状态空间描述法PPT课件

1、.,1,第九章 状态空间描述法,9.1 线性系统的状态空间描述,9.2 状态方程求解,9.3 可控性与可观测性,9.4 状态反馈与状态观测器,End,.,2,9.1 线性系统的状态空间描述法,1控制系统的两种基本描述方法： 输入输出描述法经典控制理论 状态空间描述法现代控制理论 2经典控制理论的特点： (1) 优点：对单入单出系统的分析和综合特别有效。 (2) 缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入单出系统。 3. 现代控制理论 (1) 适应控制工程的高性能发展需要，于60年代提出。 (2) 可处理时变、非线性、多输入多输出问题。 (3) 应用方面的理论分支：最优控制、系统辩识，自适应控制,9.

2、2,9.3,9.4,一、问题的提出,.,3,1. 先看一个例子： 例9.1 试建立图示电路的数学模型。,二. 状态和状态空间,.,4,2. 状态与状态变量的定义,在已知ur(t)的情况下，只要知道 uc(t)和i(t)的变化特性，则其他变量的变化均可知道。故uc(t)和i(t)称为“状态变量”。记,控制系统的状态为完全描述系统的一个最小变量组，该组中的每个变量称为状态变量。,如上例中, 为系统的状态， 为状态变量。,.,5,3. 状态向量,4. 状态空间: 定义: 所有状态构成的一个实数域上的(线性)向量空间称为状态空间。 5. 方程: 状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系表达式称为状态

3、方程(见上例); 系统输出量y(t) 与状态变量、输入量的关系的表达式称为输出方程。,.,6,三. 状态变量的选取,1. 状态变量的选取是非唯一的。 2. 选取方法 （1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。 （2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流i、电容电压uc 、质量m 的速度v 等。,.,7,例9.2 图示弹簧质量阻尼器系统，外作用力u(t)为该系统的输入量，质量的位移y(t)为输出量，试列写该系统的状态方程和输出方程。,.,8,例9.3 已知系统微分方程组为,其中，ur 为输入，uc 为输出，R1、C1

4、、 R2、C2为常数。试列写系统状态方程和输出方程。,.,9,解：,选,写成向量矩阵形式：,.,10,四. 状态空间表达式,1. 单输入单输出线性定常连续系统,.,11,2. 一般线性系统状态空间表达式（p输入q输出）,3. 线性定常系统状态空间表达式,.,12,.,13,五. 线性定常系统状态空间表达式的建立,1. 方法:机理分析法、实验法 2. 线性定常单变量系统(单输入单输出系统) (1) 由微分方程建立, 在输入量中不含有导数项时：,.,14,例9.4 已知系统微分方程为,列写系统的状态空间表达式。,写成向量-矩阵形式(或系统动态结构图):,解：选, 输入量中含有导数项时：,.,15,

5、 可控规范型实现,(2) 由传递函数建立即实现,.,16,B）bn0,.,17,例9.5 已知系统的传递函数为,试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。,解: 由 bn=b3=0,对照标准型,可得实现为,.,18,例9.6 已知系统的传递函数为,试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。,解: 由 bn=b30, 对照标准型,.,19,例9.7 已知系统的传递函数为,试求其能观测规范型实现，并画出系统状态图。,与能控规范型关系： A*=AT，B*=CT，C*=BT, 能观测规范型实现,.,20, 对角线规范实现,.,21,结构图,的对角线规范型实现，并画出系统状态图 。,例9.8 求,.,22,

6、解：,则对角线规范型实现为,.,23, 约当规范型实现-特征方程有重根时,.,24,.,25,.,26, 当G(s)有重极点时，设-pi中有k重极点,.,27,.,28,例9.9,.,29,(3) 状态空间表达式的线性变换, 思路：, 变换前后系数矩阵关系：,代入原状态方程，有,.,30,变换为对角线规范型。,例9.10 试将状态方程,解：. 求特征值：,. 求特征向量和变换矩阵P,=-1对应的p1,.,31,3线性定常多输入多输出系统,(1) 传递函数矩阵与状态系数矩阵间的关系,.,32,(2) 开环与闭环传递矩阵,(3) 传递矩阵的对角化,.,33,(4) 传递矩阵的实现,1) 单输入多输

