奥数公式记忆

1、奥数常用知识点11到33平方数记忆112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324192=361212=441222=484232=529242=576252=625262=676272=729282=784292=841312=961322=1024332=1089两数积一定，差越小，和越小。两数和一定，差越小，积越大。平方差公式a2-b2=a+ba-b完全平方公式（a+b）2=a+2ab+b（a-b）2=a-2ab+b平方与立方数列求和公式12+22+32+42+n2=nn+1（2n+1）613+23+33+43+n3=1+2

2、+3+4+n2=nn+12勾股定理a2+b2=c232+42=52 52+122=132等差数列通项公式an=a1+n-1dn=an-a1d+1sn=a1+ann2山顶数列求和1+2+3+n+3+2+1=n奇数列求和公式（天下无双，个数平方，必须从1开始）1+3+5+（2n-1）=n偶数列求和公式2+4+6+2n=n+n同补速算（头同尾合十）如：5159=30095（5+1）=30 19=09补同速算如：3474=25 16（37+4）=25 44=16几位数乘几个“9”的速算，去一填补。如：3599=346535-1=34 100-35=655678999999=56788 43211重码数

3、速算abcabc=abc1001abcdabcd=abcd10001abcabcabc=abcn个”1”n个”1”111111111111=123n321（n9）如：1111111111=n个”1”n个”9”相乘111111n个“1”999999n个“9”=1111n-1个“1”08888n-1个“8”9如：11119999=n个”3”n个”3”4相乘33333n个“3”333n-1个“3”4=1111n个“1”2222n个“2”如：33333334=373n=nnn（n是1-9的自然数）如：3739=999854713n=nnnnnn（n是1-9的自然数）如：8547134=9n=nnnnn

4、nnnn（n是1-9的自然数）如：94=n个”9”n个”9”相乘9999n个“9”999n个“9”=999 n-1个“9”8000n-1个“0”1如：9999999999=现有1g，2g，4g，8g，16g2n-1g糖果各一包，整包出售，可以卖的克数有多少种？2n-1种如：1g，2g，4g，8g，16g 25-1=31种100以内质数25个2357111317192329313741434753596167717379838997部分特殊数的分解111=3371995=357191001=711131998=23333710001=731372007=3322310101=3713372008

5、=22225111111=412712015=51331=371113372014=219532016=2*2*2*2*2*3*3*72017质数分数的裂项裂和：a+babaabbab1b1a裂差：b-aabbabaab1a-1b1a（a）a（a）（a）（、为的公约数）如：（）（）1a-（a-）a（a-）（a-）（、为的公约数）如：（-）（-）数的整除特征1. 能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数2. 能被5整除的数的特征：个位是0或5。3. 能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。4. 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除

6、。5. 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。6. 能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。若奇数位和小于偶数位和方法一：添加11的倍数给奇数位和然后再减偶数位和。方法二：偶数位和减奇数位和后余数再取11的补数7. 能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。若奇数段和小于偶数段的和方法一：添加7/11/13的倍数给奇数段和然后再减偶数段方法二：偶数段减奇数段和后余数再取7/11/13的补数8. 能被99整除的数的特征：一个整数

7、从后两位开始两位一截所得的所有数的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数（同时能被11整除）。注意： “牛吃草”问题常用的公式“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。“牛吃草”问题是小学应用题中的难点。解“牛吃草”问题的主要依据：（1）草的每天生长量不变；（2）每头牛每天的食草量不变；（3）草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值，新生的草量每天生长量天数。同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：（1） 设定1头牛1天吃草量为“1”；（2） 草的生长速度（对应牛的头数较多天数

8、对应牛的头数较少天数）（较多天数较少天数）；（3） 原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；（4） 吃的天数原来的草量（牛的头数草的生长速度）；（5） 牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度。“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。进制转化N化10，看数位，个十百，1，n，n如：（463）8=（）10=482+681+380=256+48+3=30710化N，看余数，前到后，个十百。如：865等于五进制的多少？865=（11430）5进制计算，加减乘除，逢n进1，借1当n。平方数有奇数

9、个约数，非平方数有偶数个约数。64=26，约数个数为6+1=7个78=2131131，约数个数为（1+1）（1+1）（1+1）=8约数个数及约数求和任意整数N可以如下分解N=p1a1p2a2p3a3prar，p1、pr是不同的质数，a1、ar是正整数。N的约数个数是：（a1+1）（a2+1）（ar+1）N所有约数的和是：（1+p1+p12+p1a1）（1+p2+p22+p2a2）（1+pr+pr2+prar）所有奇约数的个数和奇约数的和例如：例如：360=23325奇约数325，奇约数个数为（2+1）（1+1）=6奇约数的和为（30+31+32）（50+51）=78所有偶约数的个数和偶约数的和

