概率论与数理统计在生活中的应用.ppt

1、概率论与数理统计在生活中的应用 主讲：王栋 工程师 博士,下页,例1 在一个口袋里装有红,绿,蓝3种球各2个,一次任取2个球,设A=2个同色球,B=2个异色球,C=至少有一个红球,D=最多有一个蓝球. 求：（1）A与B的关系. （2）A+C. （3）BD.,I =红红，绿绿，蓝蓝，红绿，绿蓝，蓝红， A=红红，绿绿，蓝蓝， B=红绿，绿蓝，蓝红， C=红绿，红蓝，红红， D=蓝红，蓝绿，红绿，红红，绿绿，,解,（1）A与B是互不相容事件,又是互为对立事件,即,（2）A+C=红红，绿绿，蓝蓝，红绿，红蓝.,于是,（3）BD=红绿，蓝红，蓝绿=B.,首页,上页,下页,一、 典型例题解析,（1）设A

2、=5件中恰有1件是次品，因为在10件产品中有7件合格品，所以A包含的基本事件数是 .,例2 在10件产品中,有7件合格品,3件次品. 从中任取5件,计算： （1）5件中恰有1件是次品的概率； （2）5件都是合格品的概率. （3）5件中至少有4件合格品的概率.,解 从10件产品中任取5件的基本事件总数是 .,首页,上页,下页,（2）设B=5件都是合格品，则B包含的基本事件数是 .,（3）设C=5件中至少有4件合格品,则C包括恰有4件合格品和恰有5件合格品两种情况,其包含的基本事件数是,首页,上页,下页,例3 100件商品中含有2件次品，其余都是正品. 从中任取3件进行检验，求在3件中至少有1件次

3、品的概率.,解法1 设A1=恰有1件次品，A2=恰有2件次品，A=至少有1件次品，则,首页,上页,下页,解法2 A的对立事件为 =全是正品，且,首页,上页,下页,例4 甲、乙两射手进行射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，甲，乙二人同时击中目标的概率为0.72，求至少有一人击中目标的概率.,设A=甲击中目标，B=乙击中目标，C=至少一人击中目标. 则C=A+B，且,P(A)=0.9，P(B)=0.8， P(AB)=0.72.,解,首页,上页,下页,例5 有圆形零件100个,其中有92个直径合格,有95个光洁度合格,两个指标都合格的有90个. 从这100个零件中,任意抽取1个

4、,（1）如果此零件光洁度合格,求直径也合格的概率； （2）如果此零件直径合格,求光洁度也合格的概率.,设A=光洁度合格，B=直径合格，则,解,首页,上页,下页,（1）在光洁度合格的条件下直径也合格的概率是,（2）在直径合格的条件下光洁度也合格的概率是,首页,上页,下页,例6 设在一盒子中装有100只电子元件，5只是次品，95只是正品. 从中接连地取两次，每次任取一只，取后不再放回，问两次都取到正品的概率是多少？,解 设A=第一次取得正品，B=第二次取得正品，则,所以，“两次都取到正品”的概率是,首页,上页,下页,例7 某人有5把钥匙，只有一把能打开房门，逐把试开，假设每把试开的可能性相同. 试

5、求： （1）第2次才打开房门的概率. （2）3次内打开房门的概率.,解 设事件Ai=第i次试开就打开房门 （i=1,2,3,4,5）.,首页,上页,下页,例8 某汽车公司下属三个汽车制造厂,全部产品的40%由甲厂生产,45%由乙厂生产,15%由丙厂生产,而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为1%、2%、3%. 求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率.,解 设A1 =抽到甲厂的产品,A2=抽到乙厂的产品,A3=抽到丙厂的产品,B=抽到不合格品,则A1,A2,A3两两互不相容, 且,首页,上页,下页,首页,上页,下页,例9 播种时用的一等小麦种子中混有2%的二等种子,1.5%的三等种子,

6、1%的四等种子,用一等、二等、三等、四等种子长出的麦穗含50颗以上麦粒的概率各为0.5，0.15，0.1，0.05,试求这批种子所结麦穗含50颗以上麦粒的概率.,解 设从这批种子中任选一颗是一等小麦、二等小麦、三等小麦、四等小麦的事件分别记作A1,A2,A3,A4,用B表示在这批种子中任选一颗所结麦穗含有50粒以上麦粒的事件.,首页,上页,下页,例10 某交通电台每隔10分钟播报路况一次. 如某司机在任一时刻收听该台的可能性相等，试求他等候播报路况时间小于3分钟的概率.,解 设X表示该司机等候播报路况的时间.,首页,上页,下页,例11 某台电子计算机,在发生故障前正常运行的时间T(小时)服从参

7、数为 的指数分布. 求：,（1）正常运行时间在50至100小时之间的概率. （2）运行100小时尚未发生故障的概率.,解,首页,上页,下页,例12 甲、乙两数控机床在生产同一标准件时所出的次品数分别用X,Y表示,根据长期的统计资料分析知,它们的分布列如下:,问哪一台机床的质量好些？,解,，即甲机床质量好些.,首页,上页,下页,例13 在一部篇幅很大的书籍中，发现只有13.5%的页数没有印刷错误. 如果我们假定每页的错字个数是服从泊松分布的随机变量，求每页的平均错字个数.,解,首页,上页,下页,例14 根据统计资料，一位40岁的健康人在5年内仍然活着的概率为 ，在5年内死亡的概率为1-p，保险公