7、出时的实现,.,34,可控规范型,.,35,例9.11 试求下列单输入双输出系统传递函数矩阵的可控标准形实现。,解 ：,.,36,2) 多输入单输出时的实现,解题思路 ： 求对应的单入多出系统GT(s) 的实现； 利用对偶关系求G(s)的实现。,例9.12 线性定常系统传递函数矩阵如下，求系统的可控标准形实现。,解： 1）先求对应的单输入双输出系统的实现,.,37,.,38,2）再转换为双输入单输出系统的实现,故原系统的实现为:,.,39,方法的验证,.,40,对比原题所给传递函数，可见结果一致。,.,41,本 节 作 业,刘豹. P48 1-4 1-5(1) 1-7,.,42,9.2 状态方

8、程求解,线性定常连续系统,1. 齐次状态方程的解,（1） 幂级数法 设解为：,9.3,9.4,9.1,.,43,.,44, 拉氏变换法,由 两边取拉氏变换， 得 SX(s)-X(0)=AX(s) (SIA)X(s)=X(0) X(s)=(SIA)-1.X(0) 两边取拉氏反变换 x(t)= L-1X(s)= L-1(SI-A)-1 X(0) = L-1 (SI-A)-1 X(0) 比较前式，有eAt= L-1 (SI-A)-1,.,45, 状态转移矩阵的运算性质,(t)=eAt=I+At+(1/2)A2t2+(1/k！)Aktk+ (0)=I初始状态,(2), (t1t2)=(t1)(t2)

9、=(t2)(t1) - 线性关系 -1(t)=(-t)， -1(-t)=(t) - 可逆性 x(t)=(t-t0)x(t0) x(t0)=(t0)x(0),.,46,则 x(t)=(t)x(0)=(t)-1(t0)x(t0) =(t)(-t0)x(t0)=(t-t0)x(t0) （6）(t2-t0)=(t2-t1)(t1-t0) = e (t2-t1)Ae(t1-t0)A 可分阶段转移, (t)k =(kt) e(A+B)t=eAt.eBt=eBt.eAt (AB=BA) e(A+B)teAt.eBteBt.eAt (ABBA) 引入非奇异变换 后， 两种常见的状态转移矩阵,.,47,.,48

10、,例9.13 设有一控制系统，其状态方程为,在t0=0时，状态变量的初值为x1(0) x2(0) x3(0), 试求该方程的解。,.,49,.,50,.,51,试求A及(t) 。,例9.14 设系统状态方程为,.,52,解方程组得， 11(t)=2e-t e-2t, 12(t)= 2e-t2e-2t 21(t)=-e-t +e-2t, 22(t)=-e-t+2e-2t,.,53,例9.15 设系统运动方程为,式中a、b、c均为实数，试求： 求系统状态空间表达式。 求系统状态转移矩阵。,.,54,2. 非齐次状态方程 的解, 直接法（积分法）,(2) 拉氏变换法,sx(s)-x(0)=Ax(s)

11、+Bu(s) (sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s) x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s) 则 x(t)=-1(sI-A)-1x(0)+-1(sI-A)-1Bu(s) (由eAt=-1(sI-A)-1可得),.,55,例9.16 在上例中，当输入函数u(t)=1(t)时，求系统状态方程的解。,.,56,例9.17 设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下,所示。试用状态空间法对系统进行分析 。,解：由图,.,57,.,58,本 节 作 业,刘豹. P77 2-3 2-5(3) 2-6,.,59,一、可控 与可观测的 概念、意义,9.3 可控性与可观测性,9.2,

