第三章变额年金(1).ppt

1、1,变额年金 （Varying Annuities）,2,主要内容,递增年金（离散支付，离散递增） 递减年金（离散支付，离散递减） 连续支付的变额年金：连续支付，离散递增（或递减） 复递增年金：按几何级数递增的年金 每年支付 m 次的递增年金 连续年金：连续支付，连续递增（或递减） 一般变额现金流,3,回顾：等额年金公式,4,5,6,3.1、递增年金,含义： 假设在第一期末支付1元，第二期末支2元，第n期末支付n元，那么这项年金就是按算术级数递增的年金。 如果用 表示其现值，则有 上式两边同时乘以(1 + i)则有,7,用第二式减去第一式则有 所以递增年金的现值为,8,递增年金分解表,递增年金

2、 = n 年定期年金 + 延期1年的 (n 1) 年定期年金 + 延期2年的 (n 2) 年定期年金 + + 延期 (n 1) 年的1年定期年金,9,将上述各项年金的现值相加即得递增年金的现值为,10,根据现值求得其累积值为,期初付递增年金的现值,期初付递增年金的累积值,建议：只记忆期末付年金的现值公式，其他可以推出。,11,当 时，还可以得到递增永续年金的现值为 在计算上述极限时，,12,一般递增年金：例,设A表示此年金的现值，则,13,例：某人希望购买一项年金，该项年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，这项年金的现价应该是多少？

3、 解：这项年金可以表示为一项等额年金（每年末付款900元）和100项递增年金的和，即,1000,1100,1800,1900,900,900,900,900,100,200,900,1000,练习:一项递增年金，第一年末支付500元，第二年末支付550元，第三年末支付600元，以此类推，直到最后一次支付1000元，假设年实际利率为5%，试计算此年金在最后一次支付时刻的终值。,14,15,例：证明下列关系式成立： （1） （2）,16,（2）由于 ，因此,（1）,17,含义：假设在第一期末支付 n 元，第二期末支付 n 1元，第 n 期末支付1元，那么这项年金就是按算术级数递减的年金。,3.2、

4、递减年金,18,因此递减年金的现值也可以表示为上述等额年金的现 值之和，即：,19,递减年金的其他公式：,例：投资者A拥有一份10年期递增期末付年金，第一年末支付100，以后每年递增50；投资者B拥有一份10年期递减期末付年金，第一年末支付X，以后每年递减X/10。年实际利率为5%，两项年金的现值相等。计算X。,20,21,例：一项年金在第一年末付款1元，以后每年增加1元，直至第 n 年。从第 n + 1年开始，每年递减1元，直至最后一年付款1元。试计算该项年金的现值是多少？,1,2,n,n-1,1,22,23,3.6、连续支付的变额年金 (continuously payable varyi

5、ng annuity),含义：支付次数趋于无穷，即支付是连续进行的，但支付金额随时间呈离散变化的年金。 连续支付的递增年金 连续支付的递减年金 假设在第一年连续支付1元，第二年连续支付2元，第n 年连续支付 n 元，如下图所示：,24,年金的现值： 连续支付递增年金的现值为：,支付是连续进行的,支付金额按一定时期间隔离散增长,25,例：一个现金流在第1年连续支付30元，第2年连续支付40元，第3年连续支付50元，直到第10年连续支付120元，假设年实际利率为5%，求这项年金的现值。 解：可以把这项年金分解为两项年金，如下图。,26,从图可以看出，本例年金的现值为： 可以计算出,27,连续支付的

6、递增年金的终值： 连续支付的递增永续年金的现值 ：第1年连续支付1元，第2年连续支付2元，第3年连续支付3元，并以此方式无限地延续下去。其现值为,28,连续支付的递增永续年金：现值的另一种计算（了解）,29,连续支付的递减年金 ：支付是连续进行的，但支付金额随时间离散递减。 假如第1年连续支付n元，第2年连续支付n -1元，直到第n年连续支付1元。该年金的现金流如下图所示。,30,上述年金的现值：,31,例：一项年金在第1年连续支付100元，第2年连续支付90元，第3年连续支付80元，直到第10年连续支付10元，假设年实际利率为6，求其现值。 解：其现值的表达式为： 因此本例年金的现值为：,3

7、2,3.3、复递增年金 （compound increasing annuity）,含义：付款金额按照某一固定比例增长的年金。 期末付复递增年金 ：假设一项年金在第1年末支付1元，此后每年的支付金额按的复利增长，直到第 n 年末支付。,33,上述年金的现值： 变形可得： 定义 ，则现值为：,其中,注：若 e = i, 则现值为n/(1+e),34,例：小王拥有一项10年期期末付的复递增年金，第一年末付1000元，此后的给付金额按5的复利递增，假设年实际利率为11.3%，请计算这项年金在时刻零的现值。 解：本例年金的现金流如下图所示：,35,现值： 其中 因此该项年金的现值为：,36,期初付复递增年金：假设一项年金在第1年初给付1元，此后给付金额按复利增长，直到第 n 年初给付金额为 元。,37,此项年金的现值表达式： 令 ，可将上式化简为：,其中,注：若 e = i, 则现值为 n,38,例：小李拥有一份20年期