第2讲-约数、倍数、完全平方数、质数、合数、分解质因数(数论综合)

1、电话：400-810-2680,第1讲专题四：约数、倍数、完全平方数专题五：质数、合数、分解质因数,授课时间：2011年10月16日周日,数论综合,专题四约数倍数完全平方数,一、专题知识点概述,最大公约数与最小公倍数的常用性质,(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。即若那么如右图,应用：两个数A，B，可以设两个数分别为A=Ma,B=Mb,其中M是两个数的最大公约数，a,b分别成为A，B的“独有因数”，同时两数的最小公倍数可以表示为Mab，灵活应用到题目中,(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。,即,一、专题知识点概述,最大公约数与最小公倍数的常用性质,(3

2、)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：，210就是567的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：，而6,7,8的最小公倍数为,专题四约数倍数完全平方数,一、专题知识点概述,约数个数与所有约数的和,(1)求任一整数约数的个数：,一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积,如:1400严格分解质因数之后为，所以它的约数有(3+1)(2+1)(1+1)=432=24个。(包括1和1400本身),专题四约数倍数完全平方数,一、专题知识点概述,约数个

3、数与所有约数的和,(2)求任一整数的所有约数的和：,一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。,如：，所以21000所有约数的和为,专题四约数倍数完全平方数,一、专题知识点概述,完全平方数常用性质,1.主要性质:完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。若质数p整除完全平方数，则p能被整除。,专题四约数倍数完全平方数,一、专题知识点概述,完

4、全平方数常用性质,2.一些推论:任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9

5、而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。,3.重点公式回顾,平方差公式,专题四约数倍数完全平方数,二、重点难点解析,1最大公约数与最小公倍数的概念和常用性质2由数字分解质因数的角度构造原数的方法和思想3代数方法的应用4完全平方数的性质和平方差公式,三、竞赛考点挖掘,1约数个数计算公式的正向和反向应用2最大公约数和最小公倍数与原数字的关系3约数倍数知识点与其他知识点的结合4完全平方数的性质,专题四约数倍数完全平方数,四、习题讲解,【例1】（难度等级）,数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?,【分析与解】360分解质因数:360=222335=23325；360的约数可以且只能是2a3b5c

6、,(其中a,b,c均是整数,且a为03,6为02,c为01)因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)(2+1)(1+1)=24我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)2y5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)(1+2+22+23)5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)(1+2+22+23)(1+5)于是,

7、我们计算出值:13156=1170所以,360所有约数的和为1170,专题四约数倍数完全平方数,四、习题讲解,【例2】（难度等级）,甲乙两数最小公倍数是60，最大公约数是6，已知甲数是12，求乙数.,【分析与解】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为660=360，则乙数为36012=30,【例3】（难度等级）,甲乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是1.那么乙数是多少,【分析与解】甲数除以乙数所得的商为，那么甲数与乙数的比为9：8，则乙数为甲数为,专题四约数倍数完全平方数,四、习题讲解,【例4】（难度等级）,设A共有9

8、个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？,【分析与解】本题考查对约数个数计算公式的灵活应用由公式的结果倒推，A有9个约数，那么符合公式的要求有，或者，若要求A的值尽可能小，则A不可能为某个质数的8次方的形式，那么说明A的形式为的形式，为最终满足三个数的乘积最小的要求，那么A最小为，类似的可以知道,同时为满足最小要求。C为8个约数情况可能有两种，其中当时数字最小，同时三个数任意2个都不整除，所以此时三个数的乘积为,专题四约数倍数完全平方数,四、习题讲解,【例5】（难度等级）,动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一

9、群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？,【分析与解】依题意得:花生总粒数=12第一群猴子只数=15第二群猴子只数=20第三群猴子只数,由此可知，花生总粒数是12，15，20的公倍数，其最小公倍数是60花生总粒数是60，120，180，,那么：第一群猴子只数是5，10，15，；第二群猴子只数是4，8，12，；第三群猴子只数是3，6，9，；所以，三群猴子的总只数是12，24，36，因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是5粒,专题四约数倍数完全平方数,四、习题讲解,【例6】（难度等级）,甲、乙

10、两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?,【分析与解】对90分解质因数:90=2335.因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含22因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=35=15,由甲,乙=90=2325,则甲=232=18；第二种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由甲,乙=90=2325,则甲=232=18，综上所需,甲为18评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值

11、如a=233527,b=23325711,则A、B的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即a,b=233352711,专题四约数倍数完全平方数,四、习题讲解,【例7】（难度等级）,三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数？,【分析与解】设这三个数分别为A2、B2、C2，那么有（A+B）（A-B）=80，（A+C）（A-C）=140，因为140=2257，A+C，A-C，同奇同偶，所以有（A+C=14，A-C=10）或者（A+