12、9.4,9.1,.,60, 设线性定常连续系统的状态空间表达式为：,如果存在一个控制u(t)，能在有限时间间隔to,tf内，使系统从其一初态x(to)转移到任意指定的终态x(tf) ，则称此状态x(to)是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）。,二、定义,1. 可控性定义,.,61,三、可控性与可观测性判据,系统在稳定输入u(t)作用下，对任意初始时刻to ，若能在有限时间间隔to,tf之内，根据从to到tf对系统输出y(t)的观测值和输入u(t)，唯一地确定系统在to时刻的状态x(to) ，则称系统是状态完全可观测的，简称系统可（能）观测。（只要有一个状

13、态变量不能（可）观测，则系统不可观测）。,2. 可观测性定义,可控规范型：,1. 可控性判据,.,62,线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是可控性判别阵： 必须满秩。即 （n为系统维数）,判据一：,试判别其状态的可控性。,解：,例9.18 设系统状态方程为：,系统可控！,.,63,设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可控的充要条件是，系统经非奇异变换后的对角线规范型方程：,中， 阵不包含元素全为零的行。,判据二:,例9.19 已知三阶二输入系统状态方程, 试判别其状态的可控性。,解：,不可控！,.,64,例9.20 试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性。,.,65,例9

14、.21 试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性。,中，与每个约当小块 的最后一行相对应 的 阵 中的所有那些行，其元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此结论不成立。）,约当规范型,判据三：,.,66,判据一: 线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件为可观测性矩阵:,2. 可观测性判据,必须满秩，即 rankQo=n（n为系统维数）,可观测规范型：,.,67,例9.22 已知系统的A, C阵如下，试判断其可观性。,例9.23 试判别如下系统的可观测性。,解：,解：,.,68,的矩阵 中不包含元素全为零的列。,设线性定常连续系统具有不相等的特征值, 则其状态可观测的充要条件

15、是系统经非奇异变换后的对角线规范型:,例9.24 试判别以下系统的状态可观测性.,判据二:,.,69,中,与每个约当块 首行相对应的矩阵 中的那些列,其元素不全为零。(如果两个约当块有相同的特征值, 此结论不成立)。,约当规范型,判据三:,.,70,例9.25 试判别下列系统的状态可观测性。,.,71,1）可控可观测的充要条件： 由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数可约）。 2）可控的充要条件： (SI-A)-1b不存在零极点对消。 3）可观测的充要条件： c(SI-A)-1不存在零极点对消。,四、 能控能观性与传递函数的关系,例9.26 判断以下系统的状态可控性与可观测性。,

16、1. 单输入单输出系统,.,72,例9.27 系统传递函数如下，判断其可控性与可观测性。,.,73,2. 多输入多输出系统,1）可控的充要条件： (SI-A)-1B 的n行线性无关。 2）可观测的充要条件： C(SI-A)-1 的n列线性无关。,例9.28 用两种方法验证：系统（1）的状态可控性；系统（2）的状态可观测性。,.,74,例9.29,.,75,.,76,五、对偶原理,设系统 S1(A1,B1,C1) 与系统 S2(A2,B2,C2) 互为对偶系统，则:,若系统S1(A1,B1,C1)可控，则系统S2(A2,B2,C2)可观测； 若系统S1(A1,B1,C1)可观测，则系统S2(A2

17、,B2,C2)可控； 证明：,.,77,六、线性系统的规范分解*,例9.30 判断以下系统及其的状态可控性与可观测性。,线性系统可分解为四种系统：,能控 能观测 1 2. 3. 4. ,.,78,1. 能控性规范分解,定理 n 阶系统(A,B,C)，rankQc=kn，则通过非奇异变换,可导出原系统按能控性规范分解的新系统 (Ac , Bc , Cc)，有,为能控子系统。,.,79,5-3, Tc的求法：,i) 从QC中任选k (rankQC=k) 个线性无关的列向量， 它为Tc的前k列：V1, V2, , Vk ； ii) 在Rn中再选n-k个列向量，记为Vk+1, Vn , 需使得：,为非

