2018年高考一轮复习高中数学立体几何知识点汇编

1、高中课程复习题目数学立体几何空间几何学空间几何的类型1多面体：由几个平面多边形包围的几何图形。包围多面体的每个多边形称为多面体的面，两个相邻面的公共边称为多面体的边，边和边的公共点称为多面体的顶点。旋转体：一个平面图形在其平面内绕一条固定的直线旋转，形成一个封闭的几何体。其中，这条直线被称为旋转体的轴线。几种空间几何的结构特征1棱镜的结构特点1.1棱镜的定义：两个面互相平行，另一个面是四边形，每两个相邻四边形的公共边互相平行。被这些面包围的几何形体叫做棱柱。图1-1棱镜图1-1棱镜1.2棱镜的分类1.3棱镜的特性(1)侧边均相等，侧边为平行四边形；两个底面和平行于底面的截面为全等多边形；(3)

2、不相邻的两个侧边的横截面为平行四边形；(4)直棱柱的边长和边高相等，边的对角线面为矩形。1.4长方体的性质图1-2长方体(1)长方体对角线长度的平方等于顶点上三条边的平方：AC12=AB2AC2AA12长方体的对角线AC1由过定点A的三条边构成的角度分别是、和，那么：cos 2cos 2cos 2=1 sin 2sin 2sin 2=2(3)长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面形成的角度分别为、和，则：cos 2cos 2cos 2=2 sin 2sin 2sin 2=11.5棱镜侧面展开图：正N棱镜的侧面展开图是由N个全等矩形组成的矩形，底面的周长和侧边为相邻边。1.6棱镜的面积和

3、体积公式直棱镜边=ch (c是底面的周长，h是棱镜的高度)直棱镜满=ch 2S底部v棱镜=S底部h2气缸的结构特点图1-3气缸2-1圆柱体的定义：由旋转矩形的一边和另一边形成的曲面包围的几何形体称为圆柱体。2-2圆柱体的性质(1)上下底座和平行于底座的横截面为等圆；过轴的横截面(轴的横截面)为全等矩形。2-3圆柱体的侧面展开图：圆柱体的侧面展开图是一个矩形，底面的周长和母线的长度作为相邻的边。2-4圆柱体的面积和体积公式s气缸侧=2rh (r是底面的半径，h是气缸的高度)s气缸满=2 r h 2 r2v缸=S底h=r2h3.金字塔的结构特征3-1金字塔的定义(1)金字塔：一个面是多边形，其他面

4、是具有公共顶点的三角形。由这些面包围的几何形体称为金字塔。图1-4金字塔(2)正棱锥体：如果棱锥体的底面是正多边形，并且顶点在底面上的投影是底面的中心，这种金字塔被称为规则金字塔。3-2正金字塔的结构特征(1)平行于底面的截面是类似于底面的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；正金字塔的每条边都是相等的，每条边都是等腰三角形的同余；(3)正棱锥中的六个元素，即侧边(SB)、高度(SO)、倾斜高度(SH)、侧边在底面上的投影(OB)、倾斜高度在底面上的投影(OH)和底面边长的一半(BH)，形成四个直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH和OBH都是直角三角形)。3-3正棱锥

5、的边展开图：正N棱锥的边展开图由N个全等的等腰三角形组成。3-4正棱锥的面积和体积公式s正棱锥边=0.5c h(c是底面的周长，h是侧面的倾斜高度)正金字塔=0.5摄氏度v金字塔=1/3的底部h (h是金字塔的高度)4.锥体的结构特征4-1圆锥的定义：由旋转边条形成的曲面包围的几何形体(3)母线的平方等于底面的半径和高度的平方：l2=r2 h24-3圆锥的边扩张图：圆锥的边扩张图是一个以顶点为中心、母线长度为半径的扇形。锥体面积和体积的4-4公式s锥体侧= rl (r为底部半径，l为母线长度)s锥满=r(r l)v锥体=1/3 r2h (h为锥体高度)五边平截头体的结构特征图1-6斜面工作台5

