等价关系与集合的分类.ppt

1、,三、集合的等价关系与分类,定理1.1.1-类,例7,例8,例9,二、集合的分类,定义1.1.4-集合的分类,例3,例6,1.1等价关系与集合的分类,一、等价关系,定义1.1.1-关系,定义1.1.2-等价关系,例1,例2,例5,例4,定义1.1.3-等价类,一、等价关系,元素的一个条件如果对中任意一个有序元素对,的一个关系(relation)如果与满足条件，则称,与有关系，记作；否则称与无关系关,系也称为二元关系,，我们总能确定与是否满足条件，就称是,定义1.1.1设是一个非空集合,是关于的,例1设是一个非空集合，的所有子集组成的,集合记为因为对的任意两个子集，,或有且仅有一个成立，所以集合

2、的包含关系“”,是的一个关系进一步讨论可以发，这个关系还,具有下面两条性质：,(1)反身性，即对的任一子集，有；,(2)传递性,即对的任意子集,如果,则有,例2在整数集中,规定因为,这个关系也具有反身性和传递性,例3在整数集中,规定(即与互,素)因为与有且仅有一个成立,所,以是的一个关系这个关系既不满足反身性也不满,足传递性,但却满足所谓的对称性,即对任意两个整数,由，可推出,与有且仅有一个成立,所以“|”是的一个关系,定义1.1.2设是非空集合的一个关系,如,果满足,(E1)反身性,即对任意的,有；,(E2)对称性,即若,则；,(E3)传递性,即若,且,则,则称是的一个等价关系(equiva

3、lencerelation),并且如果,则称等价于,记作,定义1.1.3如果是集合的一个等价关系,对,令,称子集为的一个等价类(equivalenceclass),的全体等价类的集合称为集合在等价关系下的商集,(quotientset),记作,例易知,三角形的全等,相似,数域上阶,方阵的相等,相似等都是等价关系,而例1,例2,例3所述的关系都不是等价关系,例设是正整数,在整数集中,规定,这个关系为同余关系(congruencerelation),并记作,则,(1)对任意整数,则,(读作“同余于,模”)整数的同余关,系及其性质是初等数论的基础,二、集合的分类,定义1.1.4如果非空集合表成若干个

4、两两不,相交的非空子集的并,则称这些子集为集合的一种,分类(partition),其中每个子集称为一个类(class).,如果,的子集族构成的一种分类,则记作,例6设为数域上全体阶方阵的集合,令,表示所有秩为的阶方阵构成的子集.,(1);,(2),所以是的一种分类,例7是整数集的一,种分类,于,且,同一元素在两个子集中重复出现,例8对实数集,令子集,.由,所以不是的一种分类,三、集合的等价关系与集合的分类这两个概念之间,联系,定理1.1.1集合的任何一个等价关系都确定,了的一种分类,且其中每一个类都是集合的一个等,价类.反之,集合的任何一种分类也都给出了集合,的一个等价关系,且相应的等价类就是

5、原分类中的那,些类,证首先,为集合的一个等价关系,则,(1)对任意的,由反身性知,所以,(2)如果,从而由对称性知再由传递性知,又对任意的,则,.这说明,不同的类没有公共元素,.于是,因此.,则有,同理,所以,于是,同样由传递性得,从而由(P1),(P2)知,全体等价类形成的一种,分类,显然每一个类都是的等价类,其次,如果已知集合的一种分类,在中规,定关系“”：,对任意的,由于与本身属于同一类,所以,.如果,即与属于同一类,自然与也,属于同一类,所以.最后,如果,即与属于同一类,与属于同一类,因而与同在,所在的类中,所以因此“”是的一个等价,关系.显然,由此等价关系得到的等价类就是原分类中,那些类,例设试确定集合上的全部等价,关系,解由定理1.1.1知，只要求出的全部分类,也,即求出的所有可能的子集分划即