三角形内角和、外角定理(含详细解答)

1、三角形内角和、外角和定理一选择题（共10小题）1（2013泉州）在abc中，a=20，b=60，则abc的形状是（）a等边三角形b锐角三角形c直角三角形d钝角三角形2（2012滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）a等腰三角形b直角三角形c锐角三角形d钝角三角形3（2012河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张abc纸片，点d、e分别是边ab、ac上，将abc沿着de折叠压平，a与a重合，若a=75，则1+2=（）a150b210c105d754（2012云南）如图，在abc中，b=67，c=33，ad是abc的角平分线，则cad的度数为（）a40b45c50d

2、555（2012南通）如图，abc中，c=70，若沿图中虚线截去c，则1+2=（）a360b250c180d1406（2012梧州）如图，ae是abc的角平分线，adbc于点d，若bac=128，c=36，则dae的度数是（）a10b12c15d187（2011日照）如图，已知直线abcd，c=125，a=45，那么e的大小为（）a70b80c90d1008（2011台湾）如图中有四条互相不平行的直线l1、l2、l3、l4所截出的七个角关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）a2=4+7b3=1+6c1+4+6=180d2+3+5=3609（2011台湾）若abc中，2（a+c）=3b，则b的

3、外角度数为何（）a36b72c108d14410（2011台湾）若钝角三角形abc中，a=27，则下列何者不可能是b的度数？（）a37b57c77d97二填空题（共4小题）11（2014抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放如果3=32，那么1+2=_度12（2013河池）如图，点o是abc的两条角平分线的交点，若boc=118，则a的大小是_13（2008安徽）如图，已知ab，1=70，2=40，则3=_度14（2003金华）如图，平面镜a与b之间夹角为120，光线经过平面镜a反射后射在平面镜b上，再反射出去，若1=2，则1=_度三解答题（共16小题）15（2014六盘水）

4、（1）三角形内角和等于_（2）请证明以上命题16（2001海南）如图，在abc中，已知abc=46，acb=80，延长bc至d，使cd=ca，连接ad，求bad的度数17（2000内蒙古）如图，已知在abc中，c=abc=2a，bd是ac边上的高，求dbc的度数18（2011青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题探究1：如图1，在abc中，o是abc与acb的平分线bo和co的交点，通过分析发现boc=90+，理由如下：bo和co分别是abc和acb的角平分线又abc+acb=180aboc=180（1+2）=180（90a）=探究2：如图2中，o是abc与

5、外角acd的平分线bo和co的交点，试分析boc与a有怎样的关系？请说明理由探究3：如图3中，o是外角dbc与外角ecb的平分线bo和co的交点，则boc与a有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：_19（2010玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若abcd，点p在ab、cd外部，则有b=bod，又因bod是pod的外角，故bod=bpd+d，得bpd=bd将点p移到ab、cd内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则bpd、b、d之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线ab绕点b逆时针方向旋转一定角度交直线cd于点q，如图c，则

6、bpdbdbqd之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中a+b+c+d+e+f的度数20（2013响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，fdc与ecd分别为adc的两个外角，试探究a与fdc+ecd的数量关系探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在adc中，dp、cp分别平分adc和acd，试探究p与a的数量关系探究三：若将adc改为任意四边形abcd呢？已知：如图3，在四边形abcd中，dp、cp

7、分别平分adc和bcd，试利用上述结论探究p与a+b的数量关系探究四：若将上题中的四边形abcd改为六边形abcdef（图4）呢？请直接写出p与a+b+e+f的数量关系：_21已知：如图，在abc中，d为bc上一点，1=2，3=4，bac=120，求dac的度数22如图，求a+b+c+d+e的度数和23如图，在abc中，d为bc上一点，1=2，3=4，bac=63，试求dac，adc的度数24已知：如图所示，abc=66，acb=54，be是ac边上的高，cf是ab边上的高，h是be和cf的交点，求：abe，acf和bhc的度数25如图，abc中，ad是高，ae、bf是角平分线，它们相交于点o

