第三章-排队模型课件

1、第三章排队论,排队现象与排队系统;排队模型与系统参数;排队系统时间参数分布规律;排队系统的生灭过程与状态转移方程;排队系统分析;单服务台负指数分布模型多服务台负指数分布模型排队系统优化分析;,1,1,PPT学习交流,1、排队现象与排队系统,一、排队现象,2,2,PPT学习交流,（1）由于顾客到达和服务时间的随机性，现实中的排队现象几乎不可避免；（2）排队过程，通常是一个随机过程，排队论又称“随机服务系统理论”；,3,3,PPT学习交流,二、排队系统,（一）排队服务过程,4,4,PPT学习交流,（二）排队系统的要素及其特征,1、排队系统的要素：,（1）顾客输入过程；（2）排队结构与排队规则；（3

2、）服务机构与服务规则；,5,5,PPT学习交流,2、排队系统不同要素的主要特征：,（1）顾客输入过程,顾客源(总体)：有限/无限;顾客到达方式：逐个/逐批;(仅研究逐个情形)顾客到达间隔：随机型/确定型;顾客前后到达是否独立：相互独立/相互关联；输入过程是否平稳：平稳/非平稳；(仅研究平稳性),6,6,PPT学习交流,（2）排队结构与排队规则,顾客排队方式：等待制/即时制(损失制);排队系统容量：有限制/无限制;排队队列数目:单列/多列;是否中途退出:允许/禁止;是否列间转移:允许/禁止;(仅研究禁止退出和转移的情形),7,7,PPT学习交流,（3）服务机构与服务规则,服务台(员)数目;单个/

3、多个;服务台(员)排列形式;并列/串列/混合;服务台(员)服务方式;逐个/逐批;(研究逐个情形)服务时间分布;随机型/确定型;服务时间分布是否平稳:平稳/非平稳;(研究平稳情形),8,8,PPT学习交流,9,9,PPT学习交流,排队模型与系统参数,一、排队模型,(一)排队模型表示方法,1、D.G.Kendall(1953)表示法X/Y/Z依据排队系统3个主要特征：（1）X顾客到达间隔时间分布；（2）Y服务台（员）服务时间分布；（3）Z服务台（员）个数（单个或多个并列）；,10,10,PPT学习交流,2、国际排队论标准化会议(1971)表示法X/Y/Z/A/B/C（1）A系统容量限制；（2）B顾

4、客源（总体）数目；（3）C服务规则（FCFS，LCFS等）；,略去后三项，即指“X/Y/Z/FCFS”；这里仅研究FCFS的情形；,11,11,PPT学习交流,(二)到达间隔和服务时间典型分布,（1）泊松分布M；（2）负指数分布M；（3）k阶爱尔朗分布Ek；（4）确定型分布D；（5）一般服务时间分布G；,M/M/1，M/D/1，M/Ek/1；M/M/c，M/M/c/m，M/M/c/N/，。,(三)排队模型示例,12,12,PPT学习交流,二、系统参数,(一)系统运行状态参数,1、系统状态N(t)指排队系统在时刻t时的全部顾客数N(t)，包括“排队顾客数”和“正被服务顾客数”；,系统状态的可能值

5、如下：（1）系统容量无限制，N(t)=0，1，2，;(2)系统容量为N时,N(t)=0,1,2,N;(3)服务台个数为c/损失制,N(t)=0,1,2,c;,一般,系统状态N(t)是随机的。,13,13,PPT学习交流,2、系统状态概率：(1)瞬态概率Pn(t)表示时刻系统状态N(t)=n的概率;(2)稳态概率PnPn=Pn(t);一般，排队系统运行了一定长的时间后，系统状态的概率分布不再随时间t变化，即初始时刻（t=0）系统状态的概率分布(Pn(0)，n0）的影响将消失。,14,14,PPT学习交流,(二)系统运行指标参数评价排队系统的优劣。,1、队长与排队长(1)队长:系统中的顾客数（n）

