6.2定积分在几何学上的应用课件

1、6.2定积分在几何学上的应用,一、平面图形的面积,二、体积,三、平面曲线的弧长,曲边梯形的面积,、直角坐标系情形,一、平面图形的面积,1).画平面图形的草图；,2).选积分变量，并确定积分区间；,若选x，区间为a，b,3).面积元素为dA=（上曲线下曲线)dx，即,4).所求的图形的面积为,若选y，区间为c，d,面积元素为,故所求的曲边梯形的面积为,dA=（右曲线左曲线)dy，,即,y,y+dy,草图如右：,曲边梯形的面积,c,d,解,两曲线的交点,面积元素,选为积分变量,例,画草图如右,解,两曲线的交点,选为积分变量,例,画草图如右,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,解,两

2、曲线的交点,画草图如右,选x为积分变量，,当x0,2时,当x2,8时,故,选为积分变量,故所求的面积为,面积元素,例求椭圆,解利用对称性,所围图形的面积.,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当a=b时得圆面积公式,一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,则曲边梯形面积,例求由摆线,的一拱与x轴所围平面图形的面积.图示,解:,2.极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,对应从0变,例计算阿基米德螺线,解:,到2所围图形面积.图示,解,利用对称性知,图示,例计算心形线,与圆,所围图形的面积.

3、,解:利用对称性,所求面积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,1、旋转体的体积,二、体积,旋转体的体积为,一般地,如果旋转是由连续曲线,直,线,及x轴所围成的曲边梯形,轴旋转一周而成的旋转体,其体积是多少?,绕x,解,直线方程为,解,图示,例求由,和y=x、x=2所围成的平面图形绕x,旋转而成的旋转体的体积。,解,作平面草图如右,例计算摆线,的一拱与y0,所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.,解:绕x轴旋转而成的体积为,利用对称性,绕y轴旋转而成的体积为,注意上下限!,注,分部积分,注,(利用“偶倍奇零”),圆柱筒体积,

4、说明:,圆柱体表面积,也可按同心圆法求出,偶函数,奇函数,2、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,思考:可否选择y作积分变量?,此时截面面积函数是什么?,如何用定积分表示体积?,解:,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,三、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),则称,(1)曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,(2)曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,(3)曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分):,(自己验证),解,所求弧长为,例.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.,求这一段弧长.,解:,下