2017_18学年高中数学第一章1.4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式1.4.1_1.4.2课件.pptx

1、1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 1.4.2 单位圆与周期性,1.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义. 2.了解周期函数的定义. 3.能判断任意角的正弦函数、余弦函数在各个象限的符号. 4.掌握终边相同的角的正弦函数、余弦函数的公式的应用.,1,2,3,4,5,1.单位圆 在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长为半径的圆,称为单位圆.,1,2,3,4,5,2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义 (1)定义1:如图,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位圆,对于任意角,使角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),那么点P的纵坐标v定

2、义为角的正弦函数,记作v=sin ;点P的横坐标u定义为角的余弦函数,记作u=cos .,图,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,名师点拨任意角的三角函数是在坐标系中定义的,角的范围是使函数有意义的实数集;任意角的三角函数值只与有关,而与点P的位置无关;三角函数的记号是一个整体,离开的sin,cos 是没有意义的,它表示的是一个比值,而不是sin或cos与的积.,1,2,3,4,5,【做一做1-1】 已知角的终边上一点P(1,-2),则sin +cos =( ) 答案:C,1,2,3,4,5,3.正弦函数值、余弦函数值的符号 (1)图示:任意角的正弦函数值的符号,如图;任意角的余弦函数值的

3、符号,如图.,1,2,3,4,5,(2)表格:,1,2,3,4,5,【做一做2-1】 若角是第二象限角,则点P(sin ,cos )在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:是第二象限角, cos 0. 点P在第四象限. 答案:D,1,2,3,4,5,【做一做2-2】 若角满足sin 0,且cos 0知,角是第一、二象限角或角的终边在y轴非负半轴上. 由cos 0,且cos 0. (2)sin 20,2k0;若A为直角,则sin A0,cos A=0;若A为钝角,则sin A0,cos A0. 答案:cos A,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 (1)已知

4、函数f(x)在其定义域上满足f(x+2)=-f(x),求证:函数f(x)是以4为周期的周期函数; (3)若函数f(x)在其定义域上满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(常数a为正数),求证:f(x)为周期函数,且6a是它的一个周期. 分析:证明一个函数是周期函数,只需证明f(x+T)=f(x)(T0)即可,同时应注意多次使用所给式子的结构.,题型一,题型二,题型三,题型四,证明:(1)f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=-f(x)=f(x), 由周期函数的定义知,函数f(x)是以4为周期的周期函数. 由周期函数的定义知,函数f(x)是以4为周期的周期函数. (3)f(x)=f(

5、x-a)+f(x+a), 用x+a替换x,得f(x+a)=f(x)+f(x+2a). +,得f(x-a)+f(x+2a)=0,即f(x-a)=-f(x+2a). 用x+a替换x,得f(x)=-f(x+3a), f(x+6a)=f(x+3a)+3a=-f(x+3a)=f(x), 由周期函数的定义可知,函数f(x)是周期函数,且6a是它的一个周期.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.证明函数是周期函数,只需要根据定义:存在非零常数T,对任意定义域内x,都有f(x+T)=f(x). 2.要得到周期T,需善于根据所给条件的结构特征进行分析、变形.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】已知定义在R上的函数f(x),对任意实数x,有f(x+2)f(x)=1恒成立,试证明函数f(x)是周期函数. 函数f(x)是周期函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点 因忽略对参数的讨论而致误 【例4】 已知角的终边经过点P(3a,4a)(a0),试求sin ,cos 的值.,1,2,3,4,5,答案:B,1,2,3,4,5,答案:D,1,2,3,4,5,答案:三,1,2,3,4,5,4.已知函数f(x)是周期函数,周期T=6,f(2)=1,则f(14)= . 解析:f(14)=f(26+2)=f(2)=1