第四节 晶体的宏观对称性

1、1.4 晶体的宏观对称性（crystal symmetry）,一、 晶体的对称性（crystal symmetry） 二、 晶体的对称操作和对称元素 （symmetrical operation and basic symmetry elements ） 三、 点群和空间群（point group and space group） 四、 七大晶系和十四种布拉菲格子 （seven crystal systems and fourteen Bravais lattices）,本节思路：给出晶体的对称性、对称操作、对称元素，介绍点群和 空间群的概念，在此基础上介绍晶体的七大晶系和十四 种布拉菲格子等

2、。,Symmetry everywhere,Pictures from Dr. John Reid,Symmetry everywhere,Pictures from Dr. John Reid,Mirror Plane Symmetry “Arises when one half of an object is the mirror image of the other half”,一、 晶体的对称性（crystal symmetry）,一个晶格，在平移格矢 （ 为整数）之后，结果与原来晶格完全一样，特性也完全相同，这种性质称为晶体的平移对称性。,（一）晶体的平移对称性（ crystal t

3、ranslation symmetry ）,晶体的平移对称性，概括了晶体的周期性，也就是说，在晶格中，位置矢量 表示的格点和位置矢量 表示的格点情况完全相同，相应的物理性质也完全相同。,如果用 表示晶格的某一个物理量，则有,晶体的对称性就是指晶体经过某些特定的操作之后，能够回复到原来状态的性质。这些特定的操作，称为对称操作。,（二）晶体的对称性与对称操作（crystal symmetry and operation）,晶体对称性可以分为宏观对称性（指操作时，晶体至少有一点保持不变）和微观对称操作（对称操作中包括平移操作，或者是有平移操作的复合操作）。 晶体的宏观对称性，归根结底是由于晶体中原子

4、规则排列的结果，它必然受到平移对称性的制约。对称操作所依赖的几何要素，如点、线和面等，称为对称元素。,（三）晶体对称性的分类,比如，立方体结构的对称操作共有48个，金刚石结构共有24个对称操作，所以，立方结构的对称性比金刚石结构的对称性高。,对称操作 一个物体在某一个正交变换下保持不变, 物体的对称操作越多，其对称性越高,立方体的对称操作,1) 绕三个立方轴转动, 9个对称操作, 8个对称操作,3) 绕4个立方体对角线轴转动,4) 正交变换, 1个对称操作, 立方体的对称操作共有48个,5) 以上24个对称操作 加中心反演仍是对称操作,正四面体的对称操作, 四个原子位于正四面体的四个顶角上,

5、金刚石晶格, 对称操作包含在 立方体操作之中, 共有3个对称操作,1) 绕三个立方轴转动, 8个对称操作,2) 绕4个立方体对角线轴转动,3) 正交变换, 1个对称操作, 6个对称操作, 6个对称操作, 正四面体 对称操作共有24个,正六面柱的对称操作,1) 绕中心轴线转动, 5个, 3个,3) 绕相对面中心连线转动, 3个,4) 正交变换,5) 12个对称操作加中心反演, 正六面柱的对称操作有24个,2) 绕对棱中点连线转动, 1个,二、 晶体的对称操作和对称元素 （symmetrical operation and basic symmetry elements ）,（一）对称操作（sym

6、metrical operation）,从对称性的角度概括和区别不同晶体的宏观对称性，就是要考查这些晶体所具有的刚性对称操作。这些对称操作包括： 绕某一个轴的转动操作 对某一个面的镜像操作 对某一个点的反演操作以及它们的组合操作 这些对称操作不是平移对称操作，被称作是宏观对称操作。因为这些操作保持空间的某一点不动，又称为点对称操作。,和刚体一样，晶体中任何两点之间的距离，在操作前后应保持不变。如果用数学表示，这些操作就是我们熟知的线性变换。,这个操作可以表示为线性变换：,这里,用矩阵可以表示，（1.4.1）式可以写成,（1.4.2）,，,，,（1.4.3）,即,I 是单位矩阵,也就是说，应有,

7、即 A 为正交矩阵，其行列式的值,1、转动（rotation）,直角坐标的转动,如图，使晶体绕直角坐标 x1 轴转动角，则晶体中的点,三维晶体的正交变换有以下几种：,变换关系为,变换关系用矩阵表示，则为,可以用变换矩阵A 具体代表这一转动操作。,2、中心反演 (centre inverse),变换关系为,变换矩阵,3、镜像（mirror planes）,变换关系为,变换矩阵,由于晶格周期性的限制，n 只能取1，2，3，4和6，即晶体不能有5度或6度以上的旋转轴，这个规律称为晶体的对称性规律。,证明如下：,如图所示，设此平面为一晶面，格点 A、B 是位于同一晶列 O 点上 的两个最近邻格点。将晶

8、格绕通过 O 点并垂直于纸面的转轴逆时针方向旋转角度后，B 点转到 B 点，如果这时晶体与自身重合，B点处原来必定有一格点。如果再绕 O 点顺时针方向转轴旋转角度，晶格又恢复到未转动时的状态。但是，顺时针方向转轴旋转角，A点转到A点，A点处原来也一定是格点。,一晶面上的晶列,设晶格的周期为a ，则由几何关系有,其中 m 为整数。由上式以及余弦函数的取值范围，可得,可以看出 的取值只能是,n 只能取1，2，3，4 和6 五个值。 也就是说，不可能有5重、7重等旋转对称轴存在。, 4重轴、 3重轴、 2重轴的表示,N 度旋转对称轴的度数常用不同的符号表示，如表1-1所示。,2、反映和镜面(refl

9、ection and mirror) 晶体沿某一平面反映后能与自身重合的操作，称为反映对称操作(operation of reflection symmetry)。 对称元素即该操作所依赖的平面，称为镜面（或对称面），用 （或m）表示。 如果镜面是水平的，记为 镜面是垂直的，记为,3、n 度象转轴(n-fold mirror rotation axis) 晶体绕某一固定轴旋转角度,由于晶格周期性的限制，这里的 n 也只能取1，2，3，4 和 6。,对称元素是二度象转轴和镜面的交点，称为对称中心。 中心反演也是复合操作，,称为中心反演。 中心反演实际上就是对晶体进行,5、旋转-反演轴 （rota

10、tion and inverse axis）,用,表示。,也只能取,和,五种。,同样，,这也是一种复合对称操作。,实际上，,表示中心反演，即,是垂直于该轴的对称面（镜像），,2度旋转反演轴表示为 ，,即,如右图所示。,从点1出发，转动1200后到 1 点，再反演到2；再转动1200后到 2 点；依次进行下去，从点1出发，可以得到2，3，4，5，6 各点，这些点的分布具有3度旋转对称轴和对称心。,4度旋转反演轴 的情况与其它几个旋转反演轴不同，在有1，2，3，4，6，i，m 的情况下，惟有它是独立的对称元素和对称操作。,一般来说，4度旋转反演轴的效果并不等于4度旋转轴加对称中心，如左图所示，图形

11、转900后，11，经中心反演12，再转900，22，经中心反演23，以此类推。这样就得出如图所示的两个相同的四面体1234和1234。这两个四面体具有4度旋转反演轴的对称性。比如将四面体1234转900后，并不时同自身重合，而是同四面体1234重合，但是将四面体1234上下倒翻一下，就和四面体1234重合了。,这五种对称操作是宏观对称操作。 在宏观对称操作中，有一些对称操作是另一些对称操作的组合。 在习惯上，常把以下八种对称操作称为基本的对称操作：,它们的组合可以得到32种不包括平移的宏观对称类型。,另外，还有两种微观对称操作：n 度螺旋轴和滑移反映面。,6、n 度螺旋轴（n-fold spi

12、ral axis ）,是轴向的周期矢量。,其中，n 只能取1，2，3，4 和 6 五个值；l 为小于 n 的整数；,（一）群的概念 群是一组元素的集合，GE,A,B,C,D。 具有如下的性质: (1) 按照给定的“乘法”规则，群 G 中任意两元素的“乘积”仍为群G内的元素，即若 A,BG，则 ABCG。这个性质称为群的闭合性 （closure property）。 (2) 存在单位元素 E ，使得对所有元素 PG，有PEEPP。 (3)对任意元素 PG 。存在逆元素P1，使得 PP-1=P-1P=E 。 (4)元素间的“乘法”运算，满足结合律，A(BC)（AB)C。,三、 点群和空间群（poi

13、nt and space group）,（二）点对称操作和点群 一个晶体具有的所有对称操作满足上述群的定义，构成一个操作群。 “乘法”运算就是连续操作 单位元素为不动操作 逆元素为转角和平移矢量大小相等、方向相反的操作 由于晶体在进行宏观对称操作时，至少有一点是不动的，故称为点操作。 与点对称操作相应的对称元素群，称为点群。,点群 以基本对称操作为基础组成的对称操作群, 由对称素组合成群时，对称轴的数目 对称轴之间的夹角将受到严格的限制,两个2重轴的夹角只能是, 如果存在一个n重轴和与之垂直的二重轴 就一定存在n个与之垂直的二重轴, 连续进行操作AB 轴上一点N回到原处，轴2转到2的位置,2个

14、二重轴2和2,绕轴2的转动计 A,绕轴2的转动计 B,A和B均为对称操作, 是对称操作, C的操作则是绕NN轴转过角度2,由于晶格周期性的限制，宏观对称元素在组合时，由基本对称操作的组合，可以组成32种不相同的点群，即32种宏观对称类型. 晶体的宏观对称只有32个不同类型,群 群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线 的反演面， 共2个,群 群加上中心反演,群 群加上反演面,群 群加上与n重轴垂直的反演面，共4个,群 群加上含有n重轴的反演面，共4个,群 正四面体点群, 含有24个对称操作,群 立方点群 的24个纯转动操作,群 正四面体点群 的12个纯转动操作,群 群加上中心反演,群 立方点群,

15、含有48个对称操作,晶体的宏观对称只有32个不同类型,（三）空间群 晶体结构内部由宏观对称元素和微观对称元素一起组合而成的对称群，称为空间群。 空间群分为两类：简单空间群（symmorphic space group），由一个平移群和一个点群的全部对称操作组合而成，共有73个。 复杂空间群（nonsymmorphic space group ）,群中可包含 n 重螺旋轴（ n-fold spiral axis ）以及滑移反映面（ slippage reflection plane ）。空间群的总数是230个。即所有的晶格结构，就其对称性而言，共有230个类型，每一类由一个空间群描述。,（一）七

16、大晶系 根据晶体的宏观对称性，按晶胞基矢构成的坐标系的性质，可以将晶体归纳为七大类，即七大晶系。由于点阵的宏观对称操作和对称元素的组合受到晶格周期性排列的严格限制， 数学上可以严格证明，只存在这七种晶系。任何一种晶体结构分属于这7个晶系之一，决定这种结构所对应的点阵和点群。,之间的关系。,四、 七个晶系和十四种布拉菲格子 (seven crystal systems and fourteen Bravais lattices),下面从对称性由低到高的顺序，分别给出这7个晶系的名称以及晶胞基矢,1、三斜晶系： 这一晶系有两种对称类型 C1和Ci，没有任何旋转对称轴和对称面，因此，,无任何限制，即

17、,An example of the triclinic crystals, microcline (微斜长石),2、单斜晶系： 属于这一晶系的对称类型有,它们或者是有2度旋转轴，或者是有对称面。,所以坐标系的特点是,An example of the monoclinic crystals, orthoclase （正长石）,3、正交晶系： 属于这一晶系的对称类型有,这三种都是有互相垂直的对称方向， 所以有,An example of the orthorhombic crystals, aragonite （霰石、文石）,4、四角晶系：四角晶系又称为正方晶系。 属于这一晶系的对称类型有七种

18、：,和,它们都有一个4 度转轴，取为,轴，它肯定也是2 度轴，所以,由于,为4 度轴，必定有,所以坐标系的特点是,An example of the tetragonal crystals, wulfenite （钼铅矿）,5、六角晶系：,所以坐标系的特点是,An example of the hexagonal crystals, Beryl （绿宝石）,Hexagonal Hanksite （碳酸芒硝）crystal,构成一个菱形六面体，所以坐标系的特点是,6、三角晶系：,等对称类型。这个晶系是一种特殊对称类型，它有一条 3度转轴，与,具有相同的夹角，,属于这个晶系的有,An exampl

19、e of trigonal crystals, quartz （石英）,An example of trigonal rhombohedral crystals, dolomite （白云石）,7、立方晶系：属于这个晶系的有,五种对称类型。这里晶轴或者是沿 4 度转轴，或者是沿 2 度转轴， 因此，,A rock containing three crystals of pyrite (FeS2) （黄铁石）,7大晶系的形成和转化,（二）十四种布拉菲格子 (fourteen Bravais lattices) 七大晶系，每一晶系中包含一种或数种特征性的点阵，共有十四种，即有十四种布拉菲格子。

20、任何一种晶体，对应的晶格都是十四种布拉菲格子的一种。 从晶体所属的布拉菲格子可以了解晶体的宏观对称性所具有的基本特征。 因此，布拉菲格子概括了晶格的对称性。,表1-1 七大晶系和十四种布拉菲格子,14种布拉菲格子的晶胞,（1）简单三斜 （2）简单单斜 （3）底心单斜 （4）简单正交 （5）底心正交 （6）体心正交 （7）面心正交 （8）六角 （9）三角 （10）简单四角 （11）体心四角 （12）简单立方 （13）体心立方 （14）面心立方,其对称性由低级到高级，依次为： 低级：简单三斜，简单单斜，底心单斜， 简单正交，底心正交，体心正交， 面心正交 中级：六角，三角，简单四角， 体心四角 高

21、级：简单立方，体心立方，面心立方,对于二维晶格则有四个晶系，五种布拉菲格子，如表1-3以及下页图所示。,表1-3 二维晶格的晶系和布拉菲格子,1.4 晶体的宏观对称性（crystal symmetry）,一、 晶体的对称性（crystal symmetry） 二、 晶体的对称操作和对称元素 （symmetrical operation and basic symmetry elements ） 三、 点群和空间群（point group and space group） 四、 七大晶系和十四种布拉菲格子 （seven crystal systems and fourteen Bravais l

22、attices）,本节思路：给出晶体的对称性、对称操作、对称元素，介绍点群和 空间群的概念，在此基础上介绍晶体的七大晶系和十四 种布拉菲格子等。,Crystal lattices are classified according to their symmetry properties, such as inversion, reflection and rotation. Inversion center. A cell has an inversion center if there is a point at which the cell remains invariant under

23、transformation r - -r. All the Bravais lattices are inversion symmetric. Non-Bravais lattices may or may not have an inversion center depending on the symmetry of the basis. Reflection plane. A cell has a reflection plane if it remains invariant when a mirror reflection in this plane is performed. R

24、otation axis. This is an axis such that, if the cell rotated around the axis trough some angle, the cell remains invariant. The axis is called n-fold if the angle of rotation is 2 /n. Only 2-, 3-, 4-, and 6-fold axes are possible.,Summary,There are five Bravais lattice types in two dimensions shown

25、in Fig.6. For each of them the rotation axes and/or mirror planes occur at the lattice points. However, there are other locations in the unit cell with comparable or lower degrees of symmetry with respect to rotation and reflection.,In three dimensions there are 14 different Bravais crystal lattices

26、 which belong to 7 crystal systems. These systems are triclinic, monoclinic, orthorhombic, tetragonal, cubic, hexagonal and trigonal.,The crystal lattices are shown in Fig.8. In all the cases the unit cell represents a parallelepiped whose sides are a1, a2 and a3. The opposite angles are called a, b

27、 and g. The relationship between the sides and the angles determines the crystal system. A simple lattice has sites only at the corners, a body-centered lattice has one additional point at the center of the cell, and a face-centered lattice has six additional points, one on each side. Note that in all the non-simple lattices the unit cells are non-prim