8、，a=50，c=60，求dac及boa26如图，af是abc的高，ad是abc的角平分线，b=36，c=76，求daf的度数27一个零件的形状如图，按规定a=90，c=25，b=25，检验已量得bdc=150，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由28一个零件的形状如图所示，按规定a应等于90，b、c应分别是30和20，李叔叔量得bdc=142，就判定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？29如图所示，求a+b+c+d+e+f的度数30如图，在三角形abc中，a=35，求1+2+3+4的度数和三角形内角和、外角和定理参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1（2013泉

9、州）在abc中，a=20，b=60，则abc的形状是（）a等边三角形b锐角三角形c直角三角形d钝角三角形考点：三角形内角和定理菁优网版权所有分析：根据三角形的内角和定理求出c，即可判定abc的形状解答：解：a=20，b=60，c=180ab=1802060=100，abc是钝角三角形故选d点评：本题考查了三角形的内角和定理，比较简单，求出c的度数是解题的关键2（2012滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）a等腰三角形b直角三角形c锐角三角形d钝角三角形考点：三角形内角和定理菁优网版权所有专题：方程思想分析：已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求

10、得三角的度数，由此判断三角形的类型解答：解：三角形的三个角依次为180=30，180=45，180=105，所以这个三角形是钝角三角形故选：d点评：本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为18090本题也可以利用方程思想来解答，即2x+3x+7x=180，解得x=15，所以最大角为715=1053（2012河源）如图，在折纸活动中，小明制作了一张abc纸片，点d、e分别是边ab、ac上，将abc沿着de折叠压平，a与a重合，若a=75，则1+2=（）a150b210c105d75考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有专题：压轴题分析：先根据图形翻折变化的性质得出adeade

11、，aed=aed，ade=ade，再根据三角形内角和定理求出aed+ade及aed+ade的度数，然后根据平角的性质即可求出答案解答：解：ade是abc翻折变换而成，aed=aed，ade=ade，a=a=75，aed+ade=aed+ade=18075=105，1+2=3602105=150故选a点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等4（2012云南）如图，在abc中，b=67，c=33，ad是abc的角平分线，则cad的度数为（）a40b45c50d55考点：三角形内角和定理菁优网版权所有分析：首

12、先利用三角形内角和定理求得bac的度数，然后利用角平分线的性质求得cad的度数即可解答：解：b=67，c=33，bac=180bc=1806733=80ad是abc的角平分线，cad=bac=80=40故选a点评：本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单三角形内角和定理在小学已经接触过5（2012南通）如图，abc中，c=70，若沿图中虚线截去c，则1+2=（）a360b250c180d140考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角菁优网版权所有分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出1+2=c+（c+3+4），再根据三角形内角和定理即可得出结果解答：解：1、2是cde的外角，1=4

13、+c，2=3+c，即1+2=c+（c+3+4）=70+180=250故选b点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和6（2012梧州）如图，ae是abc的角平分线，adbc于点d，若bac=128，c=36，则dae的度数是（）a10b12c15d18考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高菁优网版权所有分析：根据直角三角形两锐角互余求出cad，再根据角平分线定义求出cae，然后根据dae=caecad，代入数据进行计算即可得解解答：解：adbc，c=36，cad=9036=54，ae是abc的角平分线，bac

14、=128，cae=bac=128=64，dae=caecad=6454=10故选a点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键7（2011日照）如图，已知直线abcd，c=125，a=45，那么e的大小为（）a70b80c90d100考点：三角形内角和定理；平行线的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：根据两直线平行，同旁内角互补，求得efa=55，再利用三角形内角和定理即可求得e的度数解答：解：abcd，c=125，efb=125，efa=180125=55，a=45，e=180aefa=1804555=80故选b点评：

