导数基础综合题一-带答案

1、导数基础综合题一学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1设函数f(x)=x3+(a1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为A. y=2x B. y=x C. y=2x D. y=x二、解答题2已知函数f(x)=exax2（1）若a=1，证明：当x0时，f(x)1；（2）若f(x)在(0,+)只有一个零点，求a3已知函数fx=x2+ax-lnx,aR（1）若a=1，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；（2）若函数fx在1,3上是减函数，求实数a的取值范围；4已知函数f(x)=lnxax+a,aR.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）当x1时，函

2、数gx=x+1fxlnx的图象恒不在x轴的上方，求实数a的取值范围.5已知函数f (x)a lnx2a2xx (a0)(1)若曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线与直线x2y0垂直，求实数a的值；(2)讨论函数f (x)的单调性6已知函数f(x)=(x-1)-alnx(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)0对x1，+)上恒成立，求实数a的取值范围7已知函数f(x)=13x3+12x2-1(1)求函数f(x)在点(1，-16)处的切线方程；(2)若直线y=m与f(x)的图象有三个不同的交点，求m的范围8已知函数 求的极值；若在区间上单调递减，求实数m的取值范围9已知函数fx=a

3、x+1lnxx+1aR（）当a=2时，求函数fx在点1,f1处的切线方程；（）当a12时，求证：对任意的x1,fx0恒成立.10已知函数f(x)=kx2ex（k0）.（1）求函数f(x)的单调区间；（2）当k=1时，若存在x0，使lnf(x)ax成立，求实数a的取值范围. 11已知函数f(x)=ex+ax2x.（1）当a0时，求函数f(x)的极小值；（2）当a0时，若函数f(x)在区间1,+)上是增函数，求a的取值范围.12已知函数f(x)=alnx+12x2-2ax(aR).（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个极值点x1,x2，证明：f(x2)0,e2.7（1）若函数fx在区间

4、2,+上为增函数，求实数a的取值范围；（2）求证：对于任意大于1的正整数n，都有lnn12+13+1n.试卷第1页，总2页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得a=1，进而得到f(x)的解析式，再对f(x)求导得出切线的斜率k，进而求得切线方程.详解：因为函数f(x)是奇函数，所以a1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x，f(x)=3x2+1，所以f(0)=1,f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为yf(0)=f(0)x，化简可得y=x，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线y=f(x)在某个点(x0,

5、f(x0)处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f(x)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.2（1）见解析（2）e24【解析】分析：(1)先构造函数g(x)=(x2+1)e-x-1，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究f(x)零点，等价研究h(x)=1-ax2e-x的零点，先求h(x)导数：h(x)=ax(x-2)e-x，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当a0时，h(x)0，h(x)没

6、有零点；当a0时，h(x)先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.详解：（1）当a=1时，f(x)1等价于(x2+1)e-x-10设函数g(x)=(x2+1)e-x-1，则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x当x1时，g(x)0，h(x)没有零点；（ii）当a0时，h(x)=ax(x-2)e-x当x(0,2)时，h(x)0所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+)单调递增故h(2)=1-4ae2是h(x)在0,+)的最小值若h(2)0，即ae24，h(x)在(0,+)没有零点；若h(2)=0，即a=e24，h(x)在(

7、0,+)只有一个零点；若h(2)e24，由于h(0)=1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，由（1）知，当x0时，exx2，所以h(4a)=1-16a3e4a=1-16a3(e2a)21-16a3(2a)4=1-1a0故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,+)有两个零点综上，f(x)在(0,+)只有一个零点时，a=e24点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.3(1) 2xy=0.(2) ,173.【解析】分

8、析：（1）由f1=2和f1=2可由点斜式得切线方程；（2）由函数在1,3上是减函数，可得fx=2x+a-1x=2x2+ax-1x0在1,3上恒成立，hx=2x2+ax-1，由二次函数的性质可得解.详解：（1）当a=1时， fx=x2+x-lnx所以fx=2x+1-1x， f1=2,又f1=2 所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为2x-y=0.（2）因为函数在1,3上是减函数，所以fx=2x+a-1x=2x2+ax-1x0在1,3上恒成立. 做法一：令hx=2x2+ax-1,有h10h30，得a-1a-173故a-173.实数a的取值范围为-,-173 做法二： 即2x2+ax-10在1,

9、3上恒成立，则a1x-2x在1,3上恒成立， 令hx=1x-2x，显然hx在1,3上单调递减，则ahxmin=h3，得a-173实数a的取值范围为-,-173 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若f(x)0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(x)min0 ，若f(x)0恒成立f(x)maxg(x) 恒成立，可转化为f(x)ming(x)max（需在同一处取得最值） .4（1）当a0时，f(x)增区间为(0,+)，当a0时，递增区间为0,1a，减区间为1a,+；（2）12,+.【解析】分析：（1）求导可得

