第10章 期权定价模型与数值方法

1、第10章 期权定价模型与数值方法,10.1 期权基础概念,1 期权的定义 期权分为买入期权（call option）和卖出期权（put option）。 买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。 卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。 2 期权的要素 期权的四个要素：行权价（exercise price或striking price）、到期日（maturing data）、标的资产（un

2、derlying asset）、期权费（option premium）。 对于期权的购买者（持有者）而言，付出期权费后，只有权利没有义务；对期权的出售者而言，接受期权费后，只有义务没有权利。,10.1.1 期权及其有关概念,3 期权的内在价值 买入期权在执行日的价值CT为 CT=max(ST E,0) 式中:E表示行权价；ST表示标的资产的市场价。 卖出期权在执行日的价值PT为 PT=max(E ST,0) 根据期权的行权价与标的资产市场价之间的关系，期权可分为价内期权（in the money）(S E)、平价期权（at the money）(S = E)和价外期权（out of the m

3、oney）(S Call=13.70 %买入期权 Put=6.35 %卖出期权,10.2.5 影响期权价格的因素分析,期权价格受到当前价格S、执行价格E、期权的期限T、股票价格方差率2及无风险利率r五个因素的影响。下面以欧式看涨期权为例来分析。期权对这五个因素的敏感程度称为期权的Greeks，其计算公式与计算函数如下。,1. 德尔塔（Delta） 期权是考察期权价格随标的资产价格变化的关系，从数学角度看，是期权价格相对于标的资产价格的偏导数,有,计算函数为blsdelta.m,函数语法如下：,10.2.5 影响期权价格的因素分析,CallDelta,PutDelta=blsdelta(Pric

4、e,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield) 输入参数： Price：标的资产市场价格； Strike：执行价格； Rate：无风险利率； Time：距离到期时间； Volatility：标的资产价格波动率； Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0。 输出参数： CallDelta: 看涨期权的； PutDelta：看跌期权的。,例10.2 假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格95元,现价为100元,无股利支付,股价年化波动率为50%,无风险利率为10%,计算期权。 代码如下: Price=60:1:100; %标底资产价格 Strike=95; %执行

5、价格 Rate=0.1; %无风险收益率（年化） Time=(1:1:12)/12; %剩余时间 Volatility=0.5; %年化波动率 CallDelta, PutDelta = blsdelta(Price, Strike, Rate, Time, Volatility),若要分析期权与标的资产价格、剩余期限的关系，即不同的Price与Time计算不同的三维关系，可以编写如下代码： Price=60:1:100; %标底资产价格 Strike=95; %执行价格 Rate=0.1; %无风险收益率（年化） Time=(1:1:12)/12; %剩余时间 Volatility=0.5;

6、 %年化波动率 Price,Time=meshgrid(Price,Time); Calldelta, Putdelta = blsdelta(Price, Strike, Rate, Time, Volatility); %mesh(Price, Time, Calldelta); mesh(Price, Time, Putdelta); xlabel(Stock Price ); ylabel(Time (year); zlabel(Delta);,10.2.5 影响期权价格的因素分析,2. 西塔（Theta） 表示期权价格对于到期日的敏感度，称为期权的时间损耗。,3. 维伽（Vega）

7、表示方差率对期权价格的影响。 4. 珞（Rho） 为期权的价值随利率波动的敏感度，利率增加，使期权价值变大。 5. 伽玛（Gamma） 表示与标的资产价格变动的关系。,10.2.5 影响期权价格的因素分析,10.3 BS公式隐含波动率计算,BlackScholes期权定价公式，欧式期权理论价格的表达式：,式中：,隐含波动率是将市场上的期权交易价格代入权证理论价格BlackScholes模型反推出来的波动率数值。由于期权定价BS模型给出了期权价格与五个基本参数之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入定价公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率。,1

8、0.3.1 隐含波动率概念,10.3. 2 隐含波动率计算方法,隐含波动率是把权证的价格代入BS模型中反算出来的，它反映了投资者对未来标的证券波动率的预期。BlackScholes期权定价公式中已知St (标的资产市场价格)、X (执行价格)、r (无风险利率)、Tt (距离到期时间)、看涨期权ct或者看跌期权pt ,根据BS公式计算出与其相应的隐含波动率yin。,数学模型为,式中:,求解方程fc(yin)=0,fp (yin)=0的根。,本质上是非线性方程,10.3. 3 隐含波动率计算程序,利用fsolve函数计算隐含波动率，fsolve是MATLAB最主要内置的求解方程组的函数，具体fs