15、本题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补；三角形内角和定理8（2011台湾）如图中有四条互相不平行的直线l1、l2、l3、l4所截出的七个角关于这七个角的度数关系，下列何者正确（）a2=4+7b3=1+6c1+4+6=180d2+3+5=360考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；三角形的外角性质菁优网版权所有分析：根据对顶角的性质得出1=aob，再用三角形内角和定理得出aob+4+6=180，即可得出答案解答：解：四条互相不平行的直线l1、l2、l3、l4所截出的七个角，1=aob，aob+4+6=180，1+4+6=180故选c点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，

16、正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键9（2011台湾）若abc中，2（a+c）=3b，则b的外角度数为何（）a36b72c108d144考点：三角形内角和定理；解二元一次方程组；对顶角、邻补角菁优网版权所有专题：计算题分析：由a+b+c=180，得到2（a+c）+2b=360，求出b=72，根据b的外角度数=180b即可求出答案解答：解：a+b+c=180，2（a+b+c）=360，2（a+c）=3b，b=72，b的外角度数是180b=108，故选c点评：本题主要考查对二元一次方程组，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能根据三角形的内角和定理求出b的度数是解此题的关键10（

17、2011台湾）若钝角三角形abc中，a=27，则下列何者不可能是b的度数？（）a37b57c77d97考点：三角形内角和定理菁优网版权所有专题：推理填空题分析：根据钝角三角形有一内角大于90且三角形内角和为180，c90，b90，分类讨论解答解答：解：钝角三角形abc中，a=27，b+c=18027=153，又abc为钝角三角形，有两种可能情形如下：c90，b15390=63，选项a、b合理；b90，选项d合理，b不可能为77故选c点评：本题考查了钝角三角形的定义及三角形的内角和定理，体现了分类讨论思想二填空题（共4小题）11（2014抚顺）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放如

18、果3=32，那么1+2=70度考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角菁优网版权所有专题：几何图形问题分析：分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可解答：解：3=32，正三角形的内角是60，正四边形的内角是90，正五边形的内角是108，4=1806032=88，5+6=18088=92，5=1802108 ，6=180901=901 ，+得，1802108+901=92，即1+2=70故答案为：70点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键12（2013河池）如图，点o是abc的两条角平分线的交点，若boc=

19、118，则a的大小是56考点：三角形内角和定理菁优网版权所有分析：先根据三角形内角和定理求出1+2的度数，再根据角平分线的定义求出abc+acb的度数，由三角形内角和定理即可得出结论解答：解：boc中，boc=118，1+2=180118=62bo和co是abc的角平分线，abc+acb=2（1+2）=262=124，在abc中，abc+acb=124，a=180（abc+acb）=180124=56故答案为：56点评：本题考查的是角平分线的定义，三角形内角和定理，即三角形的内角和是18013（2008安徽）如图，已知ab，1=70，2=40，则3=70度考点：三角形内角和定理；平行线的性质菁

20、优网版权所有专题：计算题分析：把2，3转化为abc中的角后，利用三角形内角和定理求解解答：解：由对顶角相等可得acb=2=40，在abc中，由三角形内角和知abc=1801acb=70又ab，3=abc=70点评：本题考查了平行线与三角形的相关知识14（2003金华）如图，平面镜a与b之间夹角为120，光线经过平面镜a反射后射在平面镜b上，再反射出去，若1=2，则1=30度考点：三角形内角和定理；角平分线的定义菁优网版权所有专题：压轴题分析：因为入射角等于反射角，所以1=2=（180120）2解答：解：如图所示，作出入射光线的法线，根据“入射角等于反射角”可知1=3，2=4，1=2，aob=1

21、20，1=2=（180120）2=30故答案为：30点评：此题由题意得出“入射角等于反射角”是关键三解答题（共16小题）15（2014六盘水）（1）三角形内角和等于180（2）请证明以上命题考点：三角形内角和定理；平行线的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）直接根据三角形内角和定理得出结论即可；（2）画出abc，过点c作cfab，再根据平行线的性质得出2=a，b+bcf=180，再通过等量代换即可得出结论解答：解：（1）三角形内角和等于180故答案为：180；（2）已知：如图所示的abc，求证：a+b+c=180证明：过点c作cfab，cfab，2=a，b+bcf=180，1+2=bcf

