数学史概论-第三讲

1、第三讲中世纪的东西方数学,周髀算经与九章算术刘徽与祖冲之宋元数学,中国传统数学的兴盛,中世纪数学的主角：中国、印度与阿拉伯地区的数学。东方数学特色：强烈的算法精神所谓“算法”并不是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般性计算方法。注：东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学的诞生。,1中国数学的起源与体系形成2中国数学理论的深化3中国数学发展的高峰4中国传统数学的式微,一、中国传统数学,1中国数学的起源与体系形成,史前至两汉时期,1.1中国传统数学的奠基萌芽（石器时代、青铜时代）原始社会、夏商周积累与奠基（春秋战国时代、秦

2、、西汉）1.2周髀算经与数理天文学1.3九章算术与中国传统数学的体系,1.1中国传统数学的奠基,公元前755年以前的约3000多年它又可以分为两个阶段：萌芽阶段和形成阶段，数学从零星知识成为科学体系。,秦始皇陵兵马俑（中国,1983）,陕西临潼姜寨遗址中发现的大量陶片。研究表明，大约在6000年前，中国人至少已经掌握了30以内的自然数，且是一个10进制系统。,尸子(约公元前四世纪)：“古者，倕为规、矩、准、绳，使天下访焉”汉武帝梁祠的浮雕像：伏羲手执矩，女娲手执规的造像。夏代(约公元前21世纪初约公元前12世纪初)：人们关于几何形体和数量的认识有所提高。,商代(又称殷代，约公元前17世纪约前1

3、1世纪)：1899年在河南安阳发掘出来的殷墟龟甲和兽骨上所刻的象形文字(甲骨文，公元前14世纪)。自然数的记法：10进位制，最大的数字是3万。,周(约公元前11世纪公元前256年)：奴隶制经济获得进一步的发展.“数”作为六艺之一，开始形成一个学科。算筹记数和四则运算已经开始春秋战国时期：人们已经能熟练地进行筹算。,墨经:点、线、面、方、圆等几何概念考工记:分数比例、角度大小的区分、标准容器的计算等荀子管子:“九九”乘法口诀。春秋:“初税亩”，测量田亩面积和计算的方法。庄子天下篇:“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，朴素的极限观念。,墨经：点：端,体之无厚而最前者也;直线：直,参也;圆：圆,一中同

4、长也.,史记:齐威王与田忌赛马,对策论的最早例证。,1.2周髀算经与数理天文学,盖天说,勾股定理,宋版书影,日高术,周髀算经:数学著作,天文学著作.“盖天说”的代表.约成书于西汉时期(公元前2世纪).数学内容:学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等.,算数书,中国现存最早的数学书算数书(西汉,约公元前170年,1983-1984年间湖北江陵张家山出土),“勾广三,股修四,径隅五”,商高定理-勾股定理,返回,“以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日.”,勾股定理的证明,弦图,影差d=后影长BD前影长AC=ba,表距AB=e,1.3九章算术与中国传统数学的

5、体系,（1）汉简算数书,算数书:1983年12月在湖北江陵张家山出土一本西汉初年的竹简,收有许多应用的数学问题.现已整理出版(包括竹简照片和释文).,九章算术（东汉，公元100年）,九章算术共收有246个数学问题，分为九章。分别是：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。,（2）九章算术,1.方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界上最早对分数进行系统叙述的著作。2.粟米：组好事粮食交易的计算方法，其中涉及许多比例问题。3.衰（读

6、作“翠”）分：主要内容为分配比例的算法。4.少广：主要讲开平方和开立方的方法。5.商功：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体积的计算为主。6.均输：计算税收等更加复杂的比例问题。7.盈不足：双设法的问题。8.方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法，在世界数学史上是第一次出现。9.勾股：勾股定理的应用。,九章算术的内容,九章算术的数学成就,设人数为x,物价为y,每人出钱a1盈b1,出钱a2不足b2.,则的“盈不足术”相当于给出如下解法：,(ii)正负术:正、负数的加减运算法则同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之.其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之.,（2）代数方面(

7、i)方程术:线性方程组的解法今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？问题相当于解一个三元一次线性方程组：,注：关键算法:遍乘直除,即Gauss消元法.,(iii)开方术:开平方和开立方的算法,本质:减根变换,过程:开方术相当于解方程:x2=A.设解x是一个k位数,令x=10k-1x1,方程变为:102k-2x12=A,仪得x1的整数部分,记为,令,则方程变为:,其中,再议得x2的整数部分,记为,令,则方程变为:,其中上述过程一直下去.,二次方程的数值求解算法称为“开带从平方法”

8、.“开方术”指出了开方有开不尽的情形：“若开之不尽者，为不可开”。不尽根数专门的名字面,（3）几何方面几何问题具有很明显的实际背景.所有直线形的面积、体积公式都是准确的.如:正方形、矩形、三角形、梯形、长方体、正方体、底面为长方形而有一棱与底面垂直的锥体、上下底面都是长方形的棱台等.,刍童（上下底面都是长方形的棱台）体积公式：,羡除（三个侧面均为梯形的楔形体）体积公式为：,2中国数学理论的深化从刘徽到祖冲之,学术界思辨之风再起在数学上也兴起了论证的趋势最杰出代表:刘徽、祖冲之父子,2.1刘徽与九章算术注,生卒不详公元263年撰九章算术注,最主要成就：割圆术面积、体积理论,（一）刘徽的割圆术-极