6、；期望值Ls=n*Pn(2)排队长:系统中排队等待服务的顾客数;期望值Lq=,Lq=Ls-正被服务的顾客数,15,15,PPT学习交流,2、逗留时间与等待时间(1)逗留时间:指一个顾客在系统中的全部停留时间；期望值，记为Ws(2)等待时间:指一个顾客在系统中的排队等待时间；期望值，记为Wq,Ws=Wq+E服务时间,16,16,PPT学习交流,3、其他相关指标(1)忙期:指从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空闲的时间长度；(2)忙期服务量：指一个忙期内系统平均完成服务的顾客数；(3)损失率:指顾客到达排队系统，未接受服务而离去的概率；(4)服务强度：=/c；,17,17,PPT学习交流,3、

7、排队系统时间参数分布规律,一、顾客到达时间间隔分布(一)泊松流与泊松分布,如果顾客到达满足如下条件,则称为泊松流:(1)在不相互重叠的时间区间内，到达顾客数相互独立(无后效性).(2)对于充分小的时间间隔内，到达1个顾客的概率与t无关，仅与时间间隔成正比(平稳性)：(3)对于充分小的时间间隔，2个及以上顾客到达的概率可忽略不计(普通性)。,18,18,PPT学习交流,对泊松流，在时间t系统内有n个顾客的概率服从如下泊松分布EN(t)=t;VarN(t)=t;单位时间平均到达的顾客数；,19,19,PPT学习交流,若顾客到达间隔T的概率密度为则称T服从负指数分布，分布函数如下：若顾客流是泊松流时

8、，顾客到达的时间间隔显然服从上述负指数分布(WHY);ET=1/;VarT=1/2;T=1/,(二)泊松流到达间隔服从负指数分布,20,20,PPT学习交流,二、顾客服务时间分布(一)负指数分布,(1)对一个顾客的服务时间Ts，等价于相邻两个顾客离开排队系统的时间间隔。若Ts服从负指数分布，其概率密度和分布函数分别为则ETs=1/;VarTs=1/2;Ts=1/(2)ETs=1/：每个顾客的平均(期望)服务时间；:单位时间服务的顾客数，平均(期望)服务率；,21,21,PPT学习交流,(二)爱尔朗(Erlang)分布,(1)设v1,v2,vk是k个相互独立的随机变量,服从相同参数1/k的负指数

9、分布,则:T=v1+v2+vk的概率密度为称T服从k阶爱尔朗分布。(2)ET=1/;VarT=1/(k2)(3)T的意义之一:k个串联服务台的总服务时间！,22,22,PPT学习交流,4、排队系统的生灭过程与状态转移方程,一、排队系统的生灭过程,(一)生灭过程的背景与定义,设某系统具有状态集S=0,1,2,或S=0,1,2,k,N(t)表示系统在时刻t(t=0)的状态。若在N(t)=n的条件下，随机过程N(t),t=0满足以下条件:(1)N(t+t)转移到“n+1”的概率为n(t);(2)N(t+t)转移到“n-1”的概率为n(t);(3)N(t+t)转移到其他状态“S-n+1,n-1”的概率

10、为o(t)(高阶无穷小);则称随机过程N(t),t=0为生灭过程。,n，n，t(？),23,23,PPT学习交流,(二)生灭过程状态变化的性质,(1)在无穷小t内,系统或生长1个;或灭亡1个;或既不生长又不灭亡（概率:1-n(t)-n(t)）;(2)系统生长一个的概率n(t)与t有关，而与t无关;与系统当前状态n有关，而与以前的状态无关；(3)系统灭亡一个的概率n(t)与t有关，而与t无关;与系统当前状态n有关，而与以前的状态无关；,马尔可夫性质,24,24,PPT学习交流,(三)排队系统的生灭过程,顾客到达“生”；顾客离开“灭”,顾客到达,顾客离去,(1)生灭过程示意,25,25,PPT学习

11、交流,若排队系统具有下列性质:(1)顾客到达为泊松流，时间间隔服从参数为n的负指数分布;(2)顾客服务时间服从参数为n的负指数分布;则排队系统的随机过程N(t),t=0具有马尔可夫性质,为一个生灭过程.,(2)生灭过程定义,26,26,PPT学习交流,二、排队系统的状态转移方程,(一)排队系统状态的概率及其分布,(1)瞬态概率Pn(t)表示时刻系统状态N(t)=n的概率;(2)稳态概率PnPn=Pn(t);,一般，稳态概率Pn的分布，是分析计算排队系统运行优劣的基础。,27,27,PPT学习交流,(二)排队系统状态概率的微分差分方程,推导过程：P323,求解可得瞬态概率Pn(t),28,28,