10、例如：360=23325，偶约数个数为3（2+1）（1+1）=18偶约数的和为（21+22+23）（30+31+32）（50+51）=1092所有约数的乘积例如：168的所有约数的乘积是多少？168=2337，先求处约数个数为422=161，2，3，56，84，168配对1-168，2-84，共8对为1688约数为奇数个数的数为平方数，平方数的约数个数为奇数。64=82=26，约数个数为7个经典例题123+234+345+91011=14【123（4-0）+234（5-1）+345（6-2）+91011（12-8）】=149101112=2970浓度三角形甲浓度乙浓度20% 50%丙浓度40%

11、10% 20%甲：乙=10：20 甲乙溶液的质量比甲乙50%20%40%丙三阶幻方解法“萝卜”法一居上行正中央，依次填在右上角，上出框时下边填，右出框时左边放，斜出框时下边放(出角重复一个样)排重便在下格填。“萝卜”法适用于所有”奇数阶”幻方(真牛)，比如9阶 (了解)475869801122334455768799112233444667788102132435456777182031425355666171930415263657616272940516264755262839506172744153638496071733142537485970812132435幻方的其它概念: 中心数

12、和黄金三角的规律只适用于3阶幻方1.中心数: 中心数为对称两边数的和除以2（比如（8+2）/2=5）8163574922.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2（比如（7+9）/2=8）归纳与递推计数一、 欧拉定理平面图形：顶点数+区域数-边数=1二、 求最多交点数（n条直线）n（n-1）2三、 分平面1、直线分平面：1+ n（n+1）22、封闭图形 圆分平面： 2+n（n-1） 椭圆分平面： 2+2n（n-1） 三角形分平面：2+3n（n-1） 四边形分平面：2+4n（n-1） M变形分平面：2+Mn（n-1）四、 多边形分三角形（n个内点）四边形：4+（n-1）2M边形：M+（n-1

13、）2一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时.回来时顺水,比去时每小时多行驶8千米因此第2小时比第1小时多行驶6千米,求甲乙两地距离根据条件可知,这艘船第一小时时是不能到达B港的,只能到达的丙地（假设）.也就是说这艘船第二小时行的路程有两部分：第一部分路程是以原速度逆流而上从丙到乙；第二部分路程是以新速度顺流而下从乙到甲.第二小时比第一小时多行的6千米,不可能在第一部分多行,必定是在第二部分路程（返回的路程）多行的.返回时,每小时多行8千米,行多长时间才能多行6千米呢?由此可求出返回用的时间是：68 = 3/4（小时）那么在（第二小时内）行第一部分路程用的时间就是：1 - 3/4 = 1/4（小

14、时）第二小时比第一小时多行了6千米,除去同样多的部分（甲丙间）,多出来的6千米就是两个丙、乙间的路程.可求出丙、乙间的路程是：62 = 3（千米）去时的速度是：3 1/4 = 12（千米/小时）甲、乙两港间的距离：121 + 3 = 15（千米）页码问题王先生在编一本书，其页数需要用6869 个字，问这本书具体是多少页？A.1999B.9999C.1994D.1995方法一：假设这个页数是A页，则：A+(A-9)+(A-99)+(A-999)=6869 ，求出A=1994方法二：68692889，所以，把所有的数字看作是4位数字，不足4位的添0补足4位，1、2、 3、, 9 记为0001、 0

15、002、0003 、 .0009 这样增加了3 * 9 = 27 个010、 11、 12、 99 记为0010、0011、0012、.0099 增加了180 个0100、 101、 999 记为0100、 0101、 0999 增加了900 个O (6869+27+180+900)/4 =1994总结：一本书排版时用了N个数字，求这本书有多少页，N2889时,用添加0计算。4.在1-5000 页中，出现过多少次数字3 ？解析：每十个数里的个位上有一个3，5000个数就有5000/10=500个3，每一百个数里的十位上会有30到39,10个3，所以(5000/100)乘10=500个3，每一千