22、，b+1+2=180，b+1+a=180，即三角形内角和等于180点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180是解答此题的关键16（2001海南）如图，在abc中，已知abc=46，acb=80，延长bc至d，使cd=ca，连接ad，求bad的度数考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质菁优网版权所有分析：要求bad的度数，只要求出c的度数就行了，根据三角形内角和为180，求出bad的度数，根据三角形内角和外角关系及等腰三角形性质，易求c的度数解答：解：acb=80acd=180acb=18080=100又cd=cacad=dacd+cad+d=180ca

23、d=d=40在abc内bad=180abcd=1804640=94点评：此题主要考三角形内角与外角的关系及等腰三角形的性质；找出角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键17（2000内蒙古）如图，已知在abc中，c=abc=2a，bd是ac边上的高，求dbc的度数考点：三角形内角和定理菁优网版权所有专题：数形结合分析：根据三角形的内角和定理与c=abc=2a，即可求得abc三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得dbc的度数解答：解：c=abc=2a，c+abc+a=5a=180，a=36则c=abc=2a=72又bd是ac边上的高，则dbc=90c=18点评：此题主要是三角形

24、内角和定理的运用三角形的内角和是18018（2011青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题探究1：如图1，在abc中，o是abc与acb的平分线bo和co的交点，通过分析发现boc=90+，理由如下：bo和co分别是abc和acb的角平分线又abc+acb=180aboc=180（1+2）=180（90a）=探究2：如图2中，o是abc与外角acd的平分线bo和co的交点，试分析boc与a有怎样的关系？请说明理由探究3：如图3中，o是外角dbc与外角ecb的平分线bo和co的交点，则boc与a有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：boc=90a考点：三角

25、形的外角性质；三角形内角和定理菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用a与1表示出2，再利用o与1表示出2，然后整理即可得到boc与a的关系；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出obc与ocb，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解解答：解：（1）探究2结论：boc=a，理由如下：bo和co分别是abc和acd的角平分线，1=abc，2=acd，又acd是abc的一外角，acd=a+abc，2=（a+abc）=a+1，2是boc的一外角，boc=21=a+11=a；（2）探究3：o

26、bc=（a+acb），ocb=（a+abc），boc=1800bcocb，=180（a+acb）（a+abc），=180a（a+abc+acb），结论boc=90a点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要19（2010玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若abcd，点p在ab、cd外部，则有b=bod，又因bod是pod的外角，故bod=bpd+d，得bpd=bd将点p移到ab、cd内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则bpd、b

27、、d之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线ab绕点b逆时针方向旋转一定角度交直线cd于点q，如图c，则bpdbdbqd之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中a+b+c+d+e+f的度数考点：三角形的外角性质；平行线的性质；三角形内角和定理菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）延长bp交cd于e，根据两直线平行，内错角相等，求出ped=b，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为bpd=b+d；（2）作射线qp，根据三角形的外角性质可得；（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解解答：解：（1）不成立结论是b

28、pd=b+d延长bp交cd于点e，abcdb=bed又bpd=bed+d，bpd=b+d（2）结论：bpd=bqd+b+d（3）连接eg并延长，根据三角形的外角性质，agb=a+b+e，又agb=cgf，在四边形cdfg中，cgf+c+d+f=360，a+b+c+d+e+f=360点评：本题是信息给予题，利用平行线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答20（2013响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，fdc与ecd分别为adc的两个外角，试探究

29、a与fdc+ecd的数量关系探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在adc中，dp、cp分别平分adc和acd，试探究p与a的数量关系探究三：若将adc改为任意四边形abcd呢？已知：如图3，在四边形abcd中，dp、cp分别平分adc和bcd，试利用上述结论探究p与a+b的数量关系探究四：若将上题中的四边形abcd改为六边形abcdef（图4）呢？请直接写出p与a+b+e+f的数量关系：p=（a+b+e+f）180考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理菁优网版权所有专题：探究型分析：探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得f