9、olve的使用方法可以参看相关函数说明。 例10.4 假设欧式股票期权，3个月后到期，执行价格95元，现价为100元，无股利支付，股价年化波动率为50%，无风险利率为10%，计算期权价格。 计算结果如下：,假设目前其期权交易价格为Call=15.00 元，Put=7.00 元，分别计算其相对应的隐含波动率。,Call, Put = blsprice(100, 95, 0.1, 0.25, 0.5) Call = 13.6953 Put = 6.3497,步骤1：建立方程函数。 看涨期权隐含波动率方程的M文件ImpliedVolatitityCallObj.M，其语法如下： f=ImpliedV

10、olatitityCallObj(Volatility, Price, Strike, Rate, Time, Callprice) 程序代码如下:,function f=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility, Price, Strike, Rate, Time, Callprice) %ImpliedVolatitityCallObj %code by ariszheng 2009-8-3 Call,Put = blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility); %存在一个波动率使得下列等式成立 %fc(Impl

11、iedVolatitity)=Call-Callprice=0 f=Call-Callprice;,10.3. 3 隐含波动率计算程序,看跌期权隐含波动率方程的M 文件为ImpliedVolatitityPutObj.m,其语法如下: f=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Putprice) 程序代码如下:,function f=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility, Price, Strike, Rate, Time, Putprice) %ImpliedVolatitityCa

12、llObj %code by ariszheng 2009-8-3 %根据参数，使用blsprice计算期权价格 Call,Put = blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility); %fp(ImpliedVolatitity)=Put-Putprice=0 %目标使得寻找X使得目标函数为0 f=Put-Putprice;,10.3. 3 隐含波动率计算程序,步骤2： 求解方程函数。 求解方程函数的M文件为ImpliedVolatility.m,其语法如下： Vc,Vp,Cfval,Pfval=ImpliedVolatility(Price,S

13、trike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice),function Vc,Vp,Cfval,Pfval= ImpliedVolatility( Price, Strike, Rate,Time, CallPrice, PutPrice) %ImpliedVolatility %code by ariszheng 2009-8-3 Volatility0=1.0; %优化算法初始迭代点; %CallPrice对应的隐含波动率 Vc,Cfval =fsolve(Volatility) ImpliedVolatitityCallObj(Volatility, Price, St

14、rike,Rate, Time, CallPrice),Volatility0); %CallPrice对应的隐含波动率 Vp,Pfval =fsolve(Volatility) ImpliedVolatitityPutObj(Volatility, Price, Strike, Rate, Time, PutPrice),Volatility0);,10.3. 3 隐含波动率计算程序,步骤3： 函数求解。 M文件TestImpliedVolatility.M代码如下：,%TestImpliedVolatility %市场价格 Price=100; %执行价格 Strike=95; %无风险利

15、率 Rate=0.10; %时间（年） Time=0.25; CallPrice=15.0;%看涨期权交易价格 PutPrice=7.0; %看跌期权交易价格 %调用ImpliedVolatility函数 Vc,Vp,Cfval,Pfval=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice),10.3. 3 隐含波动率计算程序,隐含波动率与期权价格关系图,Price=100; Strike=95; Rate=0.10; Time=1.0; Volatility=0:0.1:2.0; n=length(Volatility);

16、 Call=zeros(n,1); Put=zeros(n,1); for i=1:n Call(i),Put(i) = blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility(i); end subplot(2,1,1) plot(Volatility,Call,-*); legend(CallPrice) subplot(2,1,2) plot(Volatility,Put,-o); legend(PutPrice),知识脉络图,期权定价理论,数值实现,期权定价函数blsprice.m,影响期权价格因素的计算函数 blsdelta.m blsgamma.m blslambda.m blsrho.m blstheta.m blsvega.m,隐含波动率计算,10.4 期权二叉树模型,二叉树期权定价模型是由J.C.Cox、S.A.Ross和M.Rubinstein于1979年首先提出的，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以应用。,10.4. 1 二叉树模型的基本理论,二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t，并假设在每一个时间间隔t内证券价格