10、fx=1x-a=1-axx，分a0和a0两种情况讨论可得函数的单调区间（2）由题意得gx=xlnx-ax2-1，且gx=xlnx-ax2-10在1,+)上恒成立，gx=lnx+1-2ax，令h(x)=lnx+1-2ax，则h(x)=1x-2a=1-2axx，然后再根据a的范围分类讨论可得所求范围详解：（1）fx=lnx-ax+a,x0，fx=1x-a=1-axx当a0时，则fx0，所以f(x)在(0,+)上单调递增；当a0时，则由fx0得0x1a，由fx1a，所以f(x)在0,1a上单调递增，在1a,+上单调递减综上，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0,+)；当a0时，f(x)的单调递增区

11、间为0,1a，单调递减区间为1a,+.（2）由题意得gx=x+1fxlnx=x+1lnxax+alnx=xlnxax21， 当x1时，函数gx的图象恒不在x轴的上方，xlnx-ax2-10在1,+)上恒成立设gx=xlnx-ax2-1，x1，则gx=lnx+1-2ax.令h(x)=lnx+1-2ax，则h(x)=1x-2a=1-2axx，若a0，则hx0，故gx在1,+)上单调递增，gxg(1)=1-2a0，gx在1,+)上单调递增，gxg(1)=0，从而xlnx-ax2-10，不符合题意若0a0，g(x)0在1,12a上单调递增，g(x)g(1)=1-2a0，g(x)在1,12a上单调递增，

12、g(x)g(1)=0,从而在1,12a上xlnx-ax2-10，不符合题意；若a12，则hx0在1,+)上恒成立，gx在1,+)上单调递减，gxg(1)=1-2a0，gx在1,+)上单调递减，gxg(1)=0，从而xlnx-a(x2-1)0恒成立综上可得实数a的取值范围是12,+.点睛：（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，要弄清参数对导数fx在某一区间内的符号是否有影响若有影响，则必须分类讨论（2）利用函数的导数研究不等式的恒成立问题是一类重要的题型，其实质是求函数的最值问题，它体现了导数的工具性作用将函数、不等式紧密结合起来，考查综合解决问题的能力，多为高考中较难的题目5(1) a1或

13、a32.(2) 当a0时,f(x)在(a,)上单调递增,在(0,a)上单调递减当a0f(x)1 (x0)根据题意,有f(1)2,所以2a2a30,解得a1或a(2)解：f(x)1(x0)当a0时,因为x0,由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得xa；由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得0xa.所以函数f(x)在(a,)上单调递增,在(0,a)上单调递减当a0,由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得x2a；由f(x)0得(xa)(x2a)0,解得0x0时,f(x)在(a,)上单调递增,在(0,a)上单调递减当a0) 当a0时， ，f(x)在(0，+)上为增函数当a0时，f(x)=x-ax

14、=0，x=a，f(x)在(0，a)上为减函数，在(a，+)上为增函数()f(x)=1-ax=x-ax，当a1时，在1，+)上恒成立，则f(x)是单调递增的，则f(x)f(1)=0恒成立，则a1当a1时，在(1，a)上单调递减，在(a，+)上单调递增，所以x(1，a)时，f(x)f(1)=0这与f(x)0恒成立矛盾，故不成立 综上：a1点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.7（1）12x-6y-13=0（2）(-1，-56)【解析】分

15、析：（1）根据题意，对f（x）求导可得f（x），从而可得f（1）的值，即可得函数f（x）在点（1，16 ）处的切线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案；（2）对f（x）求导可得f（x），借助导数与单调性的关系分析可得f（x）的单调性和极值，分析直线y=m与f（x）的图象的位置关系即可得答案详解：(1)由已知得：f(x)=x2+x f(1)=2则切线方程为：y+16=2(x-1)即12x-6y-13=0(2)令f(x)=x2+x=0解得：x=-1，x=0当x0当-1x0时，f(x)0时，f(x)0f(x)的极大值是f(-1)=-56f(x)的极小值是f(0)=-1所以要使直线y=m与f(x)的

16、图象有三个不同的交点，m(-1，-56)点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解8（1）极大值为，极小值为；（2）.【解析】试题分析：（1）令，求根后，结合函数单调性即可得极值；（2）由，得减区间，所以是子集，列不等式组求解即可试题解析：，1和4别是的两根，根据单调性可知极大值为，极小值为.由上得，由故的单调递减区间为，解得：m的取值范围： 点睛：利用函数

