07 简单的数论问题22015寒假 初二数学自招进度一班学生

1、 简单简单的的数论数论问题问题（2 2） 1 / 6 第七讲 简单的数论问题（2） 【质数与合数】 1. 质数有无穷多个 2. 2 是最小的质数，也是唯一的偶质数 3. 唯一分解定理：每一个大于 1 的正整数 n 都可以唯一地（除了因数顺序不同之外）分解为质因数之 积，就是可以表示成： 12 12 k k np pp 的形式，其中 12k ppp、为不同的质数， 12k 、 为正整数 4. （3）中的正整数 n 的不同的正约数个数为 12 111 k 【整数的整除性】 1. 若|a b，且|b a，则ab或ab ； 2. 若|a b，|b c，则|a c； 3. 若|a b，m 为整数，则|a

2、 mb； 4. 若|a b，|a c，则|abc； 5. 若|a bc，且 a 与 c 互质，则|a b特别地，若质数|p ab，则必有|p a或|p b；若 2 |p a，则 |p a； 6. 若|b a，|c a，且 b 与 c 互质，则|bc a 简单简单的的数论数论问题问题（2 2） 2 / 6 【质数与合数】 【例题1】 求所出有的三位数ABC，满足A、B、C、AB、BC和ABC都是质数 【例题2】 已知a、b、c是质数，且86abc ，971abbcca，求abc的值 【例题3】 求出使10p、14p都是质数的所有质数p 【例题4】 已知p是不小于 5 的质数，21p也是质数，求证

3、：是41p合数 简单简单的的数论数论问题问题（2 2） 3 / 6 【例题5】 （1）求 2160 的正约数的个数； （2） 求不大于 200 的恰有 15 个正约数的所有正整数 【例题6】 已知n是大于 1 的正整数，求证： 4 4n 是合数 【例题7】 已知质数x、y、z满足5xyzxyz，求 222 xyz的值 【例题8】 , x y 99141 28 3xy1.，, x y 【例题9】 200 以内能同时被 3、4、5 整除的正整数共有 个 简单简单的的数论数论问题问题（2 2） 4 / 6 【例题10】 一个三位正整数的百位上是 4，十位上和个位上的数字相同，且这个数能被 9 整除，

4、这个 数是 【例题11】 所有能被 7 整除的两位正整数的和是 【例题12】 有三个连续的两位正整数，它们的和也是两位数并是 11 的倍数，这三个数的积最大 为 【例题13】 一个六位数23 56是 88 的倍数，这个数除以 88 所得的商是 【例题14】 能被 11 整除，各位数字各等于 13 的最小正整数是 简单简单的的数论数论问题问题（2 2） 5 / 6 【例题15】 一个两位正整数，它的两个数字之和能被 4 整除而且比这个两位数大 1 的数，它的两 个数字这各也能被 4 整除，所有这样的两位数有 个 【例题16】 求证：形如abcabc的六位数字一定被 7、11、13 整除 【例题17】 已知a、b为整数，3 a，3 b，3ab求证： 33 9 ab 简单简单的的数论数论问题问题（2 2） 6 / 6 1. 已知自然数a使得 42 39aa是质数，求这个质数 2. 已知p是质数， 2 81p 也是质数，求 2 82pp的值 3. 能同时被 2、3、5 整除的最小四位正整数是 4. 360 能同时被 个不同的正整数整除 5. （1）在 1992 后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别都