6、.1斜面的定义：棱锥被平行于底面的平面截断。我们称截面和底面之间的部分为斜面。5.2规则斜面工作台的结构特征(1)每条边是相等的，每条边是全等等腰梯形；(2)正截头体的两个底面和平行于底面的截面为正多边形；(3)正金字塔的对角线面也是等腰梯形；棱台常被填充成金字塔形，然后用三角形进行研究。5-3规则棱柱的面积和体积公式s平截头体边=n/2(a b)h(a是上底边的长度，b是下底边的长度，h是平截头体的倾斜高度，n是边数)平截头体满=上底部下底部侧v平截头体=6.圆桌的结构特点6-1截头圆锥体的定义：使用平行于底面的平面来截头圆锥体。我们称横截面和底面之间的部分为截锥。6-2圆桌会议的结构特点(

7、1)圆台的上下底面和平行于底面的横截面为圆形；(2)截锥的横截面为等腰梯形；图1-7圆桌会议(3)锥台通常被填充成圆锥，然后类似的三角形被用于研究。6-3圆台面积和体积公式s平截头体侧=(R r)l (r，R为上下底部半径)圆台满=r2 R2 (R r)lv平截头体=1/3(R2R2R)h(h是平截头体的高度)7个球的结构特征图1-8球7-1球体的定义：以半圆直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体称为球体。在空间中，与一个固定点的距离等于一个固定长度的点集叫做球体，被球体包围的几何体叫做球体。7-2球的结构特点(1)球形中心与横截面中心的连线垂直于横截面；横截面的半径等于球的半径和横

8、截面到球中心的距离的平方方差：R2=R2-D27-3球面与其他多面体的组合问题球体和其他多面体的组合包括两种类型：内接和外接。解决这些问题的基本思路是：(1)根据主题，确定是内接还是外接式绘制三维图形；(2)找出多面体与球体的连接处，找出球体的合适切割面，然后制作剖面图；(3)将平面几何中的立体问题转化为圆和多边形问题；(4)注意圆和立方体之间的两种关系：球体与立方体内接，球体直径等于立方体对角线；球切开立方体，球的直径等于立方体的边长。7-4球的面积和体积公式球面=4 R2 (R是球面半径)v球=4/3 R3空间几何的观点1三个视图：观察者从三个不同的位置观察相同的空间几何图形所画的图形。前

9、视图：光线从几何图形的前部向前投射到后部而获得的投影。侧视图：光线从几何图形的左边向右边向前投射而得到的投影。俯视图：从几何图形的上表面向右向前投射光线而得到的投影图。注：顶视图在前视图下方，“长度”等于前视图。侧视图绘制在前视图的右侧，其中“高度”等于前视图，“宽度”等于俯视图。(正面高度相同，正面长度相同，正面宽度相同)前视图、侧视图和俯视图都是平面图，不是直接视图。2直视2-1直视地图的定义：它是由站在某一点观察空间几何的观察者绘制的图形。直视地图通常是平行绘制的空间图(3)当在坐标系xoy 中画一个有向图时，平行于已知图中数轴的线段保持平行。平行于X轴的线段长度保持不变；平行于Y轴的线

10、段长度减半。结论：斜向二维法制作的直视地图面积为原始平面图。2-3解决直接映射问题的注意事项(1)当从三个几何视图中直接绘制视图时，通常首先考虑“俯视图”；当从直观的几何图形中查看三个视图时，可见的轮廓线和边被绘制为实线，而不可见的轮廓线和边被绘制为虚线。两点、直线和平面之间的关系(一)平面的基本性质1立体几何中图形语言、文本语言和符号语言的转换图形语言文本语言符号语言a点在a线上。b点在a线之外。Aa文学士点A在平面上点B在平面之外AB线A在平面上直线b位于平面之外ab线a在点a与平面a相交。=a线和b线在a点相交。Ab=A平面与平面在线a上相交u=a平面2的基本性质公理1:如果直线上的两点

