08一元二次方程的整数根初一自招教师

1、 一元二次方程的整数根一元二次方程的整数根 1 / 6 第八讲 一元二次方程的整数根 1. 当方程可以因式分解，可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于 k 的分式形式的解. 然后利用其根是整数的要求来解不定方程. 2. 若无法因式分解： 利用韦达定理， 从根与系数的关系式中消去参数， 得到关于两根的不定方程. 用 “当两根为整数时，其和、积必为整数”来解. 3. 无法消参，或者（至少）有一个整数根问题，利用“要使整系数的一元二次方程方程有整数根， 必须判别式为完全平方数”来解，最后再代回到原方程检验. 1 已知k为整数， 且关于x的方程 22 (1)2(51)240kxkx有两个不相

2、等的正整数根， 求k的 值。 解：易知1k ，原方程可化为14160kxkx 1 4 1 x k ， 2 6 1 x k 两根为正整数，1k 取 4、2、1，k值为 5、3、2； 1k 取 6、3、2、1，k值为 5、2、1、0； k值为 5 或 2，当5k 时，方程两根为等根，舍去； 当2k 时，方程有两个不相等的正整数根 1 4x ， 2 2x 。 2k 。 一元二次方程的整数根一元二次方程的整数根 2 / 6 2 k为什么整数时，方程 2 4880 12320kk xk x的解都是整数？ 解：当4k 时，原方程为32320 x，解得1x ，符合题意； 当8k 时，原方程为16320 x，

3、解得2x ，符合题意； 当4k 且8k 时，原方程可化为48840k xk x 解得 1 8 4 x k ， 2 4 8 x k 。 k为整数，且 1 x、 2 x均为整数根， 41, 2, 4, 8k ，得3,5,2,6,0,12k 81, 2, 4k ，得7,9,6,10,12k 。 综上所述，当k值为 4，6，8，12 时，原方程的根都为整数。 3 已知关于x的方程 2 (1)210axxa 的根都是整数，符合条件的整数a有多少个？ 解：当10a 时，即1a 时，方程有一个整数根1x ； ：当10a 时，即1a 时，原方程可化为(1)(1)(1)0 xaxa 1 1x ， 2 12 1

4、11 a x aa ， 2 ax、都是整数， 11, 2a ， 1,0,2,3a 综上所述：1, 1,0,2,3a 4 已知方程 2222 (38 )213150a xaa xaa（a为非负整数）至少有一个整数根，求a值。 解：当0a 时，方程变为150，无解。 ：当0a 时，方程可化为 222 (38 )(23)(5)0a xaa xaa 即(23)(5)0axaaxa。 12 23355 2,1 aa xx aaaa ， 当 1 x为整数时，非负整数1,3a 当 2 x为整数时，非负整数1,5a 当1,3,5a 时，方程至少有一个整数根。 一元二次方程的整数根一元二次方程的整数根 3 /

5、6 5 设关于 x 的二次方程 2222 (68)(264)4kkxkkxk 的两根都是整数.求满足条件的所有 实数 k 的值. 答:将原方程变形得 22 (2)(4)(264)(2)(2) 0.kkxkkxkk 因式分解得： (2)2(4)2 0.kxkkxk x1 2 4 k k = 2 1 4k ； x2 2 2 k k = 4 1 2k . 于是有 1 2 4 1 k x ， 2 4 2 1 k x （ 12 1, x1x ） 两式相减消去k整理得 1 21 320 x xx 即 12 (3)2.x x 于是有 1 2 2, 31; x x 或 1 2 1, 32. x x 或 1 2

6、 1, 32. x x 解得 1 2 2, 2; x x 或 1 2 2, 4; x x 或 1 2 1, 5; x x 或 1 2 1, 1. x x (舍去) 因为 1 2 4 1 k x ,当 1 2x 时，6;k 当 1 2x 时， 10 3 k ;当 1 1x 时， 3k . 经检验， k=6，3， 10 3 都满足题意. 6 已知方程 2 (6)0(0)xaxaa的两根都是整数，试求a的值。 解： 设两整数根为, ， 且， 则有 6a a ， 所以有6， 117， 则 11 17 或 17 11 ，解得 0 6 或 8 2 。0a （舍）或16a 。 7 已知方程 2 10(xmx

7、mm 是整数）有两个不等正整数根，求m的值。 解：设两整数根为, ，且。 则有 1 m m ，所以有1，即(1)(1)2。 1 1, 2 12, 1 ，解得： 2 3 或 1 0 （舍去） 故()5m 8 试确定一切有理数r，使得关于x的方程 2 (2)320rxrxr有且只有整数根。 一元二次方程的整数根一元二次方程的整数根 4 / 6 解：当0r 时，方程化为220 x，方程有整数根1x ， ：当0r 时，设两整数根为, ，且。则 22 1 322 3 r rr r rr ，两式相减得4，即(1)(1)5 11, 5 15, 1 ，解得： 2 6 或 4 0 。 2 9 r 或 2 3 r

8、 综上所述： 22 0, 39 r 9 已知方程 2 21(22)20mxmx的两根都是整数，试求m的值。 解：设两整数根为, ，且，则有 221 1 2121 m mm ， 2 21m 所以有222， 226， 则 21 26 或 22 23 ，或 26 21 或 23 22 ， 解得 1 4 或 0 1 舍或 8 3 或 5 4 代入方程得， 1 4 m ， 13 24 m ， 11 20 m 。 一元二次方程的整数根一元二次方程的整数根 5 / 6 1 当整数k为何值时，关于x的一元二次方程 2 1210 xkxk 的两个根均为整数。 解：设方程两根为 1 x、 2 x，则 12 1xx

9、k ， 12 21x xk，消参数得 1 212 223x xxx， 1 212 2241x xxx， 12 221xx， 1 2 21 21 x x 或 1 2 21 21 x x ，解得 12 1xx 或 12 3xx 代入方程解得，1 k或5 k， 法二：解： 2 2 14 2165kkkk ，方程有整数根， 2 65kk为完全平方数。不妨设 22 65kkm（m是非负整数） ， 即 2 2 34km，334kmkm 3km 不小于3km 且奇偶相同， 32 32 km km 或 32 32 km km 解得，5k 或1k 。 一元二次方程的整数根一元二次方程的整数根 6 / 6 1.1. 方程 2 0 xpxq的两个根都是正整数并且1992pq，求方程较大根与较小根之比. 解:设原方程的两个正整数根为, 12 x x 12 pxx 12 x xq 1212 x xxxpq1992 12 x1 x11993 1 x11， 2 x11993 1 x2 2 x1994 21 x :x997 2.2. 已已知, a b为整数，ab,方程 2 3x3 ab x4ab0的两个根，满足关系式 (1)(1)(1)(1).试求所有的整数对a,b（） 解: