指数对数幂函数知识点总结

1、指数对数幂函数知识点总结 高考数学（指数、对数、幂函数）知识点总结2 人：沈兴灿 审核人：沈兴灿 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN * n ? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作?0。 当n是奇数时，an?a，当n是偶数时，nan?|a|?2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ?a(a?0) ?a(a?0) a?am(a?0,m,n?N*,n?1)a ?mn mn ， ? 1a mn ? 1 am (a?0,m,n?N*,n?1) ? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3实数指数

2、幂的运算性质(1) ar?as?ar?s(a?0,r,s?R). (2)(ar)s?ars(a?0,r,s?R).(3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?R). （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在a，b上，f(x)?a(a?0且a?1)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a)； （2）若x?0，则f(x)?1；f(x)取遍所有正数当且仅当x?R； （3）对于指数函数f(x)?a

3、(a?0且a?1)，总有f(1)?a； 二、对数函数 （一）对数 1对数的概念：一般地，如果a?N(a?0,a?1)，那么数x叫做以a为底N的对 x x x 数，记作：x?logaN（a 底数，N 真数，logaN 对数式） 说明：1 注意底数的限制a?0，且a?1； 2 ax?N?logaN?x；规律：底数a保持不变 3注意对数的书写格式 两个重要对数：1 常用对数：以10为底的对数lgN； 2 自然对数：以无理数e?2.71828?为底的对数的对数lnN ? 指数式与对数式的互化。规律：底数a保持不变 幂值真数 （二）对数的运算性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是0，即loga

4、1?0(a0,且a1)；特殊地：ln1?0 (3)底的对数是1，即logaa?1(a0,且a1)；特别地：lne?1（三）对数运算法则。若a0，a1，M0，N0，则 M ?logaM?logaN; N 1 (3)logaMn?nlogaM(n?R). (4)logaN?logaN n (1)loga(MN)?logaM?logaN; (2) loga（5）对数的换底公式 logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0). logma nn 推论 logamb?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0). m1 logab? (a0,且 b0). logb

5、alogaN? （6）指数恒等式：a（由a b logaN ?N a logN ?N，b?logaN,将代入得a?N） （7） 对数恒等式：logaa?nlogaa?n(n?R) （四）对数值的正负判断规律： 对数logaN的底数a与真数N同属于区间(0,1)或（1，+）时logaN?0 例：log0.30.8?0;例：log0.38?0; n log32?0 log1.60.7?0 对数logaN的底数a与真数N分别属于区间(0,1)或（1，+）时logaN?0 （五）对数函数 1、对数函数的概念：函数y?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数，其中x是自变量， 函数的定义域是（0，+）

6、 注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y?2log2x， y?log5 x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 5 2 对数函数对底数的限制：(a?0，且a?1) 4几个特殊值为底数的函数图象： 三、幂函数 ? y?x(?R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，?是常数。 1定义：形如 注意：幂函数与指数函数有何不同？ 【提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置 2由具体幂函数的图像和性质： 归纳：幂函数在第一象限的性质： ?0，图像过定点（0,0）（1,1），在区间(0,?)上单调递增。 ?0，图像过定点（

7、1,1），在区间(0,?)上单调递减。 附：拓展探究*(有余力的同学可以思考)： 整数m,n的奇偶与幂函数y?x系？（先转化为根式再判断） mn mn (m,n?Z,且m,n互质)的定义域以及奇偶性有什么关 结果：形如y?x(m,n?Z,且m,n互质)的幂函数的奇偶性（1）当m，n都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称； （2）当m为奇数n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称； （3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内. 知识点一：根式、指数幂的运算 1、根式的概念：若x?a，则x叫做a的次方根， n?1,n?N n ? ? ? （1）当n为奇数时

8、，正数的n次方根为正，负数的n次方根为负，记作na； （2）当n为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数），记作 （3）负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 2、n次方根的性质：（1 ） n ?an为奇数 ?a； （2 ? ?|a|n为偶数 3、分数指数幂的意义：（1 ）a?； （2 ）a mn m?n ? 1a mn ? a?0,m,n?N ? ,n?1? 注意：0的正指数幂等于0，负指数幂没有意义. 4、指数幂的运算性质：?a?0,b?0,r,s?R? rrs )ras?a? (1a；(2)a ? s ?ars； (3)?ab?arbr r 知识点二：对数与对数运算 b 1、指数式