12、C=70，A-C=2），分别解得（A=12，C=2）和（A=36，C=34），对于后者无法将B解出，所以A只能等于12，C=2，继而求得B=8，所以这三个数分别为12、8、2.,专题四约数倍数完全平方数,五、课后思考,2.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?,4.学而思学校三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么学而思学校总的的学生人数有多少人？请写出最现实的答案.,3.两个整数A、B的最大公约数是C，最

13、小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？,1.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？,专题四约数倍数完全平方数,六、挑战自己（难度等级）,abc是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?,专题四约数倍数完全平方数,一、专题知识点概述,质数与合数的基本概念,1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数，这个数就称为一个质数，也叫做素数2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数，这个数就称为一个合数3.质因数：如果一

14、个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数,专题五质数合数分解质因数,任意数字形如的分解结构，可以加深对质因数的理解，即结构中的均为质因数。,一、专题知识点概述,质数和合数的一些性质和常用结论,1.0和1既不是质数也不是合数，因此，我们可以说，自然数可以分成三部分，即，0和1，质数，合数。2.最小的质数是2，最小的合数是4。3.常用的100以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97其中2是唯一的偶数，5是唯一个位上数字是5的数，其余的数字个位只为1，3，7，9,专题五质数合

15、数分解质因数,一、专题知识点概述,质数和合数的一些性质和常用结论,4.部分特殊数的分解：,专题五质数合数分解质因数,一、专题知识点概述,质数和合数的一些性质和常用结论,5.质数的判定方法,专题五质数合数分解质因数,判断一个数是否是质数，可以采用“连续小质数试除法”。例如：判断251是否是质数，可以从最小的质数2开始依次除251，直到所得的商比除数小为止，可以断定251是质数。2512=1251,2513=832,2515=501,2517=356，,25117=1413，此时除数17商14，由此说明251是质数。,6.互质的概念N个自然数互质指的是N个自然数的公约数仅有一个1。,二、重点难点解

16、析,1质数与合数的基本性质，100以内质数的分布规律2质数与奇偶性及整除性知识点的结合3分解质因数法解决数论应用题,三、竞赛考点挖掘,1.以质数合数为基础考察其他知识点的运用2.分解质因数法解部分应用题,专题五质数合数分解质因数,四、习题讲解,【例1】（难度等级）,从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12,【分析与解】我们知道12是2、3的倍数，如果开始的质数是2或3，那么后一个数即14或15将是合数，所以考虑从5开始尝试有5、17、29、41、53是满足条件的5个质数,专题五质数合数分解质因数,9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？,【例2】（难度等级）,【

17、分析与解】我们知道任意连续9个自然数中最多有4个质数，本题考察对100以外的质数的熟练情况，有101，103，107，109是4个质数。,四、习题讲解,【例3】（难度等级）,将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）,专题五质数合数分解质因数,【分析与解】首先列出前几个合数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想A尽量小，这两个数也不能都同时为奇数，因为奇合数比较少，找出8个来必然很大。所以应该是一奇一偶，

18、经试验得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即A的最小值为29。大部分的题考的都是质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。,四、习题讲解,【例4】（难度等级）,在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环求甲、乙的总环数各是多少?,专题五质数合数分解质因数,【分析与解】本题考查分解质因数法。对1764分解质因数，有1764=223377，而根据题意1764应对应为5个小于10的自然数乘积通常我们会考虑将1764的6个质因数组合为5个因数，从而这5个因数

19、一定都是大于1的，于是得到了如下几种分解情况：1764=43377=26377=22977但是发现其中任何两组的和的差均不是4.原因是我们忽略了在题目叙述实际环境中还会有1环存在，从而要考虑含有因数1的另外2种情况：1784=16677=14977所以总的情况对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28对应的和中只有24，28相差4，所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7，乙的5箭环数为1、4、9、7、7所以甲的总环数为24，乙的总环数为28,四、习题讲解,【例5】（难度等级）,已知P,Q都是质数，并且，则=?,【分析与解】本题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。通过观察发现题目中有2个未知数，但是都是质数，从结果上看2003是一个奇数，那么前面2个乘积必须为1个奇数1个偶数，那么P和Q中必须有一个是2才可以。由大小关系可以发现只能Q是2，解出P=199,PQ=398。,专题五质数合数分解质因数,四、习题讲解,【例6】（难度等级）,如果两数的和是64，两数的积可以整