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文档简介
1、平面向量的数量积,秦皇岛市职业技术学校李天乐,一、引入:,一个物体在力F的作用下产生的位移s,那么力F所做的功应当怎样计算?,力做的功:W=|F|s|cos,是F与s的夹角,向量的数量积,1两个非零向量夹角的概念,说明:(1)当0时,a与同向;,(2)当时,a与反向;,(3)当/2时,a与垂直,记a;,(4)注意在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.范围0180,已知非零向量a与,作a,则(0)叫a与的夹角.,平面向量数量积(内积)的定义:,已知两个非零向量a与,它们的夹角是,则数量|a|b|cos叫a与的数量积,记作ab,即有ab=|a|b|cos,().,规定0与任何向量的数量积为0
2、。,探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别,(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所决定。,(2)两个向量的数量积称为内积,写成ab;符号“”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“”代替.,(3)在实数中,若a0,且ab=0,则b=0;在数量积中,若a0,且ab=0,能不能推出b=0?为什么?,(4)由ab=bc能否推出a=c?,(5)在实数中,有(ab)c=a(bc),但是(ab)ca(bc)显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般a与c不共线。,3“投影”的概念:定义:|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。,投影也是一个数量
3、,不是向量;,当为锐角时投影为正值;,当为钝角时投影为负值;,当为直角时投影为0;,当=0时投影为|b|;,当=180时投影为|b|。,4向量的数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。,5两个向量的数量积的性质:,设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量。,1ea=ae=|a|cos,2abab=0,3当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=|a|b|。,特例:aa=|a|2或,4cos=,5|ab|a|b|,例1判断正误,并简要说明理由.a00;0a0;0;aa;若a0,则对任一非零有a0;a0,则a与中至少有一个为0;对任意向量a,都有(a)a();a与是两个单位向量,则a.,例2已知a3,6,当a,a,a与的夹角是60时,分别求a.,例3判断下列命题的真假:在ABC中,若,则ABC是锐角三角形;在ABC中,若,则ABC是钝角三角形;ABC为直角三角形的充要条件是,例3判断下列命题的真假:在ABC中,若,则ABC是锐角三角形;在ABC中,若,则ABC是钝角三角形;ABC为直角三角形的充要条件是,例4试证明:若四边形ABCD满
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