9、与对数式的互化：a?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0) 2、几个重要的对数恒等式 （1）负数和0没有对数； （2）loga1?0（a?1） （3）logaa?1（a?a）； （4）对数恒等式：a3、对数的运算性质 （1）loga(MN)?logaM?logaN； （2）loga n 1 logaN ?N M ?logaM-logaN； N logmN ； logma （3）logaM?nlogaM(n?R)； （4）换底公式：logaN? （5）logab?logba?1 ； （6）logab?logbc?logac ； （7）logab?logbc?logcd?logad ； （8

10、）logambn?n logab； m 知识点四：对数函数及其性质 x 注：指数函数y?a与对数函数y?logax互为反函数 （1）互为反函数的两函数图象关于y?x对称， 即(a,b)在原函数图象上，则(b,a)在其反函数图象上； （2）互为反函数的两函数在各自的定义域上单调性相同。 知识点五：复合函数的单调性 1、增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数； 2、若g(x)?kf(x)， 则k?0时，g(x)与f(x)单调性相同；k?0时，g(x)与f(x) 单调性相反； 3 、若g(x)?4、若g(x)?a g(x)与f(x)单调性相同（注意f(x)?0）； f(x) ，则a?1时，g

11、(x)与f(x)单调性相同；0?a?1时，g(x)与f(x) 单调性相反； 5、若g(x)?logaf(x)， 则a?1时，g(x)与f(x)单调性相同； 0?a?1时，g(x)与f(x)单调性相反；（注意f(x)?0）知识点六： 幂函数及性质 ? 幂函数y?x的性质：（第一象限内） （1）所有的幂函数在(0,?)都有定义，都过点(1,1)； （2）?0时，在0,?)上递增，且又都过(0,0)； ?0时，且在(0,?)上递减； （3）0?1时，图象上凸；?1时，图象下凹； （4）在直线x?1的右侧，指数越大，图象越高。 一、 幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂：负整数指数幂： an?a?a

12、.a(n?N)? n 零指数幂：a?1(a?0) a?p? 1 (a?0,p?N)ap 分数指数幂：正分数指数幂的意义是：a?a?0,m,n?N,且n?1) ?m m a 负分数指数幂的意义是：2、幂函数的定义 ? 1a mn ? a?0,m,n?N,且n?1) a y?x一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数 的情况) 3、幂函数的图象 幂函数y?xa 111 a?,1,2,3a?2,?1,? 322时的图象见上图： 当时的图象见左图；当由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： y?xa有下列性质： (1)a?0时： 图象都通过点(0,0)，(1,1)

13、； 在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0,?)上是增函数 (2)a?0时： 图象都通过点(1,1)； 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0,?)上是减函数； 在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近 (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点 二、指数函数 定义：函数y?a(a?0,且a?1)称指数函数， 1）函数的定义域为R； 2）函数的值域为(0,?)； 3）当0?a?1时函数为减函数，当a?1时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,a).

14、 5）抽象性质： f(x?y)?f(x)?f(y),f(x?y)?f(x)/f(y) x 三、对数函数 如果ab?N（a?0，a?1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN?b ab?N?logaN?b（a?0，a?1，N?0） 1对数的性质 loga?MN?logaM?logaN loga M ?logaM?logaN N N?0，a?0，a?1）logmbn?logaMn?nlogaM（M?0，a n logab（ a, b m 0且均不为1） 2换底公式：logaN? logmN ( a 0 , a ? 1 ；m?0,m?1) logma 常用的推论： （1）logab?logba?1 ；logab?logbc?logca?1 n （2）logamb? n gllogab （a、b?0且均不为1） o m 1?ogl1m Nogl?a m n Na （3）loga1?0，logaa?1 （4）对数恒等式alogaN? N 一、对数函数的图像及性质 函数y?logax（a?0，a?1）叫做对数函数 对数函数的性质：定义域：(0,?)； 值域：R； 过点(1,0)，即当x?1时， y?0 当a?0时，在（0，?）上是增函数；