12、PPT学习交流,(三)排队系统状态转移方程,求解可得稳态概率Pn,令,则,排队系统状态转移方程,29,29,PPT学习交流,(四)排队系统状态转移图,30,30,PPT学习交流,31,31,PPT学习交流,32,32,PPT学习交流,33,33,PPT学习交流,34,34,PPT学习交流,35,35,PPT学习交流,三、排队系统稳态概率Pn的求解,36,36,PPT学习交流,37,37,PPT学习交流,对一般排队系统，均有下式成立,其中有效到达率为,四、排队系统性能参数的一般关系Little公式,38,38,PPT学习交流,39,G/G/1和G/G/c队列,单位时间个客户到达，一个服务器单位时

13、间能够服务个客户，客户到达时间间隔和服务时间任意分布，1个或者c个服务器，无限等待位。G/G/1或者G/G/c。定义1：客户不断累积，越来越多0，取值空间为0,1,2,.。如果X(t)=n，则称这个随机过程描述的系统在时间t处于状态En，n=0，1，2，.。如果出生速率n和死亡速率n满足以下条件，则称这个随机过程为生灭过程。状态转移只能EnEn+1，n=0，1，2，.。如果在时间t系统位于状态En，则在一小段时间t,t+h)发生状态转移EnEn+1的概率是nh+o(h)。如果在时间t系统位于状态En，则在一小段时间t,t+h)发生状态转移EnEn-1的概率是nh+o(h)。如果在时间t系统位于

14、状态En，则在一小段时间t,t+h)发生其它转移的概率o(h)。,49,49,49,PPT学习交流,令Pn(t)=PX(t)=n在时间t+h，系统仍然在状态En的概率Pn(t+h)，有四种情况在时间t系统位于状态En，t,t+h)状态没有发生改变在时间t系统位于状态En-1，t,t+h)发生一个出生事件在时间t系统位于状态En+1，t,t+h)发生一个死亡事件在时间t系统位于上述状态以外的状态,50,50,50,PPT学习交流,情况1发生的概率情况2发生的概率情况3发生的概率情况4发生的概率综合4种情况,51,51,51,PPT学习交流,整理取h0对n1当n=0初始条件，t=0时，系统位于状态

15、Ei，所有n=0，称为纯生过程，“人口爆炸”如果纯生过程n=，即为泊松过程所有n=0，称为纯灭过程，“种群消亡”,52,52,52,PPT学习交流,稳态生灭过程,当t，系统状态Pn(t)不随时间改变。称这种状态为稳态（Stationary或者steady-state）记，稳态下稳态下对任意一个状态，“进入该状态的概率=退出该状态的概率”,53,53,53,PPT学习交流,对状态0，对其它任意一个状态i，解线性方程组可得稳态生灭过程各状态概率当有无限个状态，生灭过程的稳态解为生灭过程有稳态解的必要和充分条件为,54,54,54,PPT学习交流,例一个单服务器排队系统，无等待位。假设客户到达是一个

16、速率为的泊松过程，服务器服务时间服从指数分布，服务速率为，即单位时间服务1/个客户。求解：没有等待位，系统只有两个状态，“0”和“1”根据生灭过程方程,55,55,55,PPT学习交流,解微分方程稳态，t。直接求解稳态，用“流入=流出”计算稳态状态概率,56,56,56,PPT学习交流,57,例考虑一个单服务器的生灭过程系统中。系统只能够容纳3个客户，到达速率(012)=(3,2,1)，服务（死亡）速率为(123)=(1,2,2)。计算稳态下各状态概率，并计算有效到达速率和客户等待时间W求解生灭过程(p0,p1,p2,p4)=(0.117647,0.352941,0.352941,0.1764