16、个数里的百位上会有300到399，100个3所以(5000/1000)乘100=500个3，在千位上的3就有3000到3999，1000个3，所以500+500+500+1000=2500个35.一本书有4000 页，问数字1 在这本书里出现了多少次？解析：我们看4000分为千，百，十，个四个数字位置千位是1 的情况：那么百、十、个三个位置的选择数字的范围是0-9 共计10个数字。就是10*10*10=1000百位是1 的情况，千位是（0 , 1 , 2 , 3 ) 4个数字可以选择。十位，个位还是0-9，10个数字可以选择即4*l0*10=400十位和个位都跟百位一样。那么答案就是1000+

17、400*3=2200总结：因为在页码1-99 中，l 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 均会出现20 次；在页码100-999 中，l 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 均会出现20*9+100次。上面两题均可以用公式,关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/10 乘以（数字位-1 )，再加上10 的（数字位数-l）次方。如三位数：总页数的1 / 10 乘以（3 一l ) + 1O 的（3-1) 次方四位数：总页数的l / 10 乘以（4 一l ) + 10 的（4-l) 次方那么第4题： (5000/10)*3+1000=2500；第5题：(4000

18、/10)*3+1000=2200在1-5000页中，含3的页数有是多少？在页码1-99中，数字3出现了20次，即有19个含3的页码(33页要去掉一次）；在页码100-999 中，分两种情况考虑：（1）首位数字是3 ，那么，后面两位就不用管了，一共有含3的页码100页；（2）首位数字不是3，那么必须考虑后两位数字含3，而前面知道，1-99中，有19个含3的页码，由于首位数字这时有l 、2 、4 、5 、6 、7 、8 、9 这么8种可能性，所以应该是19 * 8个含3的页码。本题，在1-999中，含3的页码一共19+19*8+100=19*9+100页；再引申到1000-5000，也分两种情况：

19、( l ) 千位是3，则有1000页：( 2 ）千位不是3，则只可能是l 、2 、4 ，只考虑后3位，有（19*9+l00)*3 个含3 的页码。所以，合计是：19 * 9 + 100 + ( 19 * 9 + 100 ) * 3 + 1000 =2084 页7. 99999 中含有多少个带9 的页面？答案是40951，排列组合学的不是特别好的同学可以牢记公式: (19*9+100)*9+1000*9+10000=40951规律很简单：19*9+100，代表l-999里含l 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 的页码数；(19*9+100)*9+1000，代表1-9999 里含l

20、、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 的页码数； (19*9+100)*9+1000*9+10000，代表l-99999 里含l 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 的页码数。2位数是19页，然后每多一位数就乘以9，再加上10的N次方，N=位数减1。一本300页的书中含“l”的有多少页？19*2+100=138页将所有自然数，从1 开始一次写下去得到： ，试确定第 个位置上出现的数字？A.3B.0 C.7 D.4解析：方法一：9999*410000*4=4000099999*5,那么肯定是5位数了。l , 2 , 3 , 9 记位00001 , 00002 , 00003

21、 , .00009 这样增加了4 * 9 = 36 个010 , 11 , 12 , 99 记为00010 , 00011 , 00012 ，.00099 增加了270 个0100 , 101 ， 999 记为00100 ,00101 ， 00999 增加了1800 个O1000,1001， ,9999记为01000 ,01010 ， 09999 增加了9000 个O(+36+270+1800+9000)/5 =/5=43578余2,说明 位置上的数就是第43579 的第2个数字3方法二设有A页，那么：A+(A-9)+（A-99）+（A-999）+（A-9999)=5A-(9+99+999+9

22、999)=A=43578余数是2说明 位置上的数就是第43579 的第2个数字3一本小说的页码，在印刷时必须用1989个铅字，在这一本书的页码中数字1出现多少次？解析：共有1989/3+36=699 页。即出现：(700/10)*(3-1)+100=240次11.印刷一本书用了1992个数字，在这本书中出现数字2的页码有多少页？ A.214B.226C.230D.240 解析：有1992/3+36=664+36=700页，含有数字2的页码：6*19+100=214选A小数化分数分成两类.一类：纯循环小数化分数,循环节做分子；连写几个九作分母,循环节有几位写几个九.例：0.3（3循环）=3/9（循环节的位数有一个,所以写一个9）0.347（347循环）=347/999（3位循环节写3个9）另一类：混循环小数化分数,小数部分减去不循环的数字作分子；连写几个9再紧接着连写几个0作分母,循环节是几个数就写几个9,不循环（小数部分）的数是几个就写几个0例0.2134（34循环）=