三角函数复习

1、三角函数复习一、知识整合1熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题2熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化3注重三角函数与代数、向量、几何及实际问题中的应用，能利用三角函数相关知识解决综合

2、问题.二、方法总结1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1cos2xsin2xtanxcotxtan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x2cos2x(sin2xcos2x)cos2x1cos2x；配凑角：（），等。（3）升幂与降幂。（4）化弦（切）法。（5）引入辅助角。asinbcossin()，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan确定。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等

3、式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。三、典型例题分析例1扇形的中心角为，半径为 ，在扇形中作内切圆及与圆外切，与相切的圆，问为何值时，圆的面积最大？最大值是多少？例2、已知，求及例3：设0，曲线x2siny2cos1和x2cosy2sin1有4个不同的交点.（1）求的取值范围； （2）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值

4、范围.例4：设关于x的方程sinxcosxa0在(0, 2)内有相异二解、.()求的取值范围; ()求tan()的值.例5 已知函数的最小正周期为，其图像过点.() 求和的值;() 函数的图像可由（xr）的图像经过怎样的变换而得到?例6、已知函数求：(i)函数的最小正周期；(ii)函数的单调增区间例7 、已知：（1）请说明函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到；（2）设函数图象位于y轴右侧的对称中心从左到右依次为a1、a2、a3、a4、，试求a4的坐标。例8、如图，某园林单位准备绿化一块直径为bc的半圆形空地，abc外的地方种草，abc的内接正方形pqrs为一水池，其余的地方种花.若bca

5、，abc，设abc的面积为s1，正方形的面积为s2（1）用a，表示s1和s2；（2）当a固定，变化时，求取最小值时的角例9、已知奇函数f(x)的定义域为实数集,且f(x)在上是增函数，当时，是否存在这样的实数m，使对所有的均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，说明理由。例10、已知函数其中为参数，且（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围。参考答案：1、解：设圆及与圆的半径分别为，则，得，令，当，即时，圆的半径最大，圆的面积最大，最大面积为2、【解析】解法一

6、：由题设条件，应用两角差的正弦公式得，即由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故由和式得，因此，由两角和的正切公式解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，解得，即由可得由于，且，故a在第二象限于是，从而以下同解法一【点评】1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形3、解：（1）解方程组，得故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为，（0）0.（2）设四个交点的坐标为（xi，yi）（i1，2，3，4），则：xi2yi22cos（，2）（i1，2，3，4）

7、.故四个交点共圆，并且这个圆的半径rcos（）.评注：本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题，这也是曲线与方程的基本方法，同时本题也突出了对三角不等关系的考查.4、解: ()sinxcosx2(sinxcosx)2 sin(x), 方程化为sin(x). 方程sinxcosxa0在(0, 2)内有相异二解, sin(x)sin .又sin(x)1 (当等于和1时仅有一解), |1 . 且. 即|a|2且a. a的取值范围是(2, )(, 2). () 、 是方程的相异解, sincosa0 . sincosa0 . 得(sin sin)( cos cos)0. 2sincos2sin si

8、n0, 又sin0, tan.tan().【点评】要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2)这一条件.5、解: () 函数的最小正周期为， . . . 的图像过点, , 即., .()先把的图像上所有点向左平移个单位(纵坐标不变),得到函数的图像,再把所得的函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)得到函数的图像.【点评】三角函数图像及其变换是当前考查热点，其书写的规范性是考生必须高度重视的.6、解：（i）函数的最小正周期是；（ii）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）【点评】本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的性质以及推理和运算能力 7、解：（1） 所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 （2）函数图象的对称中心为， 由得函数的对称中心为， 依次取1，2，3，4可得a1、a2、a3、a4各点，a4的坐标为 8、解（1） 设正方形边长为x. 则bq （2）当固定，变化时，令 令 任取，且，是减函数取最小值，此时9、解：为奇函数，又在上是增函数，且是奇函数 是r上的增函数， ，令满足条件的应该使不等式对任意均成立。设，由条件得或 或 解得，或即存在，取值范围是10、解：（1）当时则在内是增函数，故无极值。 （2）令得由及（i），只需考虑的情