17、71),57,57,PPT学习交流,无限源的排队系统,假定顾客来源是无限的，顾客到达间隔时间服从负指数分布且不同的到达间隔时间相互独立，每个服务台服务一个顾客的时间服从负指数分布，服务台的服务时间相互独立，服务时间与间隔时间相互独立。,1MM1系统,设顾客流是参数为,的最简单流，,是单位时间内,平均的顾客人数只有一个服务台，服务一个顾客的服,务时间,服从参数为,的负指数分布平均服务时间,为记,在服务台忙时，单位时间平均服务,58,58,PPT学习交流,完的顾客数为,称,为服务强度,用N(t)表示在时刻t顾客在系统中的数量(包括等待服务的和正在接受服务的顾客)证明系统组成生灭过程,由于顾客的到达

18、是最简单流，参数,在长度为,的时间内有一个顾客到达的概率为,59,59,PPT学习交流,没有顾客到达的概率为,到达2个或2个以上顾客的概率为,在服务台忙时(总认为只要系统内有顾客，服务员就得进行服务)，顾客接受服务完毕离开系统的间隔时间为,60,60,PPT学习交流,独立的、参数为,的负指数分布所以在系统忙时，输,出过程为一最简单流，参数为,，于是当系统忙时，在,时间区间内1个顾客被服务完的概率为,没有顾客被服务完的概率为,两个或,两个以上顾客被服务完的概率为,且,顾客数无关，与微小时问区间的起点无关,与系统的,对任意给定的,微小增量,假设,先考虑ji十1的情况，,当,时,P时间内恰好到达1个

19、顾客而没有顾客被服务完或恰好有k个顾客到达并且k-1个顾客被服务完，,61,61,PPT学习交流,p时间内恰好到达1个顾客而没有顾客被服务完十时间内到达k个顾客而服务完k-1个顾客，,当i0时,62,62,PPT学习交流,63,63,PPT学习交流,由以上结果，可知,是一生灭过程，并且,由生灭过程求平稳解公式，得,由假设,则,从而平稳分布为,64,64,PPT学习交流,服务台空闲的概率，而,是排队系统中没有顾客的概率，也就是,恰好是服务台忙的概率。,利用平稳分布可以求统计平衡条件下的平均队长L、平均等待队长Lq、顾客的平均等待时间Wq平均逗留时间W等,用N表示在统计平稳下系统的顾客数，平均队长

20、L是,N的数学期望,65,65,PPT学习交流,用Nq表示在统计平衡时，排队等待的顾客数，它的数学期望LqE(Nq)就是在等待服务的平均顾客人数,现在来求平均等待时间Wq，当一个顾客进入系统时，系统中已有n个顾客的概率为pn，每个顾客的平均服务时,间为,所以他平均等待时间为,因此,66,66,PPT学习交流,再求顾客的平均逗留时间(平均等待时间再加上平均服务时间)W,例7.2.1某火车站的售票处设有一个窗口若购票者是以最简单流到达，平均每分钟到达1人，假定售票时间服从负指数分布，平均每分钟可服务2人，试研究售票窗口前排队情况,解由题设,(人分)，,(人分)，,67,67,PPT学习交流,平均队

21、长,(人),平均等待队长,人),平均等待时间,(分),平均逗留时间,(分),超过5人的概率为,顾客不需要等待的概率为,等待的顾客人数,68,68,PPT学习交流,例7.2.2在某工地卸货台装卸设备的设计方案中，有三个方案可供选择，分别记作甲、乙、丙。目的是选取使总费用最小的方案，有关费用(损失)如下表所示：,方案,每天固定费用,每天可变操作费(元),每小时平均装卸袋数,甲,乙,丙,100,130,250,100,150,200,1000,2000,6000,69,69,PPT学习交流,设货车按最简单流到达，平均每天(按10小时计算)到达15车，每车平均装货500袋，卸货时间服从负指数分布每辆车

