【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件：7.3空间点、直线、平面之间的位置关系.ppt

1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)平面的基本性质,两点,过不在一条直线上,一条,(2)空间两条直线的位置关系 位置关系分类:,相交,平行,任何一个平面,平行公理(公理4)和等角定理: 平行公理:平行于同一条直线的两条直线_. 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 _.,平行,相等或互补,异面直线所成的角: ()定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线aa, bb,把a与b所成的_叫做异面直线a与b所成的 角(或夹角); ()范围:_.,锐角(或直角),(3)空间直线与平面、平面与平面的位置关系,a=A

2、,1,a,0,a,无数,0,=l,无数,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)唯一性定理 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (2)异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.,(3)确定平面的三个推论 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 两条相交直线确定一个平面. 两条平行直线确定一个平面.,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:同一法、反证法、平移法、辅助平面法. (2)数学思想:转化

3、与化归思想. (3)记忆口诀:夹角和距离求法口诀: 空间距离和夹角 平行转化是关键 一找二证三构造 三角形中找答案,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.( ) (2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,并记作=A.( ) (3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( ) (4)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线.( ) (5)没有公共点的两条直线是异面直线.( ),【解析】(1)错误.当两个平面平行时,把空间分成三部分. (2)错误.由公理3知应交于过点A的一条直线. (3)错误.应相交于直线B

4、C,而非线段. (4)正确.因为若cb,则由已知可得ab,这与已知矛盾. (5)错误.异面或平行. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修2P43T1改编)两两相交的三条直线最多可确定 个平面. 【解析】当三条直线共点且不共面时,最多可确定三个平面. 答案:3,(2)(必修2P52 B组T1改编)如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,CN与BM所成的角为 .,【解析】由展开图得正方体如图所示.连接AN,AC,因为BMAN,所以ANC为异面直线CN与BM所成的角(或其补角),又ANC为正三角形,故ANC=60. 答案:60,3.真题小试

5、感悟考题 试一试 (1)(2013安徽高考)在下列命题中,不是公理的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,【解析】选A.因为B,C,D是经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明的命题和原理,是公理.而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理而不是公理.,(2)(2015北京模拟)a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是( ) A.若直线a,b异面,b,c

6、异面,则a,c异面 B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交 C.若ab,则a,b与c所成的角相等 D.若ab,bc,则ac,【解析】选C.如图(1)知A错;如图(2)知B错;如图(3)知D错;在直线c上任取一点P,过P作直线ma,则mb,因此a,b与c所成的角都等于m与c所成的角,故选C.,(3)(2014大纲版全国卷)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( ),【解析】选B.利用平移法求两条异面直线所成的角. 画出正四面体ABCD的直观图,如图所示.设其棱长为2, 取AD的中点F,连接EF,CF,设EF的中点为O,连接CO,则 EFBD,则FE

7、C就是异面直线CE与BD所成的角(或其补角).由题知 ABC为等边三角形,则CEAB,易得CE= ,同理可得CF= ,故CE=CF. 因为OE=OF,所以COEF.又EO= EF= BD= ,所以cosFEC=,考点1 平面的基本性质 【典例1】(1)(2015厦门模拟)下列四个命题中,真命题的个数为( ) 如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合; 两条直线可以确定一个平面; 空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内; 若M,M,=l,则Ml. A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2015长沙模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1

8、的中点, 求证:E,C,D1,F四点共面.,【解题提示】(1)利用公理2,公理3及推论判断. (2)只需证明EFCD1即可. 【规范解答】(1)选B.根据公理2,可判断是真命题;两条异面直线不能确定一个平面,故是假命题;在空间,相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角),故是假命题;根据平面的性质可知是真命题.综上,真命题的个数为2.,(2)如图,连接CD1,EF,A1B,因为E,F分别是AB和AA1的中点, 所以EFA1B且EF= A1B. 又因为A1D1BC,且A1D1=BC, 所以四边形A1BCD1是平行四边形. 所以A1BCD1, 所以EFCD1, 即EF与CD1确定一个平面. 且E,

9、F,C,D1,即E,C,D1,F四点共面.,【互动探究】本例第(2)题的条件不变,如何证明“CE,D1F,DA交于一点”? 【证明】由例题解析可知,EFCD1,且EF= CD1, 所以四边形CD1FE是梯形. 所以CE与D1F必相交.设交点为P,如图, 则PCE平面ABCD, 且PD1F平面A1ADD1. 又因为平面ABCD平面A1ADD1=AD, 所以PAD,所以CE,D1F,DA交于一点.,【规律方法】 1.证明点共面或线共面的常用方法 (1)直接法:证明直线平行或相交,从而证明线共面. (2)同一法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. (3)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平