8、司开办人寿保险，参加者需交保险费a元（a为已知），如果5年内死亡，公司赔偿b元 （ ）.,（1）如何确定b，才能使公司可期望获益？ （2）如果有m人参加公司保险，公司可期望收益是多少？,解,首页,上页,下页,（2）如果有m人参加保险，公司可望收益为,首页,上页,下页,例15 设某显像管厂生产一种规格的显像管的使用寿命X(小时)的概率分布列如下：,求显像管使用寿命的平均值、方差和标准差.,解,首页,上页,下页,首页,上页,下页,首页,上页,下页,解 设发生故障的元件数为X，每个元件发生故障的概率为p.,例16 一台仪器由10个独立工作的元件组成,每一个元件发生故障的概率都相等,且在一规定时期内,

9、平均发生故障的元件数为1,试求在这一规定的时间内发生故障的元件数的方差.,首页,上页,下页,二、概率在生活中的应用举例,1风险决策问题,2随机型储存问题,3抽样检验问题,4保险问题,首页,上页,下页,例1 某企业家需要就该企业是否与另一家外国企业合资联营做出决策. 根据有关专家估计，合资联营的成功率为0.4. 若合资联营成功，可增加利润7万元；若失败，将减少利润4万元；若不联营，则利润不变. 问此企业家应如何做出决策？,1风险决策问题,解 用X表示选择合资联营能增加的利润值.,由于不合资联营,增加的利润为零,故应做出合资联营的决策.,首页,上页,下页,例2 金海洗衣机厂明年将售给某市五金公司5

10、000台洗衣机,金海洗衣机约定保修一年,该厂对洗衣机保修工作的进行有以下2个方案可供选择：,（1）委托五金公司承包维修业务,为期一年,维修次数不限，共需一次支付修理费2400元.,（2）委托该市洗衣机维修中心承担维修业务，但该维修中心提出：一年内只能接受维修500次，共需支付修理费1500元. 若超过500次，每增加一次需另付维修费5元. 另根据过去的经验及当前产品的质量实际情况估计，今后一年内洗衣机可能出现维修的次数及其发生的概率如下表：,首页,上页,下页,问：该厂应选择哪种方案？,解 若选择第（1）方案，则工厂将支出维修费2400元. 若选择第（2）方案，则工厂支出维修费的期望值为,该厂应

11、与维修中心订立包修合同.,首页,上页,下页,2随机型储存问题,例3 某商店某月销售一种易腐烂商品,每筐成本20元,售价50元. 若每天剩余一筐,则损失20元. 现市场的需求情况不清楚,但有去年同月（该月为30天）的日售量统计资料如下：,试决定今年同月的日订货量.,首页,上页,下页,解 （1）若订货量为100筐，则期望利润为,（2）若订货量为110筐，则期望利润为,（3）若订货量为120筐，则期望利润为,（4）若订货量为130筐，则期望利润为,因此,该商店每天应订货110筐.,首页,上页,下页,解 设Y表示某年准备出口的此种商品量 , 出口该商品所获得的收益为Z，则,例4 假定在国际市场上，每年

12、对我国某种出口商品的需求量是随机变量X（t），由以往的统计资料可知，它近似地服从在区间2000，4000上的均匀分布. 设每出售这种商品1t，可以为国家赚取外汇3万元；如果不能售出，造成积压，则每吨需付库存费用1万元. 问每年应组织多少货源，才能使国家的收益为最大？,首页,上页,下页,Z=f (X).,首页,上页,下页,3抽样检验问题,在经济工作中,对商品的质量进行检验是一项重要的工作. 如果某种商品的检验属于破坏性的（如灯泡,花炮等）,或者商品的数量很大,都只能抽样检验一小部分,通过这一小部分的检验来判断全部商品的质量,叫做抽样检验.,首页,上页,下页,例5 一批出口商品共1000件，已知该

13、种商品的不合格品率约为2%，商检部门用抽检方案（30/3）进行检验（即从1000件商品中抽取30件，如果其中不合格品数不大于3件，则判定该批商品为合格批，从而被接受；如果其中不合格品数大于3件，则判定该批商品为不合格批，从而不被接受）. 求该批商品的接受概率（记作 ),解 从1000件中任取30件，由于商品数量较大，所以不合格数的概率分布可用二项分布近似.,首页,上页,下页,4保险问题,在保险业务中,参加保险的单位叫做危险单位. 一定时期内某一危险单位应交纳的费用叫做保险费. 保险费通常由两部分组成,一部分是纯保险费,用于支付危险单位发生保险事故时的保险金,它等于在一定时期内赔偿费的期望值；另

14、一部分是附加保险费，主要指各种管理费用、资金利息及利润等.,保险费的计算以保险费率为标准. 例如，保险费率若为0.18%，则10000元保险金额的保险应交保险费为,首页,上页,下页,保险费率也由纯保险费率及附加保险费率两部分组成，其中纯保险费率等于损失率. 设某类保险有n个危险单位，则,纯保险费率可根据以住的统计资料和经验定出，但在一定时期内，发生事故的危险单位的个数是随机的，所以总赔偿费也是不能预先知道的，它和危险单位发生事故的概率有关. 因而赔偿费的估计也只能用概率来描述.,首页,上页,下页,每个发生事故的危险单位的赔款额，一般情况下等于其保险金额A，所以赔偿费的期望值为Anp.,设每个危险单位发生事故的概率为p，保险金额为A元，则n个危险单位中，在一定时期内发生事故的单位数X服从二项分布，即X的分布为,其期望,首页,上页,下页,例6 已知某项保险发生事故的概率为p=0.5%，共承保1000个危险单位，每一个危险单位的保险金额为5000元，保险费率为0.60%，其中20%为附加保险费. 试求：（1）该项保险的纯保险费及保险费；（2）赔偿费的期望值；（3）赔偿费超过纯