8.,作业,.,三、反函数的求导法则,.,.,解:,例8

4、.,.,解,例6.,.,四、导数的基本公式,.,.,.,3.3链法则与隐函数的导数,一、复合函数求导法则（链法则）,猜想,.,.,.,.,解:,例1,求下列函数的导数,.,.,注意,.,解,例2,.,解,例3,.,.,例4,解,或,.,复合函数的求导法则可以推广到多重复合的情形.,设,则,或,.,解,.,.,这里求y对x的导数是从外向里经过每个中间,在熟悉了法则之后,运算就不必写出中间变量,变量的导数最后导到x上.因此对复合函数求导,搞清楚复合层次后,只要从外层向里层逐层求导,即可.,.,解,.,易犯的错误,.,例7,.,例8,求,解,.,例9,解,.,例10,解,.,小结,复合函数求导首先必

5、须搞清函数是怎样复合的.,求导时由外到里逐层求导.,注意:一定要到底,不要遗漏,不要重复.,.,例11,例12,.,练一练,.,解答,.,P127:T3(3),(7),(10),(15),(20).,作业,.,.,称这类函数为隐函数.,二、隐函数求导法,又如，,.,解,例12,.,解,例13,.,解,例14,.,小结,方程两边对,隐函数的求导方法:,视,为,的函数,由复合函数求导法则,的方程,解出即可.,得到关于,注意:结果中既含也含.,.,练一练,解答,解,.,三、对数求导法,两类函数,有简便求,先给这些函数取对数,然后再求导就可使求导运算,简便多了,这种先取对数然后再求导的方法就叫对数求,

6、导法.,.,解,例15,.,例16求,的导数.,解解法1两边取对数,化为,两边对x求导,.,解法2将函数化为复合函数,.,.,.,.,.,.,.,例21,.,小结,对数求导法,常用于多因子乘幂求导，或幂指函数求导.,对数求导法的步骤:,1).函数式两边取自然对数;,.,四、分段函数求导法,解:,.,.,易犯的错误,.,.,练一练,解答,解,.,P128T4(4)；T5；T6(1),(2).,作业,.,3.4高阶导数,一、高阶导数,记作：,或,即,类似地二阶导数的导数，叫做的三阶导数，,记作：,或,.,三阶导数的导数，叫做四阶导数，,记作：,或,记作：,或,二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,.

7、,例1y=(1+x2)arctanx求y,解,例2,证明,所以y3y1,.,二、隐函数的二阶导数,例3,解,.,解：方程两边同时对x求导,上式两边同时再对x求导,例4,.,三、几个初等函数的n阶导数,解,类似地有,.,.,.,得到,.,.,.,由上面各阶导数可以得到,.,四、高阶导数的运算公式,函数和差的n阶导数,(uv)(n)u(n)v(n),函数积的n阶导数,这一公式称为莱布尼茨（Leibniz)公式,用数学归纳法可以证明：,.,上面这些导数外表和二项展开式很相似，如果设,.,.,小结,高阶导数的求法,(1)逐阶求导法,(2)利用归纳法,(3)间接法,利用已知的高阶导数公式,如,(4)利用

8、莱布尼兹公式,.,练一练,.,解答,.,.,例,.,作业,P133:T1(4),(8);T4(2),(3);T7.,.,3.5微分,一、微分的概念,设薄片边长为x,面积为S,则,当x在,取,面积的增量为,关于x的线性主部,故,称为面积函数在的微分,.,定义:,.,.,(充分性),即,.,函数yf(x)在任意点x的微分称为函数的微分记作dy或df(x)即dyf(x)Dx,例如dcosx(cosx)DxsinxDx,dex(ex)DxexDx,.,因为当y=x时dy=dx=(x)Dx=Dx所以通常把自变量x的增量Dx称为自变量的微分记作dx即dxDx,因此函数yf(x)的微分又可记作,于是有可微与

9、可导的关系,函数f(x)在点x0可微函数f(x)在点x0可导函数在点x0的微分为,.,切线纵坐标的增量,微分的几何意义,.,增量与微分的关系,由微分定义知,例如,求在,解：,.,二、基本微分公式与微分法则,可得基本初等函数的微分公式：,.,例1.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意:数学中的反问题往往出现多值性.,.,微分运算法则,设u(x),v(x)均可微,则,(C为常数),分别可微,的微分为,微分形式不变性,5.复合函数的微分,则复合函数,由此可见无论u是自变量还是中间变量微分形式dyf(u)du保持不变,.,.,例4若方程xy=co

10、sy-x2确定y=f（x）,解一：两边对x求导,解二：两边同时微分,.,.,.,解：两边同时微分,例8若方程（arcsinx）lny-e2x+tany=0确定y=f（x），求,.,例9设,解：,.,例10,解：,.,练一练,解答,解,.,三、微分在近似计算中的应用,由微分定义知,(1),即,.,在(2)式中令,(4),.,.,例13计算sin3030的近似值,解,有sin(x0Dx),sinx0cosx0Dx,sin3030,即sin303005076,.,.,且离切点越近近似程度越好.,.,近似公式表示曲线,附近,可用切线.,在切点,近似曲线，且离,切点越近近似程,度越好.,.,练一练,解答

11、,.,类似可证,当,很小时,有近似公式:,.,如,解,.,作业,P142:T6(4),(6),(9);T7(2).,.,例11,解,.,习题讲评P134,4（2）,解,方法1,.,方法2,.,3.6边际与弹性,一、边际的概念,.,.,.,.,.,.,.,.,.,因为边际量是一个绝对变化量，不能反映变化程度的大小，比如某商品的价格上涨1%时，需求量将如何变化？投资增加一个百分点时，国内生产总值将增加百分之几？等等，为此，我们引入一个无量纲的相对变化量，即弹性.,二、弹性函数,.,1、弹性的概念,弹性的意义：,.,.,.,幂函数在任意点的弹性不变称为不变弹性函数.,.,2、弹性的经济应用,(1)需求价格弹性,说明,.,即需求量下降的幅度将大于价格上升的幅度；,即