18、奇异。,.,80,设线性定常系统如下，判断其能控性；若不完全能控，试将该系统按能控性进行分解。,例9.31,解 系统能控性判别阵,rankQc=2n=3 ,所以系统是不完全能控的。,.,81,其中Tc3是任意的，只要能保证Tc非奇异即可。 变换后的系统的状态空间表达式,即,能控子系统为,.,82,为能观测子系统。,可将原系统变换为按能观测规范分解的新系统 (Ao , Bo , Co)，有,5-4,定理 n 阶系统(A, B, C)， rankQo=r0；当A=0时，|A|=0 ； (2) |A|=| |A| 为任意向量； (3) |A+B|A |+| B| ； (4) |AB|A | B| ；

19、,.,106, 几种常见的矩阵范数：,2范数,1范数,.,107,9.5.2 平衡状态和稳定性,9.5.2.1 平衡状态（平衡点）xe,xe 一个状态变量，一旦系统到达此状态，则以后在无外力及扰动的情况下，总处于此状态。 任意状态x(t)可表达为：x(t)=(t ; t0 , x(t0) , u(t) 平衡状态xe零输入状态下的不变状态，有 xe=(t ; t0 , xe , 0) = 常量 对于线性定常连续系统：,xe为平衡状态,线性定常离散系统：,x(k+1)=Gx(k) (2),.,108,9.5.2.2 几个稳定性概念,可见，由线性定常连续系统（1）、离散系统（2）：,xe=0,线性定

20、常系统：xe= 0是唯一的渐近稳定的平衡状态。,(1) 李亚普若夫意义下的稳定性,(SisLStability in the sense of lyapunov 或 i.s.L 稳定) xe平衡状态，x0初始状态（t0时刻） 当且仅当 对于任一实数 0， 对应地存在一个实数 0，使：,| x0 - xe | 时，从任一初始状态x0出发的零输入响应(t ; t0 , x0 , 0)都满足,|(t ; t0 , x0 , 0) - xe|, t t0 则称xe为lyapunov意义下稳定的（SisL）。,.,109,球域s()，半径为 ； 球域s()，半径为 。 s()内的状态的自由运动总在s()

21、内。 若与t0无关，则称此平衡态xe是i.s.L一致稳定的，如下图。,一般， = (, t0)，即与和t0有关；,状态空间，以xe为原点，对给定正实数，以xe为球心、为半径构造一个超球体，球域记为s( ) 。,几何解释：,.,110,(2) 渐近稳定（ASasymptotic stability） 称平衡态xe是渐近稳定（AS）的，如果满足： xe是i.s.L稳定的； ,对于 (, t0)和任意给定的实数0，对应地存在实数 T ( , , t0)0 使得满足的任一初态x0出发的零输入响应都满足： |(t ; t0 , x0 , 0)- xe |0 (i=0, 1, , n-1)； 有缺项或有负

22、的系统不是AS 。,.,114,2Hurwitz 行列式判据:,线性定常系统为AS的充要条件判据,.,115,3Lienardchipart 判据,只需要计算一半Hurwitz行列式。,例9.37,例9.38,.,116,9.5.3.2 线性定常离散系统的渐近稳定性,若对于任意x(0), 有,定理4.2 特征值判据 线性定常离散系统渐近稳定的充要条件为：G的所有特征值的幅值均小于1，即,（即G的特征值i均位于Z平面的单位内）。,.,117,9.5.4 李亚普若夫第二法,基本思路：从能量观点进行稳定性分析：,1) 如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是渐近稳定的； 2) 反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则这个平衡状态是不稳定的； 3) 如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平衡状态就是Lyapunov意义下的稳定。,由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系; 于是Lyapunov定义了一个正定的标量函数，作为虚构的广义能量函数，用其一阶微分的符号特征来判断系统的稳定性。,.,118,9.5.4.1 (实)二次型,一般的一个实二次型是指n个变量的二次齐次多项式,可写成：,其中qij=qji 。,其系数确定了一个n阶实对称矩阵：,.,