22、停留1小时的损失为10元,于方案,解平均到达率,车小时，服务率,依赖,由(7.2.6)，1辆车在系统内平均停留时间为,70,70,PPT学习交流,每天货车在系统停留的平均损失费为W(平均停留时间)1015(总车辆)，每天的实际可变费用(如燃料费等)为,(可变操作费天)设备忙的概率cp(元天),而,所以每个方案的费用综合如下表所示,71,71,PPT学习交流,从上表知方案乙的总费用最省。,例7.2.3要购置计算机，有两种方案甲方案是购进一大型计算机，乙方案是购置n台小型计算机每台小型计算机是大型计算机处理能力的1/n倍设要求上机的题,从平均逗留时间、等待时间看，应该选择哪一个方案,目是参数为,的

23、最简单流，大型计算机与小型计算机计,算题目的时间是负指数分布，大型计算机的参数是,试,解设,按甲方案，购大型计算机,平均等待时间,平均逗留时间,按乙方案，购n台小型计算机，每台小计算机的题目,72,72,PPT学习交流,到达率为,服务率为,平均等待时间,平均逗留时间,所以只是从平均等待时间，平均逗留时间考虑，应,该购置大型计算机,例7.2.4设船到码头，在港口停留单位时间损失cI元，,进港船只是最简单流，参数为,，装卸时间服从参数为,的负指数分布，服务费用为,是一个正常数,元，,73,73,PPT学习交流,求使整个系统总费用损失最小的服务率,解因为平均队长,的损失费为,所以船在港口停留,服务费

24、用为,因此总费用为,使F达到最小，先求F的导数,求,让,解出,因为,74,74,PPT学习交流,最优服务率是,当,时,平均队长L、平均等待队长Lq、平均逗留时间W、平均等待时间Wq是排队系统的重要特征这些指标反映了排队系统的服务质量，是顾客及排队系统设计者关心的几个指标由(7.2.3)到(7.2.6)的公式，得到这四个指标之间的关系,(7.2.8),75,75,PPT学习交流,这两组关系式，可以作这样直观解释：当系统内有顾客时，平均等待队长Lq应该是平均队长L减1，当系统内没有顾客时，平均等待队长Lq与平均队长L相等，所以,单位时间内平均进入系统的顾客为,个,每个顾客在系,Wq个顾客在等待服务

25、,统内平均逗留W单位时间因此系统内平均有,W个顾客,同样理由，系统内平均有,(7.2.8)式在更一般的系统也成立，通常称为Little公式,2MM1k系统,有些系统容纳顾客的数量是有限制的例如候诊室只能容纳k个就医者第k十1个顾客到来后，看到候诊室已经坐满了，就自动离开，不参加排队,76,76,PPT学习交流,共有k个位置可供进入系统的顾客占用，一旦k个位置已被顾客占用(包括等待服务和接受服务的顾客)，新到的顾客就自动离开服务系统永不再回来如果系统中有空位置，新到的顾客就进入系统排队等待服务，服务完后离开系统,假定一个排队系统有一个服务台，服务时间是负指数,分布，参数是,顾客以最简单流到达，参

26、数为,系统中,用N(t)表示时刻t系统中的顾客数，系统的状态集合,为S0，1，2，-k与MM1,的证明方法一,样，可以证明,是个有限生灭过程，且有,77,77,PPT学习交流,平均队长,分两种情况：,78,78,PPT学习交流,时，,时，,79,79,PPT学习交流,平均等待队长,pk是个重要的量，它称为损失概率，即当系统中有k个顾客时，新到的顾客就不能进入系统单位时间平均损失的顾客数为,单位时间内平均真正进入系统的顾客数为,80,80,PPT学习交流,由Little公式，可以求得平均逗留时间、平均等待时间,81,81,PPT学习交流,平均服务强度,这是实际服务强度，就是服务台正在为顾客服务的

27、概率,而,不是服务强度，因为有一部分,顾客失掉了。,例7.2.5一个理发店只有一个理发师，有3个空椅供等待理发的人使用设顾客以最简单流来到，平均每小时5人理发师的理发时间服从负指数分布，平均每小时6人.试求L，Lq，W，Wq,解5(人小时)，6(人小时),k4，,82,82,PPT学习交流,用公式(7.2.10)，(7.2.11)，(7.2.12)，(7.2.13),得到,83,83,PPT学习交流,例7.2.6给定一个MM1/k系统，具有,10,(人小时)，,30(人小时)，k2管理者想改进,服务机构方案甲是增加等待空间，使k3方案乙是将,平均服务率提高,40(人小时)设服务每个顾客的,平均

