第4节--隐函数及由参数方程确定的函数的导数--相关变化率

1、第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 相关变化率教学目的： 熟悉隐函数的概念;掌握隐函数的求导法则；掌握由参数方程所确定的函数的求导方法.教学重点：隐函数的导数;由参数方程所确定的函数的导;相关变化率;对数求导法 教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法教学内容： 一、隐函数的导数 显函数: 形如y=f(x)的函数称为显函数. 例如y=sin x , y=ln x+e x . 隐函数: 由方程F(x, y)=0所确定的函数称为隐函数. 例如, 方程x+y3 -1=0确定的隐函数为y . 如果在方程F(x, y)=0中, 当x取某区间内的任一值时, 相应地总有

2、满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F(x, y)=0在该区间内确定了一个隐函数. 把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来. 例1求由方程e y+xy-e=0所确定的隐函数y的导数. 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y)+(xy)-(e)=(0), 即 e y y+y+xy=0, 从而 (x+e y0). 例2求由方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数y=f(x)在x=0处

3、的导数y|x=0. 解: 把方程两边分别对x求导数得 5yy+2y-1-21x 6=0,由此得 . 因为当x=0时, 从原方程得y=0, 所以 . 例3. 求椭圆在处的切线方程. 解: 把椭圆方程的两边分别对x求导, 得 . 从而 . 当x=2时, , 代入上式得所求切线的斜率 . 所求的切线方程为 , 即. 解: 把椭圆方程的两边分别对x求导, 得 . 将x=2, , 代入上式得 ,于是 k=y|x=2. 所求的切线方程为 , 即. 例4求由方程所确定的隐函数y的二阶导数. 解: 方程两边对x求导, 得 , 于是 . 上式两边再对x求导, 得 . 隐函数求导方法小结：（1）方程两端同时对求导

4、数，注意把当作复合函数求导的中间变量来看待.（2）从求导后的方程中解出来.（3）隐函数求导允许其结果中含有.但求某一点的导数时不但要把值代进去，还要把对应的值代进去. 对数求导法: 这种方法是先在y=f(x)的两边取对数, 然后再求出y的导数. 设y=f(x), 两边取对数, 得 ln y = ln f(x), 两边对x 求导, 得 , y= f(x)ln f(x). 对数求导法适用于求幂指函数y=u(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数. 例5求y=x sin x (x0)的导数. 解法一: 两边取对数, 得 ln y=sin x ln x, 上式两边对x 求导, 得 , 于是 . 解法

5、二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求: y=x sin x=e sin xln x , . 例6. 求函数的导数. 解: 先在两边取对数(假定x4), 得 ln yln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4), 上式两边对x求导, 得 ,于是 .当x1时, ; 当2x4, x1, 2x3三种情况讨论, 但结果都是一样的. 二、由参数方程所确定的函数的导数 设y与x的函数关系是由参数方程确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数. 在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法

6、能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设x=j(t)具有单调连续反函数t=j-1(x), 且此反函数能与函数y=y(t)构成复合函数y=yj-1(x) , 若x=j(t)和y=y(t)都可导, 则 , 即 或. 若x=j(t)和y=y(t)都可导, 则. 例7. 求椭圆在相应于点处的切线方程. 解: . 所求切线的斜率为. 切点的坐标为, . 切线方程为, 即 bx+ayab =0. 例8抛射体运动轨迹的参数方程为, 求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向. y=v2t -g t 2 解: 先求速度的大小. 速度的水平分量与铅直分量分别为 x (t)=v1, y(t)=v2-gt, 所以

7、抛射体在时刻t的运动速度的大小为 . 再求速度的方向, 设a是切线的倾角, 则轨道的切线方向为 . 已知x=j(t), y=y(t), 如何求二阶导数y? 由x=j(t), , . 例9计算由摆线的参数方程所确定的函数y=f(x)的二阶导数. 解: (t2np, n为整数). (t2np, n为整数). 三、相关变化率 设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数, 而变量x与y间存在某种关系, 从而变化率与间也存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率. 例10一气球从离开观察员500f处离地面铅直上升, 其速度为140m/min(分). 当气球高度为500m时, 观察员视线的仰角增加率是多少？ 解 设气球上升t(秒)后, 其高度为h, 观察员视线的仰角为a, 则. 其中a及h都是时间t的函数. 上式两边对t求导, 得. 已知(米/秒). 又当h=500(米)时, tan a=1, sec2 a=