复变函数论第三版钟玉泉PPT第一章 (1)

1、1,2020/6/18,课程名称：复变函数论,教材：复变函数论第三版钟玉泉高等教育出版社,授课教师：阮妮,2,2020/6/18,课程介绍,3,2020/6/18,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。,4,2020/6/18,背景,复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不

2、能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。,5,2020/6/18,复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形

3、成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支。,6,2020/6/18,复变函数的理论已经深刻地深入到代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，是数学与应用数学专业所必需的一门基础课。复变函数论不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，已经被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。,7,2020/6/18,第一章复数与复变函数,第一节复数,第二节复平面上的点集,第三节复变函数,第四节复球面与无穷远点,8,2020/6/18,第一节复数,1.虚数单位:,对虚数

4、单位的规定:,一、复数的概念,虚数单位的特性:,2.复数:,9,2020/6/18,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数z=0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,注：实数可以比较大小,但复数不能比较大小.,二、复数的代数运算,1.两复数的代数和:,2.两复数的积:,3.两复数的商:,4.共轭复数:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,10,2020/6/18,6.共轭复数的性质:P16,例1,解,5.复数域:全体复数在四则运算这个代数结构下构成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学中所研究的域的概念的实例.,11,2020/6/18,例2,解：设,左右

5、两边平方,12,2020/6/18,三、复平面,1.复数的模,显然下列各式成立,13,2020/6/18,2.复数的辐角,辐角不确定.,注：,14,2020/6/18,辐角主值的定义:P8-9,15,2020/6/18,当z落于一,四象限时，不变。,当z落于第二象限时，加。,当z落于第三象限时，减。,书本：例1.2P9,16,2020/6/18,3.利用平行四边形法求复数的和差,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,17,2020/6/18,4.复数和差的模的性质,18,2020/6/18,5.复数的三角表示和指数表示,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成:,复数的三角表示

6、式,再利用欧拉公式:,复数可以表示成:,复数的指数表示式,书本：例1.4P11,19,2020/6/18,例1,解,20,2020/6/18,6.复数在几何上的应用举例,下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形。,书本：P18,21,2020/6/18,解,化简后得,22,2020/6/18,1.乘积与商,定理一两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,四、复数的乘幂与方根,两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.,从几何上看,两复数对应的向量分别为：,注,由于辐角的多值性,两

7、端都是无穷多个数构成的两个数集.,对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.,书本：P12,23,2020/6/18,2.幂与根,n次幂:,24,2020/6/18,棣莫弗公式,推导过程如下:,棣莫弗公式,根据棣莫佛公式,25,2020/6/18,当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.,从几何上看,26,2020/6/18,例1,解,即,书本：例1.8P15；例1.14P20,27,2020/6/18,1.2.1复平面点集的几个基本概念,定义1.1邻域:,记作:或,N(z0)=z|z-z0|,记作：或N0(z0)=z|00:N(z0)E=,29,2020/6/18,定义1.3内点、开集、边界

8、点、边界、闭集:,如果E内每一点都是它的内点,那末E称为开集.,如果在z0的任意一个邻域内,都有属于E的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点。,z0为E的内点0:N(z0)E,点集E的全体边界组成的集合称为E的边界.记为:E（孤立点是边界点，反之不成立）,若点集E的每个聚点都属于E,则称E为闭集；任何集合E的闭包一定是闭集.,30,2020/6/18,定义1.4有界集和无界集:,z,x,y,有界！,o,例2集合,圆心,它是的孤立点，是集合的聚点。,31,2020/6/18,定义1.5区域:,如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.,(1)D是一个开集；,(2)D是连通的,就是说

9、D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.D加上D的边界称为闭域。,1.2.2区域与Jordan曲线,记为DD+D,z1,z2,D,说明,(2)区域边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成.,(1)区域都是开的.,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,32,2020/6/18,定义1.6连续曲线:,平面曲线C的复数表示:,C的实参数方程,C的复参数方程,起点z(),C终点z(),z,x,y,C,C的正向：起点终点,o,33,2020/6/18,没有重点的曲线C称为简单曲线(或若当(Jordan)曲线).,重点,重点,重点,换句话说,简单曲线自身不相交.,简单曲线是z平面上的一个有