28、收益不变问哪个方案获得更大收益，当,增加到,每小时30人，又将有什么结果?,解由于服务每个顾客的平均收益不变，因此服务机构单位时间的收益与单位时间内实际进入系统的平均人数nk成正比(注意，不考虑成本),方案甲：k3,84,84,PPT学习交流,方案乙：k2,因此扩大等待空间收益更大,当,增加到30人小时时，,这时方案甲有,85,85,PPT学习交流,而方案乙是把,提高到,40人小时,30(人小时)时，提高服务效益的收益比,扩大等待空间的收益大,所以当,3MMc,系统,现在来讨论多个服务台情况假设系统有c个服务台，顾客到达时，若有空闲的服务台便立刻接受服务若没有空闲的服务台，则排队等待，等到有空

29、闲服务台时再接受服务与以前一样，假设顾客以最简单流到达，参数为,服务台相互独立，服务时间都服从参数为,的负指,86,86,PPT学习交流,数分布,当系统中顾客人数,时，这些顾客都正在接受,服务，服务时间服从参数为,的负指数分布可以证明,顾客的输出是参数为n,的最简单流如果,nc，那么,只有c个顾客正在接受服务其余在排队，顾客的输出,服从参数为,的最简单流,用N(t)表示t时刻排队系统内顾客人数与,的推导方法类似，可以证明,也是一个生灭,过程。,87,87,PPT学习交流,由(7.1.3)得到,88,88,PPT学习交流,先计算平均等待队长Lq，只有系统的顾客数,时，才有n-c个顾客在排队等待服

30、务。,所以,89,89,PPT学习交流,平均忙的服务台数为,90,90,PPT学习交流,平均逗留的顾客人数为,平均等待时间为,平均逗留时间为,91,91,PPT学习交流,例7.2.7一个大型露天矿山，考虑建设矿石卸矿场，是建一个好呢?还是建两个好估计矿车按最简单流到达，平均每小时到达15辆，卸车时间也服从负指数分布，平均卸车时间是3分钟，每辆卡车售价8万元，建设第二个卸矿场需要投资14万元,解,平均服务率20(辆小时),平均到达率15(辆小时),在卸矿场停留的平均矿车数,建两个卸矿场的情况：,92,92,PPT学习交流,p0,因此建两个卸矿场可减少在卸矿场停留的矿车数为：3一0.872.13辆

31、就是相当于平均增加2.13辆矿车运矿石而每辆卡车的价格为8万元，所以相当于增加2.13817.04万元的设备。建第二个卸矿场的投资为14万元，所以建两个卸矿场是合适的,例7.2.8有一个,系统，假定每个顾客在,系统停留单位时间的损失费用为c1元，每个服务设备单位时间的单位服务率成本为c2元要求建立几个服务台才能使系统单位时间平均总损失费用最小,解单位时间平均损失费为,93,93,PPT学习交流,要求使F达到最小的正整数解c*通常用边际分析法：找正整数c*，使其满足,由,得到,所以,同样，由,得到,94,94,PPT学习交流,因此c*必须满足不等式,取c1，2，-，计算L(c)-L(c+1)之差

32、，若,落在,之间，c*就是最优解,例7.2.9某公司中心实验室为各工厂服务设做试验的人数按最简单流到来平均每天48(人次天)，c16(元)作试验时间服从负指数分布，平均服务率为,25(人次天)，c24(元)求最优试验设备c*，使系统总费用为最小,解48(人次天)25(人次天),95,95,PPT学习交流,按MMc,计算p0，L(c)等(注意以下公式只对,成立),将计算结果列成下表,96,96,PPT学习交流,所以取c*3，总费用最小。,97,97,PPT学习交流,有限源排队系统,对于顾客来源是个有限集合的随机服务系统如果一个顾客加入排队系统，这个有限集合的元素就少一个当一个顾客接受服务结束，就