10、面,再证明其余元素确定平面,最后证明平面,重合.,2.证明空间点共线问题的方法 (1)公理法:一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上. (2)同一法:选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. 3.证明三线共点的方法 先选取两线交于一点,再证明该点在第三线上即可.,【变式训练】 (2015武汉模拟)如图所示,四边形ABEF和ABCD都是 梯形,BC AD,BE FA,G,H分别为FA,FD的中点. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形. (2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?,【解析】(1)由已知FG=GA,FH=HD,得GH

11、AD. 又BC AD,所以GH BC,所以四边形BCHG是平行四边形. (2)方法一:由BE AF,G为FA中点知BE GF, 所以四边形BEFG为平行四边形,所以EFBG. 由(1)知BGCH,所以EFCH, 所以EF与CH共面. 又DFH,所以C,D,F,E四点共面.,方法二:如图所示,延长FE,DC分别与AB交于点M,M. 因为BE AF,所以B为MA的中点. 因为BC AD,所以B为MA的中点, 所以M与M重合,即FE与DC交于点M(M), 所以C,D,F,E四点共面.,【加固训练】如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,ACBD=P,A1C

12、1EF=Q.求证: (1)D,B,F,E四点共面. (2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.,【证明】(1)连接B1D1, 因为E,F分别为D1C1,C1B1的中点, 所以EFD1B1,又D1B1DB, 则EFDB, 所以D,B,F,E四点共面.,(2)因为ACBD=P,A1C1EF=Q, 所以P平面DBFE, P平面A1ACC1, Q平面DBFE,Q平面A1ACC1, 又A1C平面DBFE=R, 所以R平面DBFE,R平面A1ACC1, 所以P,Q,R在平面DBFE与平面A1ACC1的交线上, 因此P,Q,R三点共线.,考点2 空间直线的位置关系 【典例2】(1)(2015

13、烟台模拟)a,b,c表示不同的直线,M表示平面,给出四个命题:若aM,bM,则ab或a,b相交或a,b异面;若bM,ab,则aM;若ac,bc,则ab;若aM,bM,则ab.其中正确的为( ) A. B. C. D.,(2)如图所示,正方体ABCD -A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问: AM和CN是否是异面直线?说明理由. D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.,【解题提示】(1)先判断命题真假,再结合选择支判断其他命题真假,进而作出选择. (2)通过说明MNAC,说明AM,CN共面,从而判断. 由图易判断D1B和CC1是异面直线,可用反证法证明.,【规范解答】(

14、1)选A.对于命题.aM,bM,则a与b平行或相交或异面,故正确,排除B,C;若aM,则错误,排除D.故选A.,(2)AM和CN不是异面直线. 理由:连接MN,A1C1,AC. 因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点, 所以MNA1C1. 又因为A1A C1C, 所以四边形A1ACC1为平行四边形, 所以A1C1AC,所以MNAC, 所以A,M,N,C在同一平面内, 故AM和CN不是异面直线.,D1B和CC1是异面直线. 理由: 因为ABCD -A1B1C1D1是正方体,所以B,C,C1,D1不共面. 假设D1B与CC1不是异面直线, 则存在平面,使D1B平面,CC1平面, 所以D1,B,C

15、,C1, 这与B,C,C1,D1不共面矛盾.所以假设不成立, 即D1B和CC1是异面直线.,【易错警示】解答本例题(2)用反证法时有两点容易出错: (1)将直线D1B与CC1异面的否定搞错,误以为不异面,则否定为平行或相交. (2)不知推出的结论与谁矛盾.,【规律方法】异面直线的判定方法 (1)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到. (2)判定定理法:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.,【变式训练】(1)(2014广东高考)若空间中四条两两

16、不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是( ) A.l1l4 B.l1l4 C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定,【解析】选D.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,记l1=DD1,l2=DC,l3=DA,若l4=AA1,满足l1l2,l2l3,l3l4,此时l1l4,可以排除选项A和C.若l4=DC1,也满足条件,可以排除选项B.,(2)(2015承德模拟)设A,B,C,D是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是 (填序号). 若AC与BD共面,则AD与BC共面; 若AC与BD是异面直线,则AD与BC是异面直