10、界闭集.,34,2020/6/18,简单闭曲线的性质若当(Jordan)定理,任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成C,I(C),E(C)三个互不相交的点集.满足：,I(C),E(C),边界,（1）I(C)是一个有界区域（称为C的内部）.,（2）E(C)是一个无界区域（称为C的外部）.,（3）若简单折线P的一个端点属于I(C)，另一个端点属于E(C)，则P必与C相交.,（4）C是I(C)，E(C)的公共边界.,35,2020/6/18,定义1.7可求长曲线:,设连续弧C的参数方程为:,任取实数列,考虑C上对应点列,将它们用一折线连接起来，,有上界，则称C为可求长的，上确界称为C的长度。,的长度

11、为。,若对所有数列，,光滑曲线C:,特点,（1）光滑曲线上的各点都有切线,（2）光滑曲线可以求长,36,2020/6/18,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线.,分段光滑曲线必是可以求长的，但简单曲线或简单闭曲线却不一定可求长。,单连通区域与多连通区域的定义:,复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通区域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通区域.,o,x,y,37,2020/6/18,单连通区域,多连通区域（二连通，三连通，四连通),简单闭曲线的方向：沿着一条简单闭曲线C前行时，C的内部总在左侧，此方向称为曲线C的正方向，否则

12、，称为负方向。,38,2020/6/18,解,无界的单连通区域(如图).,是角形域,无界的单连通区域(如图).,39,2020/6/18,无界的多连通区域.,表示到1,1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通区域.,40,2020/6/18,1.定义:,第三节复变函数,2.单(多)值函数的定义:,3.函数的定义域和值域:,1.3.1复变函数的定义,4.复变函数与自变量之间的关系:,P29例1.24,41,2020/6/18,1.3.2映射的概念,1.引入:,2.映射的定义:,42,2020/6/18,1.3.2映射的概念,x,u,G,G*,Z平面,z,w,W=f(z),v,y,W平

13、面,注：像点的原像可能不只一点,43,2020/6/18,3.反函数的定义:,根据反函数的定义,当反函数为单值函数时,今后不再区别函数与映射.,44,2020/6/18,1.3.3复变函数的极限,1.函数极限的定义:,P34注意:,45,2020/6/18,2.极限的计算性质,定理一,证(1)必要性.,有,46,2020/6/18,(2)充分性.,则对于任意,证毕,47,2020/6/18,定理二,与实变函数的极限运算法则类似.,48,2020/6/18,证(二),例1,证(一),根据定理一可知,49,2020/6/18,例2,证,根据定理一可知,50,2020/6/18,1.连续的定义:,连

14、续的三要素:,（1）f(z)在z0处有定义,（2）f(z)在z0处有极限,（3）f(z)在z0处的极限值等于函数值,1.3.4复变函数的连续性,51,2020/6/18,定理1.3,例如：,2.连续函数的性质P35,52,2020/6/18,特别地，(1)有理整函数(多项式),(2)有理分式函数,在复平面内使分母不为零的点也是连续的.,例1,证设,由于,53,2020/6/18,例2,证,P35例1.26例1.27例1.28,54,2020/6/18,3.有界闭集上连续函数的性质P38,0,0,z1,z2E,当|z1-z2|时,有|f(z1)-f(z2)|.,定理1.7设E是有界闭集，f(z)

15、C(E),则有：,（1）f(z)在E上有界：,（2）|f(z)|在E上有最大（小）值，即：,（3）f(z)在E上一致连续，即,55,2020/6/18,4.复变函数的极限性质,定理1(Bolzano-Weiestrass聚点定理)每一个有界无穷点集至少有一个聚点。,定理2(闭集套定理),定理3(Heine-Borel有限覆盖定理),56,2020/6/18,一、复球面,1.南极、北极的定义,第四节复球面与无穷远点,2.复球面的定义,球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.,x,y,O,N,S,z,P(z),z,57,2020/6/18,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.,规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.,以上对应可以用公式表示为：,58,2020/6/18,3.扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括