8-代数学的新生

1、十九世纪的数学欧洲,18世纪下半叶至19世纪初，数学家面临一些长期悬而未决而又急需解决的问题：高于四次的代数方程的根式求解问题欧几里得几何中平行公理的证明问题牛顿、莱布尼兹微积分算法的逻辑基础问题它们在19世纪获得圆满解决，下面三章分别介绍19世纪代数、几何、分析的发展。,8代数学的新生,代数方程的可解性与群的发现从四元数到超复数布尔代数代数数论,8代数学的新生,8.1代数方程的可解性与群的发现拉格朗日（Lagrange，17361813）第一个宣称：不可能用根式解四次以上方程，但未证明阿贝尔（Abel，18021829）著论代数方程，证明一般五次方程的不可解性（1824）实际上引进了“域”的

2、概念伽罗瓦（Galois，18111832）于1829年建立了方程根式可解的充分必要条件，他引进了“群”的概念,高次方程根的求解,古巴比伦人已经掌握了二次方程的解法.中世纪阿拉伯数学家花拉子米第一次给出了一元二次方程的公式解,即通过对方程的系数进行一定的加减乘除乘方与开方运算，可以把方程的根表示出来到十六世纪上半叶意大利数学家成功解决三次方程与四次方程公式解问题，这极大鼓舞了当时的数学家，他们立刻开始研究高次方程问题这种努力持续了两个半世纪之久，而没有获得成功历史上，第一个明确宣布“不可能用根式解四次以上方程”的著名数学家是拉格朗日。拉格朗日试图得出这种不可能的证明，没有获得成功，他不得不坦言

3、这个问题“是在向人类智慧挑战”。,高次方程根的求解,迎接这一挑战的是拉格朗日的文章发表半个世纪后来自挪威的一位年轻人。1824年，年仅22岁的年轻数学家阿贝尔严格证明了五次方程的不可解性。在阿贝尔之后，数学家所面临的一个问题就是：什么样的方程能用根式求解？稍后，这个问题被一位同样年轻的法国数学家伽罗瓦解决了，建立了方程根式可解的充分必要条件，从而宣告了历经300年之久的难题方程根式可解性彻底解决了。伽罗瓦的数学研究，可以看作近世代数的开端。这不是因为他解决了方程根式可解这一难题，更重要的是他所提出的群的概念，导致了代数学在研究对象，内容与方法上的深刻变革。,1824年阿贝尔(挪,1802-18

4、29)定理,拉格朗日,1770年拉格朗日(法,1736-1813)关于代数方程解的思考：预解式,代数方程根式解,1799年鲁菲尼(意,1765-1822)定理,鲁菲尼,阿贝尔,伽罗瓦,18291831年伽罗瓦(法,1811-1832)理论,代数方程根式解,阿贝尔,阿贝尔（挪，18021829）贡献：方程论、无穷级数和椭圆函数论16岁开始阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作1821年，阿贝尔进入奥斯陆大学，1824年，证明了一般五次方程根式解的不可能性1825.5到柏林，五次方程论文发表于克雷勒杂志、完成了椭圆函数的论文1826.7到巴黎，论文提交法国科学院1827.5回到奥斯陆1841年椭圆函

5、数论论文发表,1908年维格兰(挪,1869-1943)雕塑的阿贝尔塑像,阿贝尔奖(2003-),1898年挪威数学家李(1842-1899)提议设立阿贝尔奖。挪威政府拨款2亿挪威克郎(约合人民币2.73亿元)设立阿贝尔纪念基金，在阿贝尔诞辰200周年之际设立阿贝尔奖,从2003年起每年颁发一次。阿贝尔奖颁发给那些在数学领域做出杰出贡献的数学家，奖金额为600万挪威克朗。,阿贝尔的塑像(挪威,1983),伽罗瓦(法,1811-1832)(法国,1984),代数方程根式解,伽罗瓦贡献：群论，宣告方程根式解这一经历了300年问题的彻底解决，及尺规作图中“三等分任意角”问题和“倍立方”问题不可能在中

6、学读书时，已经熟悉欧拉、高斯、雅可比（德，18041851年）的著作1829年进入巴黎高等师范学校18291831年提交法国科学院的数学奖论文，分别交柯西、傅里叶、泊松1831年1月被校方开除，两次入狱，死于为“爱情与荣誉”的决斗1846年论文发表,伽罗瓦的遗书我请求我的爱国同胞们，我的朋友们，不要指责我不是为我的国家而死。我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可耻的诽谤中结束我的生命。噢！为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？我恳求苍天为我作证，只有武力和强迫才使我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。我亲爱的朋友，我已经得到分析学方面的一些新发现。在我一生中，

7、我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里一年多了，我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确与否）发表他们的看法。然后，我希望有人会发现将这些整理清楚会是很有益处的一件事。热烈地拥抱你。伽罗瓦,代数方程根式解,有限置换群1849-1854年凯莱(英,1821-1895)引入抽象群,伽罗瓦域1893年韦伯(德,1842-1913)抽象域,抽象化尝试,8代数学的新生,8.2从四元数到超复数,1811，1831年高斯(德,1777-1855)讨论了复数几何表示,1797年威塞尔(挪,

8、1745-1818)、1806年阿甘德(瑞,1768-1822)讨论了复数几何表示,数系扩张,1747年达朗贝尔(法,1717-1783)断言复数表示为a+ib，1777年欧拉(瑞,1701-1783)支持用i表示虚数单位,1737年欧拉(瑞,1701-1783)证明了e是无理数1761年兰伯特(法,1728-1777)证明了是无理数1844年刘维尔(法,1809-1882)第一次显示了超越数的存在1873年和1882年埃尔米特(法,1822-1901)和林德曼(德,1852-1939)分别证明了e和是超越数，“化圆为方”问题的不可能欧拉常数是否是无理数?,实数,复数,1837年哈密顿(爱尔兰

9、,1805-1865)表示复数为有序实数对1843年哈密顿(爱尔兰,1805-1865)定义了四元数,数系扩张,1844年格拉斯曼(德,1809-1877)引进了n个分量的超复数,1847年凯莱(英,1821-1895)定义了八元数,麦克斯韦(英,1831-1879)创造了向量分析,哈密顿的四元数(爱尔兰,1983),数系扩张,哈密顿（爱尔兰，18051865年），光学、力学和代数自幼聪明，具有非凡的语言能力，“神童”1820年已阅读牛顿自然哲学的数学原理，拉普拉斯的天体力学，1823年进入剑桥大学三一学院1834年发表论文“一种动力学的普遍方法”1843年10月16日定义了四元数“思想电路接

10、通之火花”18371845年任爱尔兰皇家科学院院长英国声誉仅次于牛顿的数学家，物理学家,8代数学的新生,8.3布尔代数,布尔代数,布尔(英,1815-1864)，数学、逻辑学家，50篇学术论文和两部教科书，19世纪数理逻辑的最杰出代表“自学成才”著称于世，掌握了拉丁语、希腊语、意大利语、法语和德语，自学了牛顿自然哲学的数学原理，拉格朗日解析函数论和拉普拉斯天体力学1839年申请进剑桥大学，1844年发表“关于分析中的一般方法”1849年爱尔兰科克皇后学院数学教授，1857年英国皇家学会会员,8代数学的新生,8.4代数数论,代数数论,1801年高斯(德,1777-1855)出版算术研究：二次互反律,1871年戴德金(德,1831-1916)创立代数数,希尔伯特,戴德金,库默尔,1844-1847年库默尔(德,1810-1893