17、线; 若AB=AC,DB=DC,则AD=BC; 若AB=AC,DB=DC,则ADBC.,【解析】对于,由于点A,B,C,D共面,显然结论正确.对于,假设AD与BC共面,由正确得AC与BD共面,这与题设矛盾,故假设不成立,从而结论正确. 对于,如图,当AB=AC,DB=DC, 使二面角A-BC-D的大小变化时,AD与BC不一定相等,故不正确. 对于,如图,取BC的中点E,连接AE,DE,则由题设得BCAE,BCDE.根据线面垂直的判定定理得BC平面ADE,从而ADBC. 答案:,【加固训练】(1)如果两条异面直线称为“1对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( ) A.12对 B.24对 C

18、.36对 D.48对,【解析】选B.如图所示,与AB异面的直线有B1C1,CC1, A1D1,DD1四条,因为各棱具有相同的位置且正方体共 有12条棱,排除两棱的重复计算, 共有异面直线 =24(对).,(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论: 直线AM与CC1是相交直线; 直线AM与BN是平行直线; 直线BN与MB1是异面直线; 直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为 (注:把你认为正确的结论序号都填上).,【解析】因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,

19、所以AM与CC1是异面直线,故错;取DD1中点E,连接AE,则BNAE,但AE与AM相交,故错;因为B1与BN都在平面BCC1B1内,M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故正确;同理正确,故填. 答案:,考点3 异面直线所成的角 知考情 计算异面直线所成角的大小,是高考考查空间角的一个重要考向,常与空间几何体的结构特征、三视图及平面图形的折叠等知识综合以选择题、填空题、解答题的形式出现.,明角度 命题角度1:由几何体的结构特征计算其中异面直线所成的角 【典例3】(2014新课标全国卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90, M,N分别是A1B1,A1C1

20、的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为 ( ) (本题源于教材必修2P48练习T2),【解题提示】通过平行关系找出异面直线的夹角,再根据余弦定理求解. 【规范解答】选C.如图,取BC中点D,连接MN,ND,AD, 由于MN B1C1 BD, 因此ND BM,则ND与NA所成角即为异面直线BM与AN所 成的角(或其补角),设BC=2,则BM=ND= ,AN= , AD= ,因此cosAND=,命题角度2:根据三视图计算其对应几何体中异面直线所成的角 【典例4】(2015揭阳模拟)如图是三棱锥D-ABC的三视图,点O在三 个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余

21、弦值等于 ( ),【解题提示】将三视图还原成几何体,利用几何体的平行关系或特殊点,确定异面直线所成的角.,【规范解答】选A.由题意得如图所示的直观图,从A出 发的三条线段AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1,O是 BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE=1,又可知AE=1, 由于OEAB,故DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角.在直角 三角形DAE中,DE= ,由于O是中点,在直角三角形ABC中可以求得AO= ,在直角三角形DAO中可以求得DO= .在三角形DOE中,由余弦定 理得cosDOE= 故所求余弦值为 .,悟技法 1.求异面直线所成角的常用方法及类型

22、常用方法是平移法,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点空间某特殊点)作平行线平移;补形平移.,2.求异面直线所成角的三个步骤 (1)作:通过作平行线,得到相交直线. (2)证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角. (3)求:通过解三角形,求出该角. 3.计算由三视图或平面图形折叠得到几何体中异面直线所成角的思路 (1)准确作出直观图. (2)在直观图中作出异面直线所成的角,进而求解.,通一类 1.(2015岳阳模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为( ),【解析】选D.如图

23、,取AB的中点E,连接B1E,则AMB1E. 取EB的中点F,连接FN,则B1EFN,因此AMFN, 连接CF,则直线FN与CN所夹锐角或直角为异面直线AM 与CN所成的角. 设AB=1,在CFN中, 由余弦定理cos=|cosCNF|,2.(2015佛山模拟)如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AA1AB= 1,则异面直线AB1与BD所成的角为 .,【解析】如图所示,取A1C1的中点D1,连接B1D1, 由于D是AC的中点, 所以B1D1BD,所以AB1D1即为异面直线AB1与BD所成 的角或其补角.连接AD1,设AB=a,则AA1= a,所以AB1= a, B1D1= ,AD1= 在AB1D1中,由余弦定理得cosAB1D1= 所以AB1D1=60. 所以异面直线AB1与BD所成的角为60. 答案:60,3.(2015盐城模拟)如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将ABC沿DE,EF,DF折成正四面体P-DEF,则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为 .,【解析】如图,连接HE,取HE的中点K,连接GK,P