30、dc=a+acd，ecd=a+adc，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得pdc=adc，pcd=acd，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出adc+bcd，然后同理探究二解答即可；探究四：根据六边形的内角和公式表示出adc+bcd，然后同理探究二解答即可解答：解：探究一：fdc=a+acd，ecd=a+adc，fdc+ecd=a+acd+a+adc=180+a；探究二：dp、cp分别平分adc和acd，pdc=adc，pcd=acd，dpc=180pdcpcd，=180adcacd，=180（adc+acd），=180（

31、180a），=90+a；探究三：dp、cp分别平分adc和bcd，pdc=adc，pcd=bcd，dpc=180pdcpcd，=180adcbcd，=180（adc+bcd），=180（360ab），=（a+b）；探究四：六边形abcdef的内角和为：（62）180=720，dp、cp分别平分adc和acd，p=adc，pcd=acd，p=180pdcpcd，=180adcacd，=180（adc+acd），=180（720abef），=（a+b+e+f）180，即p=（a+b+e+f）180点评：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求

32、解是解题的关键21已知：如图，在abc中，d为bc上一点，1=2，3=4，bac=120，求dac的度数考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理菁优网版权所有分析：根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决解答：解：bac=120，2+3=601=2，4=3=1+2=22把代入得：32=60，2=20dac=12020=100点评：注意三角形的内角和定理以及推论的运用，还要注意角之间的等量代换22如图，求a+b+c+d+e的度数和考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理菁优网版权所有分析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得4=a+2，2=d+c，进而利用三角形的内角和定理

33、求解解答：解：如图可知：4是三角形的外角，4=a+2，同理2也是三角形的外角，2=d+c，在beg中，b+e+4=180，即b+e+a+d+c=180点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系23如图，在abc中，d为bc上一点，1=2，3=4，bac=63，试求dac，adc的度数考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理菁优网版权所有分析：由三角形的内角和是180，和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可求1=39，3=78，所以dac=24，adc=3=78解答：解：1=2，3=1+2=21=4，23+cad=21+22+bac1=41+

34、631=31+63=180，1=39=2，3=4=78，dac=631=6339=24，adc=3=78点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180”这一隐含的条件；以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和24已知：如图所示，abc=66，acb=54，be是ac边上的高，cf是ab边上的高，h是be和cf的交点，求：abe，acf和bhc的度数考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理菁优网版权所有分析：由三角形的内角和是180，可求a=60又因为be是ac边上的高，所以aeb=90，所以abe=30同理，acf=30度，又因为bhc是

35、ceh的一个外角，所以bhc=120解答：解：abc=66，acb=54，a=180abcacb=1806654=60又be是ac边上的高，所以aeb=90，abe=180bacaeb=1809060=30同理，acf=30，bhc=bec+acf=90+30=120点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决25如图，abc中，ad是高，ae、bf是角平分线，它们相交于点o，a=50，c=60，求dac及boa考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理菁优网版权所有专题：计算题分析：先

36、利用三角形内角和定理可求abc，在直角三角形acd中，易求dac；再根据角平分线定义可求cbf、eaf，然后利用三角形外角性质，可先求afb，再次利用三角形外角性质，容易求出boa解答：解：a=50，c=60abc=1805060=70，又ad是高，adc=90，dac=18090c=30，ae、bf是角平分线，cbf=abf=35，eaf=25afb=c+cbf=60+35=95，boa=eaf+afb=25+95=120，dac=30，boa=120点评：本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质关键是利用角平分线的性质解出eaf、cbf，再运用三角形外角性质求出afb26如图，af是abc的高，ad是abc的角平分线，b=36，c=76，求daf的度数考点：三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理菁优网版权所有分析：在adf中，由三角形的外角性质知：adf=b+bac，所以b+bac+fad=90，联立abc中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出daf，b，c的关系，再代值求解即可解答：解：由三角形的外角性质知：adf=b+bac，故b+bac+daf=90；abc