33、立刻回到这个有限集合中去这类排队系统主要应用在机器维修问题上，有限集合是某单位的机器总数，顾客是出故障的机器，服务台是维修工。,1MMcmm系统,工人就去维修，修好以后，继续运转如果维修工都在维修机器，那么出故障的机器就停在那里等待修理进入系统的顾客是等待修理和正在维修的机器服务台是维修工。,用机器及维修工来代替顾客及服务台的名称假,定有c个维修工共同看管,台机器机器出故障后,98,98,PPT学习交流,同一负指数分布，平均修复时间为,设每台机器的连续运转时间服从同参数的负指数分布，,每台机器平均运转时间为,这说明一台机器单位运转,时间内出故障的平均次数为,维修工的维修时间都服从,用N(t)表

34、示t在系统的机器数(正在接受维修和等待维修的机器)这时输入与系统的状态有关当系统有n台停止运转的机器时，正在运转的机器数为m-n，单位时间内平均出故障的次数为(m-n),输出情况与MMc,相同，所以参数为,99,99,PPT学习交流,由生灭过程求平稳解的公式，,不难验证,仍为一生灭过程，其状态空,间为,得到,现在来求排队系统的几个数量指标,100,100,PPT学习交流,平均发生故障的机器数,平均等待维修的机器数,平均正在工作的维修工人数,平均运行的机器数,101,101,PPT学习交流,这公式是很容易理解的所有的机器m分成三类：正在运行的a，正在维修的c，等待维修的Lq,在统计平衡条件下单位

35、时间发生故障的平均次数为,即单位时间平均发生故障的机器数等于正在运行的机器平均发生故障次数.,102,102,PPT学习交流,由Little公式可得机器的平均停工时间和平均等待,维修时间分别为,在实际应用中，看一个排队系统的好坏，往往看它的机器停工造成的损失及工人空闲程度等所以下列指标是很有用的,工人操作效率,p(c),平均工作人数,总工人数,工人损失系数,q(c),平均空闲工人数,总工人数,103,103,PPT学习交流,机器利用率u(c),平均工作机器数,总机器数,机器损失系数r(c),等待维修机器数,总机器数,例设有2个工人看管5台自动机，组成MM2,55系统，,(次运转小时).,求平均

36、停止运转机器数L、平均等待修理数Lq以及每次出故障的平均停止运转时间W、平均等待修理时间Wq.,(次小时)，,解,由(7.3.1)，(7.3.2)有,104,104,PPT学习交流,由(7.3.3)，(7.3.4)有,由(7.3.5)，(7.3.6)有,W0.28(小时)，Wq0.03(小时),看管6台机器方案二：3个工人共同看管20台机器试比较两个方案的优劣,例设某厂有自动车床若干台，各台的质量是相同,的，连续运转时间服从负指数分布，参数为,，工人的技,术也差不多，排除故障的时间服从负指数分布，参数为,设,有两个方案方案一：3个工人独立地各自,解方案一因为是分别看管可以各自独立分析，是3个M

37、M16系统由上面的公式可求出,105,105,PPT学习交流,方案二m20，c3，,可求得,机器损失系数、修理工人损失系数都小于方案一，,所以方案二较好。,事实上，对给定的,正整数c，m在本节初的,假设下，我们能证明如下一般的结论：c个工人分别独立地各自看管m台机器时，修理工的损失系数q(1)与机器损失系数r(1)分别大于c个工人共同看管fm台机器的相应量q(c)，r(c)这个结果是很直观的，当c个工人独自看,106,106,PPT学习交流,管时，工人A单独看管m台机器，某个时候可能有多于1台机器发生故障，他只能在1台上排除故障，其它的等待维修但可能工人B看管m台机器全处于正常运转状态如果是共同看管。B就可以去排除A看管的等待维修的机器，从而降低损失系数,2MM/cm十Nm系统,现在来考虑有备用机器的情况有m台机器进行生产，另有N台备用(如飞机引擎、电报局的电传打字机、计算机元件、露天矿的矿车等)当生产的机器出故障后，就立即用备用件替换下来(如没有备用件，这台机器就停止生产)由工人进行修理修好后，若正在生产的机器数为m，则它就加入备用，否则就投入生产其它假设与MMcmm系统