第五讲：欧拉七桥与中国邮路问题.ppt

1、第五讲：,哥尼斯堡七桥问题的回顾与延伸,1. 哥尼斯堡七桥问题回顾,实际问题,数学模型,合理简化、抽象,图 1 图 2,模型的理论研究理论结果,如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只

2、有两个点与奇数条线相连。,阐明实际实际解答,图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。 1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。在报告中，他证明了上述结论。后来他又给出了鉴别任一图形能否一笔画出的准则，即欧拉定理。为了介绍这个定理，我们先来看下面的预备知识：,解决实际问题的途径,实际问题,数学模型,实际解答,理论结果,合理,简化,理 研,论 究,阐明,实际,实 检,际 验,2.网络“一笔画”问题,我们的时代已经进入网络时代，身处这个时代的我们需要了解一点“网络”,七桥问题中的图2是

3、一个网络，a、b、c、d、e、f、g是它的7条弧，A、B、C、D是它的四个顶点。 图 3 图 4,如果网络中任意两个顶点都可以用一条路连结起来，那么就称这个网络为连通的；否则称为不连通的。例如，图2是连通的网络；图3是不连通的网络，其中有的顶点（例如A与D）之间没有路线连结。,网络中以某顶点为端点的弧的条数，叫做该顶点的叉数。叉数是奇数的顶点叫做奇顶点，叉数是偶数的顶点叫做偶顶点。,欧拉定理,如果一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。,用欧拉定理可以很方便地判断一个简单图形是否可以一笔画出。例如，图3是不连通网络，它不能一笔画出（尽管它的奇顶点个

4、数为0）；图4中实线所示图形有8个奇顶点它不能一笔画出，如果将图中虚线补为实线，那么奇顶点只有F和G两个，所得图形就能一笔画出了（以F为起点，G为终点；或G为起点，F为终点）。,试问下列图形能否一笔画出？如能画出应怎样画？如不能画出理由是什么？,3.数学抽象的威力,你认为下面的“握手游戏”与“七桥问题”的共同点在哪里？,案例：握手游戏：,老师：各位同学把桌子和椅子推开，空出中间的地方来，我们来玩握手游戏，每一组先找四个同学。（全班学生一起行动，很快把桌椅推向两旁，然后很有默契地四个人形成一组，人数不够的，就找旁听者来充数。） 老师：每两个人只能握手一次，不能重复。然后看看四个人握手能够握几次，

5、把它记录下来。（每个学生都参与这个工作。） 老师：现在每个组换成五个人握手，看看能握几次？（学生很快地换成五个人一组的形态，进行握手的活动。） 老师：现在每一组六个人。（学生马上转变成六个人一组的形态。）,活动结束，老师让学生回到各组，把刚才的记录画成表格，然后老师自己也在黑板上画成如下的表格，让学生发现其中的规律： 经过师生的一番问答，完成了如下的表格：,进而，经过小组讨论，学生用试误的方法发现了(N-1)N/2这一规律可以满足这五种不同的情况。他们的解释是自己没有办法和自己握手，所以要减1，再乘总人数会重复算两次，所以要除以2. 后来有位学生发现这样的规律和几何图形中有几个顶点可连成几条线

6、的现象是一样的，所以，她画了以下的图来表示,“这样，本来是一个集体游戏，最终就成了一个数学问题。”,三个点,四个点,五个点,“游戏”到“数学问题”,“游戏”到“数学问题”数学抽象一种建构的活动。数学研究中我们就以这种建构活动的产物数学模式作为直接的研究对象。 数学可被看成“模式的科学”。（模型：从属与特定的事物或对象；模式：则脱离各个特定的事物和现象而获得了更大的普遍性。）,弱抽象、强抽象,4.中国邮递员问题（我国管梅谷教授1962年首先提出并发表）,5.橡皮几何学拓扑学,七桥问题是一个几何问题，然而，它却是一个以前的几何学里没有研究过的几何问题。在以前的几何学里，不论怎样移动图形，它的大小和

7、形状都是不变的；而欧拉在解决七桥问题时，把陆地变成了点，桥梁变成了线，而且线段的长短曲直，交点的准确方位。面积、体积等概念，都变得没有意义了。不妨把七桥画成别的什么类似的形状，照样可以得出与欧拉一样的结论。,很清楚，图中什么都可以变，唯独点线之间的相关位置，或相互连结的情况不能变。欧拉认为对这类问题的研究，属于一门新的几何学分支，他称之为位置几何学。但人们把它通俗地叫做橡皮几何学。后来，这门数学分支被正式命名为拓扑学。 欧拉对七桥问题的研究，是拓扑学研究的先声。,欧拉公式,1750年，欧拉又发现了一个有趣的现象。正4面体有4个顶点、6条棱，它的面数加顶点数减去棱数等于2；正6面体有8个顶点、1

8、2条棱，于是，它的面数加顶点数减去棱数也等于2。接着，欧拉又考察了正12面体、正24面体，发现都有相同的结论。于是继续深入研究这个问题，终于发现了一个著名的定理： （面数）（顶点数）（棱数）=2 有人说，这是拓扑学的第一个定理。,拓扑学中有许多非常奇妙的结论。取一张小纸条，将纸条的一端扭转1800，再与纸条的另一端粘合起来，就做成了一个小梅比乌斯带。别看这个小纸条制作起来挺简单，却奇特得叫人不可思议。例如，放一只蚂蚁到纸带上，让它沿着图中的虚线一直往前爬，那么，这只蚂蚁就可以一直爬遍纸带的两个面。即使沿虚线将梅比乌斯带剪开，它也不会断开，仅仅只是长度增加了一倍而已。,走迷宫是一种非常有趣的数学游戏，实际上，它是拓扑学里一种很简单的封闭曲线。法国数学家约当指出：要判断一个点在迷宫的内部还是外部，有一种很巧妙的方法。这就是：先在迷宫的最外面找一点，用直线将这两个点连接起来，然后再考察直线与封闭曲线相交的次数。如果相交次数是奇数，则已知点在迷宫的内部，从这里是走不出迷宫的；反之则一定能走出迷宫,在欧拉之后，人们又陆续发现了一些拓扑学定理。但这些知识都很零碎