17、的导数研究函数的单调性有两种题型，一种是求单调区间，只需令导数大于0求增区间，令导数小于0求减区间；另一种是已知函数的单调性求参数，若已知函数单增，只需函数导数在区间上恒大于等于0即可，若已知函数单减，只需函数导数小于等于0即可，或考虑为单调区间的子集.注意等号！9（1）3xy1=0（2）见解析【解析】分析: （）当a=2时，写出f（x）的表达式，对f（x）进行求导，求出x=1处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程；（）由题意可知，对任意的x1，+），使f（x）0成立，只需任意的x1，+），f（x）min0，从而求出a的取值范围。详解: （）由fx=2x+1lnx-x+1得fx=2lnx+2x+

18、1，切点为1,0，斜率为f1=3，所求切线方程为：y=3x-1，即3x-y-1=0；（）证明：当a12时，fx=12x+1lnx-x+1x1欲证：fx0，注意到f1=0，只要fxf1即可fx=alnx+1x+1-1x1,令gx=lnx+1x+1x1，则gx=1x-1x2=x-1x20x1知gx在1,+上递增，有gxg1=2，所以fx2a-10a12可知fx在1,+上递增，于是有fxf1=0综上，当a12时，对任意的x1,fx0恒成立点睛: 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数h(x)=f(x)-g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明

19、不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.10（1）见解析（2）a2e1【解析】分析：（1）由题意，求得导函数f(x)，分k0讨论，即可得到函数的单调区间；（2）当k=1时，由lnf(x)ax成立，等价于a0)，存在x0，使lnf(x)ax成立，等价于ag(x)ax，利用导数得到gx的单调性和最值，即可求解a的取值范围详解：（1）函数的定义域为R，求导函数可得f(x)=-kx(x-2)ex，当k0，可得x2；令f(x)0，可得0x0时，令f(x)0，可得x2；令f(x)0，可得0x0），lnf(x)

20、ax成立，等价于a0)，存在x0，使lnf(x)ax成立，等价于ag(x)ax.g(x)=2(1-lnx)x2，当0x0；当xe时，g(x)0，g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+)上单调递减.g(x)max=g(e)=2e-1，a2e-1.点睛：本题考查了利用导数求解函数的单调区间，以及利用导数研究不等式有解问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题11(1)函数f(x)的极小值为f(0)=1.(2)1e2,0).【解析】（1） f(x)=ex+ax2-x，f(x

21、)=ex+2ax-1，a0，f(x)=ex+2ax-1在上是增函数，又f(0)=0，时，时，函数在上是减函数，在上是增函数，为函数f(x)的极小值点，函数f(x)的极小值为f(0)=1.（2）函数f(x)在区间1,+)上是增函数，f(x)=ex+2ax-10在1,+)上恒成立，2a1-exx在1,+)上恒成立，设g(x)=1-exx(x1)，则g(x)=-xex+ex-1x2(x1)，设h(x)=-xex+ex-1(x1)，则h(x)=-ex-xex+ex=-xex0，h(x)在区间1,+)上是减函数，h(x)h(1)=-e+e-1=-10，g(x)0， g(x)在区间1,+)上是减函数，g(

22、x)1-e，2a1-e，又a0，1-e2a1时， fx在0,aa2a,a+a2a,+上单调递增; 在aa2a,a+a2a上单调递减；0a1时， fx在0,+上单调递增；当a1或a1，且x1,x2(x11，可化简fx2=alnx2+12x22-2ax2= alnx2-12x22-a，令hx=alnx-12x2-ax1，进而求导求最值即可证得.详解：（1） fx=ax+x-2a=x2-2ax+ax. 令gx=x2-2ax+a，=4a2-4a=4aa-1，对称轴为x=a.当0a1时，fx0，所以fx在0,+上单调递增. 当a1或a0 .此时，方程x2-2ax+a=0两根分别为x1=a-a2-a，x2=a+a2-a.当a1时，0x10，当x(x1,x2)，f(x)0，所以fx在0,a-a2-a,a+a2-a,+上单调递增， 在a-a2-a,a+a2-a上单调递减. 当a0时，x10x2，当x(0,x2)时，f(x)0， 所以fx在0,a+a2-a上单调递减， 在a+a2-a,+上单调递增. 综上，当a1时， fx在0,a-a2-a,a+a2-a,+上单调递增; 在a-a2-a,a+a2-a上单调递减；0a1时， fx在0,+上单调递增；当a1，且x1,x2(x11.于是fx2=alnx2+12x22-2ax2=alnx2+12x22-x+1x2x2=alnx2+12x22-(ax2+x2