9、限方法,割圆术的要旨是用圆内接正多边形逼近圆。指出:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.,设圆面积为Sn,半径为r,圆内接正n边形的边长为ln,周长为Ln,面积为Sn,将边数加倍后,得到圆内接正2n边形,其边长,周长,面积分别记为l2n,L2n,S2n.刘徽注意到当ln已知,由勾股定理可以求出l2n.即：,化为分数即为:157/50,这就是著名的“徽率”.,在内接n边形的每边上作一高为CG的矩形,则,刘徽取半径为一尺的圆,计算到192边形,得出精确到两位小数的圆周率的近似值,（二）刘徽的面积理论,出入相补原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后,面积

10、或体积的总和保持不变。,勾股定理的证明,（三）刘徽的体积理论-阳马术,堑堵=阳马+鳖臑,阳马=2鳖臑,立方=2堑堵,不易之率：阳马体积Y与鳖臑体积B之比为2:1,对每个小阳马和每个小鳖臑作同样的剖分,则n次剖分后有:,阳马中除去两个小阳马部分的体积(记为)为鳖臑中除去两个小鳖臑部分的体积(记为)的2倍,他们合在一起的体积应占原壍堵体积的3/4(刘徽称为“已知”部分),因而剩余部分(即两个小阳马和两个小鳖臑)的体积应占原壍堵体积的1/4(称为“未知”部分).若分别用记每个小阳马和小鳖臑的体积,则,已知部分属阳马的体积为,属鳖臑的体积为,两者之比恒为2:1.,未知部分的体积,若记为,并不妨设原壍堵

11、体积为1,则,刘徽认为无限剖分下去,则得不易之率：Y:B=2:1,（四）球体积公式证明的尝试,刘徽结论,刘徽:敢不阙疑,以俟能言者！,问题关键：如何求外三棋体积和与小立方体积关系,最初是附于他所注的九章算术(263)之后,唐初开始单行,体例亦是以应用问题集的形式.全书共9题,全是利用测量来计算高深广远的问题,首题测算海岛的高、远,故得名.海岛算经是中国最早的一部测量数学著作,亦为地图学提供了数学基础.,（五）刘徽著海岛算经,2.2祖冲之父子的数学成就,祖冲之与祖暅主要数学成就：(1)圆周率(2)祖氏原理与球体积,（一）祖冲之-缀术与圆周率,割圆术:正六边形出发,连续算到正24576边形,恰好可

12、以得到祖冲之的结果.,3.1415926(朒(nv)数)3.1415927(盈数),现代数论中,如果将圆周率表示成连分数,其渐近分数为:,（二）祖暅-球体积公式与祖暅原理,祖暅原理：幂势既同,则积不容异意即:位于两平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两平面的平面所截,如果两个截面的面积恒相等,则这两个立体的体积相等.,因为IJ2MN2=AB2IP2=AP2(AP2AI2)=AI2=h2,周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经夏候阳算经、张邱建算经、缀术、五曹算经五经算经、缉古算经。,算经十书,汉唐千余年间中国数学发展的水平,算经十书公元656,3.中算发展的第三次高峰数学全盛时期,社会背景,

13、毕升发明活字印刷术(约10411048年),促进了数学著作的保存与流传,贾宪：黄帝九章算术细草(1050),增乘开方法,贾宪三角,开方作法本源图,古法七乘方图,算术三角形(利比里亚，1999),贾宪三角,隙积术,沈括(北宋,1030-1094年),梦溪笔谈(1093),李约瑟：中国科学史的里程碑,会圆术,隙积术,天元术（一元高次方程）,列方程法,“立天元一为某某”,天元术,测圆海镜(1248),“设x为某某”,李冶的天元术,大衍类,大衍术,数书九章(1247),天时类,田域类,测望类,赋役类,钱谷类,营建类,军旅类,市易类,秦九韶(南宋,约1202-1261年),(1)大衍类，一次同余组的解法

14、，大衍求一术；(2)天时类，历法推算，雨雪量的计算；(3)田域类，土地面积；(4)测望类，勾股、重差等测量问题；(5)赋役类，田赋、户税；(6)钱谷类，征购米粮及仓储容积；(7)营建类，建筑工程；(8)军旅类，兵营布置和军需供应；(9)市易类，商品交易和利息计算,数书九章,孙子算经(约公元400年),物不知数问题(孙子问题,孙子剩余定理),:今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？,意大利斐波那契1202年,瑞士欧拉1743年,德国高斯1801年,秦九韶：数书九章(1247),正负开方术,正负开方术(秦九韶法),垛积术,杨辉(南宋,公元13世纪),详解九章算法(1261),垛积术,杨辉三角,算学启蒙(1299),朱世杰(约1260-1320年),四元术,四元玉鉴(1303),日用数学和商用数学通俗著作,四元术(“天元”、“地元”、“人元”和“物元”),招差术(高次内插公式),四元玉鉴卷首“假令四草”之“四象会元”,四元术,元气居中天元于下地元于左人元于右物元于上,以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上,郭守敬(元,12311316年),大