11、在一个平面上，那么直线就在这个平面上。公理2:三个不共线的点决定一个平面。推论1:直线和直线外的一点定义了一个平面。推论2:两条相交的直线决定一个平面。推论3:两条平行线定义一个平面。公理3:如果两个平面有一个公共点，那么它们就有一个公共点。这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交点)。空间模式的位置关系1空间直线(相交、平行和非平面)的位置关系1.1平行线的转移公理：两条平行于同一条线的线相互平行。即：a b，b c a c1.2等角定理：如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角是相等或互补的。1.3不同平面的直线(1)定义：两条不在同一平面上的直线称为非共面直线。(2)判断定理：

12、连接平面上的一点与平面外的一点的直线和平面上不通过该点的直线是非平面直线。那就是：图2-1不同平面的直线1.4不同平面中直线形成的角度(1)不同平面上直线的角度范围：(0，90)。不同平面上直线的角度形成方法：平移法。注意：当寻找由具有不同平面的直线形成的角度时，一条具有不同平面的直线通常被转换成一个特殊的点(例如中点、端点等)。)具有不同平面的另一条直线，以形成由具有不同平面的直线形成的角度。直线和平面之间的位置关系(直线在平面中，相交且平行)图2-2直线与平面的位置关系3平面和平面位置关系(平行、倾斜、垂直)(三)平行关系(包括线面平行和平面平行)线和平面平行1.1平行线与平面的定义：平面

13、外的直线与平面没有公共点，称为平行线与平面。1.2判定定理：1.3性质定理：1.4判断或证明直线和曲面平行性的方法(1)使用定义(反证法):L=，L(用于判断)；(2)运用判断定理：直线、直线、平行线和平面是平行的(用于证明)；(3)利用平面的平行性：平面的平行线是相互平行的(作为证明)；(4)用一条垂直于同一条直线的直线平行于该平面(用于判断)。2.线平面偏斜和线平面角度：l=A图2-3线和平面角度2.1直线与平面形成的角度(简称线-面角):如果直线与平面斜交，则平面的斜线与投影在平面上的斜线之间的夹角。2.2线平面角的范围：0，90注意：当直线在平面内或平行于平面时，=0；当直线垂直于平面

14、时，=903个平行平面3.1平面对平面平行度的定义：如果两个平面在空间中没有公共点，这两个平面称为平行。3.2平面平行度的判定定理：图2-4平行面(1)判定定理1:如果两个(1)(平面平行于平行平面)(3)夹在两个平行平面之间的平行线是相等的。(四)垂直关系(包括线面垂直和平面垂直)1垂直线和表面1.1垂直线和平面的定义：如果一条直线垂直于平面中的任何一条直线，则该直线垂直于平面。1.2垂直线和平面的判定定理：1.3垂直线和平面的性质定理：(1)如果一条直线垂直于一个平面，它就垂直于该平面中的任何一条直线。那就是：(2)两条垂直于同一平面的直线是平行的。那就是：1.4判断或证明垂直线和平面的常用依据(1)使用定义并用反证的方法证明。用判断定理证明。(3)如果一条直线垂直于平面并平行于另一条直线，则另一条直线也垂直于平面。(4)垂直于两个平行平面之一的直线也垂直于另一个平面。(5)如果两个平面垂直，并且一个平面中有一条直线垂直于两个平面的交点，则该直线垂直于另一个平面。1.5三分定理及其逆定理图2-7倾斜定理(1)斜线定理：在从平面外的一点到该平面的所有线段中，斜线在投影中彼此相等，斜线越长，投影越长，垂直线段最短。如图所示：三垂线定理及其逆定理给定PO，斜线PA在平面上的投影是OA